2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式，根据对数函数单调性解对数不等式即可.【详解】由题知，，解得，故，又因为，所以，即.故选：B2．“”是“函数的图像关于中心对称”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由充分条件必要条件的定义，结合三角函数的性质，作出判断.【详解】当时，，此时的图像关于中心对称，当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为0.所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件.故选：A.3．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.【详解】依题意，点到原点距离，所以.故选：A4．设，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数的性质即得.【详解】∵，∴，，，∴.故选：C.5．已知函数满足，则解析式是（　　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用换元法，求函数的解析式.【详解】设，故，则，所以.故选：A6．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼､诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（    ）（参考数据：，，）A．1 B．20 C．600 D．6000【答案】D【分析】根据弧长公式可求得即的大小.在中，即可求得的大小.【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为.令，则.∵，，.∴，又.所以按每层楼高计算，需要登上6000层楼.故选：D.7．已知函数则函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数，则函数为偶函数，故排除选项B，C；因为，当时，恒成立，所以恒成立，且当时，，所以当时，，故选项A正确，选项D错误，故选：A．8．已知函数,且,则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】将化简为,令新函数,判断的奇偶性和单调性,将不等式转化为关于的不等式,根据的函数性质转化为关于的不等式,解出即可.【详解】解:由题意得,函数,设,则,所以是上的奇函数,因为,由则即,因为,所以,又有,因为是上的增函数,是上的增函数,所以是上的增函数;则有,整理得:,解得:或,所以的取值范围为.故选:B 二、多选题9．下列结论中，正确的是（    ）A．函数的单调增区间是B．命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题C．是奇函数D．函数的图像必过定点【答案】AD【分析】根据复合函数的单调性可判断A项；判断原命题真假即可判断B项；化简为偶函数，可说明C项错误；令得，代入可判断D项.【详解】对于A项，函数中，，在上递增，在上递减；函数在R上单调递减.根据复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是，故A项正确：对于B项，2是素数，但2不是奇数，所以“所有的素数都是奇数”命题错误，否定为真，故B项错误；对于C项，因为，是偶函数，故C项错误；对于D项，函数中，由得，，即函数图象过点，故D项正确.故选：AD.10．下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用正余弦函数的单调性可得出每个选项中两个三角函数值的大小，即可选出答案.【详解】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误；因为，且函数在上单调递减，则，即，故选项B正确；因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确.故选：BD11．已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则不等式成立的一个充分条件是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】先根据奇函数的性质求得，再根据函数图象的解析式与性质画出的图象，结合函数图象平移的性质得出的图象，再根据函数的周期，数形结合分析即可得出结果.【详解】由题意，因为的图象关于直线对称，故，又为奇函数，所以有， 所以，故，所以，故的周期为8.因为是定义在上的奇函数，故，解得，根据当时，，结合奇函数的性质与直线对称以及函数的周期性作图，且是的图象往左平移2个单位所得，作图如下.又不等式成立，即在的函数图象下方，由对称性得，当时，与的交点的横坐标为，结合图象可得与的交点的横坐标满足，所以在这个周期内，满足题意的解为，则所有符合题意的解为.当时，解为；当时，解为；当时，解为；当时解为，故选：CD.【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性、对称性与周期性，结合函数图象平移的方法数形结合解决函数不等式的问题，难度较大.12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递减C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称【答案】ABD【分析】根据三角函数的周期性、单调性、最值、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由，所以是周期为的周期函数，A正确：由在上单调递减及复合函数的单调性知，在上单调递减，由在上单调递增，可知在上单调递减，所以函数在上单调递减，故B正确；当时，，故函数的最大值不是，故C错误；，关于直线对称，故D正确.故选：ABD 三、填空题13．函数的定义域为______.【答案】【分析】利用具体函数定义域的求法与对数函数的性质求解即可.【详解】因为，所以，解得，所以的定义域为.故答案为：.14．函数的最大值为______.【答案】【分析】利用三角函数的基本关系式将化为关于的二次函数，从而利用配方法即可得解.【详解】因为，又，所以当时，.故答案为：.15．设和是方程的两根，则______.【答案】【分析】利用对数的运算法则直接计算即可.【详解】因为和是方程的两根，所以或者，故答案为：16．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】分段函数是增函数，等价于每一段都是增函数，且“后一段”解析式在分段处的函数值不小于“前一段”解析式在分段处的函数值，据此列不等式求解即可【详解】因为当时，均为增函数，故只能为上的单调递增函数，在上为增函数，在上为减函数，故，根据分段函数是增函数可知，，解得，结合可知，.故答案为： 四、解答题17．已知角满足.(1)求的值；(2)若角是第三象限角，，求的值.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式列方程组求解即可；（2）利用诱导公式求解即可.【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，消去得，解得或，当角是第一象限角时，，因为角是第三象限角，.（2）由题意可得，因为角是第三象限角，所以，所以.18．已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)求函数的单调递减区间：(3)若，求的最值.【答案】(1)(2)(3)最大值为3，最小值为 【分析】（1）由最小正周期，求得，得到，再求；（2）整体代入法求函数的单调递减区间；（3）由的取值范围，得到的取值范围，可确定最值点，算出最值.【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，所以，所以.（2）令，解得，故函数的单调递减区间是.（3）因为，所以，当，即时，的最大值为3，当，即时，的最小值为.19．已知函数.(1)判断的奇偶性并证明；(2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)在区间上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义进行判断证明即可；（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可.【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：函数的定义域为，对任意的，所以是奇函数；（2）在区间上的单调递减，理由如下：对任意，且，，因为在单调递增，且，所以，所以，所以在区间上的单调递减.20．已知函数，且不等式的解集为.(1)求实数的值；(2)解关于的不等式（其中为常数）；(3)已知，若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）由题意判断出是方程的两根，即可求解；（2）对a分类讨论，分别写出不等式的解集；（3）设的值域为的值域为，判断出，列不等式组，求出m的范围.【详解】（1）因为，所以可化为，即，因为不等式的解集为，即是方程的两根，将代入，得，故，再由韦达定理得，故.（2）可化为，即，当时，解得，当时，不等式为，无解；当时，解得；综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（3）因为存在，存在，使得成立，设的值域为的值域为，则，由（1）得，对称轴为，故在上单调递增，所以，①当时，，不满足题意；②当时，在上单调递增，所以，所以，解得：；③当时，在上单调递减，所以，所以，解得：；综上所述，.【点睛】方法点睛：常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；(3)高次不等式用穿针引线法；(4)含参数的不等式需要分类讨论．21．已知函数.(1)求的最小值；(2)设的最小值为，若正数满足，求的最小值；(3)设，若，求所有满足条件的的取值集合.【答案】(1)3(2)(3)或 【分析】（1）将化简为，求出的单调性，即可求出的最小值；（2）由（1）可知，即，由均值不等式即可的最小值.（3）由题可知，为偶函数，分类讨论或，，解方程和不等式即可得出答案.【详解】（1）因为，所以当时，单调递增，最小值为3，当时，单调递减，最小值为3，当时，，综上所述，的最小值为3.（2）由（1）可知，即，因为均为正数，所以，当且仅当即时取等号，即的最小值为.（3）由题可知，的定义域为，关于原点对称，所以为偶函数，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.所以，则在上单调递增，在上单调递减，①，解得或，②，解得或，③，解得，综上所述，或.22．已知函数在时有最大值和最小值，设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值.（2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围.（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.【详解】（1）函数时不合题意，所以为，所以在区间上是增函数，故，解得.（2）由已知可得，则，所以不等式，转化为在上恒成立，设，则，即，在上恒成立，即，当时，取得最小值，最小值为，则，即.所以的取值范围是.（3）方程可化为：，，令，则方程化为，，∵方程有三个不同的实数解，∴画出的图象如下图所示，所以，，有两个根､，且或，.记，则，即，此时，或得，此时无解，综上.【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.