2022-2023学年河南省杞县高中高一上学期期中网课检测数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省杞县高中高一上学期期中网课检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可判断；

【详解】解：因为，，所以或或或，

故，即集合中含有个元素；

故选：C

2．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解

【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；

若幂函数在上是减函数，

则，解得或

故必要性不成立

因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件

故选：A

3．设，又记，，，2，3，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意计算可知，数列是一个周期为的周期数列，即可解出．

【详解】根据题意，，则，，

，则，故，

故选：．

4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A．，， B．

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】解：根据题意，函数，

若在区间上单调递减，必有，

解可得：或，即的取值范围为，，，

故选：C．

5．已知函数，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.

【详解】解：因为，则

所以，则为偶函数，

当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数，

所以，即，解得或，

所以的解集为

故选：D.

6．已知角、、为的三个内角，若，则一定是（    ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】C

【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状.

【详解】由可得，，，即，故该三角形一定为等腰三角形.

故选：C

7．若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.

【详解】∵函数是偶函数，

∴，

又∵，

，

，

，

∴函数的周期为4，

∴.

故选：D.

8．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）

A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)

【答案】C

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．

【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：C．

二、多选题

9．若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】BC

【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

结合a是正整数，所以BC正确.

故选： BC.

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”.

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“”的必要条件.

D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】BD

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D选项.

【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；

对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；

对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；

对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.

故选：BD

【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件，进而解不等式求得讨论即可.

11．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（    ）

A．-1 B．0 C．2 D．3

【答案】CD

【解析】先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.

【详解】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.

故选：CD.

【点睛】方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数在上是减函数

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.

【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；

对于B，令，得，所以，

任取，且，则，

因为，所以，所以，

所以在上是减函数，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，因为，且，所以，

所以，

所以等价于，

又在上是减函数，且，所以 ，

解得，故D正确,

故选:ABD．

三、填空题

13．若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .

【答案】

【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，对任意的，恒成立.

①当时，则有，合乎题意；

②当时，由题意可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

14．若正数a，b满足，则的最小值是__．

【答案】

【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】设，则，可得，

所以

，

当且仅当时，等号成立，取得最小值．

故答案为：．

15．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________

【答案】或

【分析】令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可；

【详解】解：因为，所以

令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为

故答案为：

16．定义在上的函数满足，且当时，，若当时，，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】根据已知条件分别求出，，的解析式，再作出函数的图象，数形结合即可求解.

【详解】由可得

当时，，，

当时，

，

当时，

，

作出函数的图象如图所示：

时，，令，

解得：或，

当时，恒成立，

当时，，

当时，

所以当时，恒成立，

综上所述：当时，恒成立，

若当时，，则的最小值是，

故答案为：.

四、解答题

17．计算：（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；

（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】（1）原式

．       

（2）原式

．

18．（1）已知，求的值

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简，然后再代值计算即可.

（2）利用同角三角函数间的关系，将平方求出的值，从而求出的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.

【详解】(1)

所以

（2）由，则，所以

由，则

设，则

由，所以

【点睛】关键点睛：本题考查利用诱导公式化简，利用同角三角函数关系求值，解答本题关键是由同角三角函数的关系根据，先求出，结合角的范围求出的值，属于中档题.

19．设.

(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）由已知可得，原题可转化为对一切实数成立，对是否为0进行讨论. 当时，结合二次函数的性质即可求得；

（2）原不等式可化为，即求解含参的一元二次不等式.根据与0的关系首先进行分类讨论，结合时，的两个根的大小情况，即可得到结果.

【详解】（1）由题意可得对一切实数x恒成立，

可转化为对一切实数成立.

当时，不满足题意；

当时，要是恒成立，

则需满足，解得.

所以实数a的取值范围为.

（2）原不等式可化为.

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，解得，，.

当时，因为，所以不等式的解集为；

解可得.

当，此时，所以不等式的解集为；

当，此时，所以不等式的解集为；

当，此时，所以不等式的解集为.

综上所述，

当，不等式的解集为；

当，不等式的解集为；

当，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20．已知函数

(1)证明：为偶函数；

(2)判断的单调性并用定义证明；

(3)解不等式

【答案】(1)证明见解析

(2)为上的增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；

（2）首先得到的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；

（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】（1）证明：的定义域为，

又，故为偶函数；

（2）解：，所以为上的增函数，

证明： 任取，，且，

∵，∴，又，

∴，即，

∴为上的增函数；

（3）解：不等式，

等价于

即，

∵为上的增函数，

∴，解得，故不等式的解集为.

21．已知定义在R上的函数满足且，．

(1)求的解析式；

(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；

(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据，代入计算可得；

（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.

（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.

【详解】（1）由题意知，，

即，所以，

故.

（2）由（1）知，，

所以在R上单调递增，

所以不等式恒成立等价于，

即恒成立.

设，则，，当且仅当，即时取等号，

所以，

故实数a的取值范围是.

（3）因为对任意的，存在，使得，

所以在上的最小值不小于在上的最小值，

因为在上单调递增，

所以当时，，

又的对称轴为，，

当时，在上单调递增，，解得，

所以；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

，解得，所以；

当时，在上单调递减，，解得，

所以，

综上可知，实数m的取值范围是.

22．已知函数是偶函数.

(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；

(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；

（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．

【详解】（1）解：是偶函数，，

即对任意恒成立，

，

．

即，

因为当，函数有零点，即方程有实数根．

令，则函数与直线有交点，

，

又，，

所以的取值范围是．

（2）解：因为，

又函数与的图象只有一个公共点，

则关于的方程只有一个解，

所以，

令，得，

①当，即时，此方程的解为，不满足题意，

②当，即时，此时，又，，

所以此方程有一正一负根，故满足题意，

③当，即时，由方程只有一正根，则需，

解得，

综合①②③得，实数的取值范围为：．