2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论，当时满足题意，当，解出，由，解得或
【详解】当时，,满足题意.
当时，，
若，则或，即或
综上所述，的所有取值为
故选：D
2．集合的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】利用，讨论， 可得答案.
【详解】因为，，，所以
时；时；时；时；时，
共有5个元素，
故选：C.
3．已知集合是实数集的子集，定义，若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数的值域求得，由此求得.
【详解】由题知，
在上递减，所以，
的对称轴为轴，因为，所以，
所以，
故选：B.
4．若不等式成立的必要条件是，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得：，∵不等式成立的必要条件是，
∴，故，故选A.
5．若，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】做差整理得两个完全平方式，可判断答案.
【详解】
故选：A
6．如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】对和分别讨论,列出不等关系后求解即可
【详解】由题,当时,不等式为,满足题意；
当时,则需满足,即
综上,
故选A
【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查运算能力,考查分类讨论思想
7．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最大值4
C．有最小值D．有最小值2
【答案】A
【分析】结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.
【详解】因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．
，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．
故选：A
8．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
二、多选题
9．集合，则下列关系错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】将两个集合中式子通分化成同一形式，对比可得答案.
【详解】
,所以C正确.
故选：ABD
10．已知，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】对于AB特殊值检验即可；对于C，分，讨论即可；对于D，由知同号，当时即可解决.
【详解】对于A，当时，不成立，故A错误；
对于B，当时，不成立，故B错误；
对于C，由知同号，
当时，，
当时，，故C正确；
对于D，由知同号，
当时，等价于，
所以，故D错误.
故选：ABD
11．若，则下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．的最小值为D．若，则
【答案】ABD
【解析】A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断.
【详解】A. 因为，故正确；
B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确；
C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误；
D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确；
故选：ABD
12．设所有被4除余数为，，，的整数组成的集合为，即，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若，则，
C．
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】根据题目给的定义，逐一分析即可．
【详解】解：，所以，故A正确；
若，则，或，或，或，，故B错误；
，所以，故C正确；
令，，，则，，故，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________.
【答案】
【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.
【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.
当即时，，符合题意.
当即时， 解得.
故答案为：
14．已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解.
【详解】
当时，，满足题意.
当时，时，解得
综上所述，.
故答案为：
15．已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】，则代回不等式让其不成立，，则代回不等式让其成立，求两者范围得交集即可.
【详解】依题意得，，
，综上，
故答案为：.
16．已知为实数，则__________(填 “”、“”、“”或“”).
【答案】
【分析】作差法解决即可.
【详解】由题知，
，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.
四、解答题
17．已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在
(2)
【分析】（1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数.
（2）要使是的必要条件，则，根据集合关系可求得实数的范围.
【详解】（1）要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
18．已知集合.
(1)求;
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次方程求得集合，根据集合并集计算即可；（2）根据题意得，即可得到方程求出的值，验证即可.
【详解】（1）由题知，
由，解得或，所以，
由，解得或，所以，
所以.
（2）因为，
所以，
所以，解得或，
当时，，与矛盾，
当时，，满足题意，
综上可得，，
所以的值.
19．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.
【答案】当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.
【详解】试题分析：先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.
试题解析：设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米，
6分
， 8分
因为，所以，
当且仅当，即时取等号 12分
此时取得最大值，最大值为.
答：当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.
14分
【解析】矩形的面积、基本不等式
20．已知，且．
（1）求的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据条件“，且”，直接应用基本不等式得到，从而求得结果；
（2）将恒成立问题转化为最值处理，利用基本不等式求得，从而得到不等式，求解得答案.
【详解】（1），且，
，
当且仅当时，取等号，故的最小值为．
（2），且，
，当且仅当，且，即，时，取等号，
即的最小值为，
，即，解得，
即实数的取值范围是．
【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求和的最小值，将恒成立问题向最值转化，一元二次不等式的解法，属于简单题目.