2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则＝（ ）
A．{x|1＜x≤4}B．{x|0＜x≤6}C．{x|0＜x＜1}D．{x|4≤x≤6}
【答案】A
【分析】化简集合，按照补集定义求出，再按交集定义，即可求解.
【详解】,
或，
，
.
故选:A.
【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.
2．下列哪个函数的定义域与函数的值域相同（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】指数函数的值域是，依次看选项的定义域是否在即可。
【详解】指数函数的值域是
A选项定义域是R；
B选项定义域是；
C选项定义域是；
D选项定义域是，满足题意。
故选：D
【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。
3．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.
【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；
反过来，因为，所以当时，有，即.
综上可知，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知幂函数的图象经过点，则的值是（ ）
A．B．1C．D．-1
【答案】A
【分析】设，代入点的坐标求得，然后再计算函数值．
【详解】，则由题意和，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题．
5．已知实数，，，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象和性质可得：，然后再比较的大小关系即可.
【详解】因为，所以，
又因为，
而，所以，
所以，
故选：.
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，排除C、D；再令，排除B即可.
【详解】令，则，排除C、D；
令，则，排除B.
故选：A
7．若为第二象限角，且，则的值是（ ）
A．4B．-4C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答.
【详解】由得：，而为第二象限角，则有，
因此，
故选：B
8．已知函数的定义域为,图象恒过点,对任意,都有则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】判断出是增函数，又
，求得，从而求得的范围。
【详解】因为对任意,都有，即
即函数在R上是增函数.
若，即
即，，
故选：D
【点睛】此题考查函数单调性，关键点是通过已知构造出新的的单调函数，属于一般性题目。
9．截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破10000000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．
新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（ ）（参考数据：
A．38B．40C．45D．47
【答案】B
【分析】当时，，由此能求出．
【详解】，当时，，
，，解得．
故选：B
二、多选题
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．是的充分不必要条件
【答案】BD
【分析】根据不等式性质可知AB正误；通过反例可知C错误；由可得，由推出关系可得D正确.
【详解】对于A，，，，，A错误；
对于B，，，，，B正确；
对于C，若，，则，，此时，C错误；
对于D，由得：，
，，是的充分不必要条件，D正确.
故选：BD.
11．下列说法错误的是（ ）
A．命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”
B．已知，，则
C．“成立”是“成立”的充要条件
D．关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是
【答案】AD
【分析】A.利用存在命题的否定式全称命题，并否定结论来判断；
B.利用不等式的性质判断；
C.根据充分性和必要性的概念来判断；
D.利用判别式和韦达定理来判断.
【详解】A.命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”，A错误；
B.，则，又，根据不等式的性质，两式相加得，可推出，B正确；
C.由得，对于，有当时，，故“成立”是“成立”的充要条件，C正确；
D.关于x的方程有一个正根，一个负根，则，解得，D错误.
故选：AD.
12．已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．函数为偶函数D．
【答案】AD
【解析】先利用图象得到，，求得，再结合时取得最大值求得，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可.
【详解】由图象可知，，，即,，
由时，，得，
即，而，故，故，A正确；
，故B错误；
由知，不是恒成立，故函数不是偶函数，故C错误；
由时，，故是的对称中心，故，故D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：
三角函数模型求解析式时，先通过图象看最值求A，b，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求，最后利用五点特殊点求初相即可.
13．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2B．6C．5D．4
【答案】ACD
【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案.
【详解】画出的图象如图所示：
令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.
三、填空题
14．方程的解集为______.
【答案】
【分析】对数函数是增函数，方程的解转化为求解即可。
【详解】因为对数函数是增函数，所以方程的解，
即是的解，即，
故答案为：
【点睛】此题考查三角函数方程的解，注意正切值解的写法是加，属于简单题目。
15．已知，，满足，则的最小值是______．
【答案】.
【分析】由已知得，进而，利用基本不等式计算即可.
【详解】由，得，
所以.
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
16．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.
【解析】对数函数的性质及函数的值域.
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.
17．已知函数，g（x）＝x2-2x，若，，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是________．
【答案】[0，1]
【解析】当时，，当时，，
由，，使得f（x1）＝g（x2），等价于，解不等式即可得解.
【详解】当时，，
当时，，
由，，使得f（x1）＝g（x2），
则，
可得：，
解得，
故答案为：.
【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.
18．病毒的直径很小，而在0.3微米的粒径下，可以达到以上过滤效率的防雾霾囗罩，可以防新型冠状病毒．所以疫情防控之下，人们需要佩戴好口罩．数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产量与时间（年）的函数图像（如图），并做出预测．假设预测成立，以下给出了关于该口罩生产状况的几点判断正确的是_____（填写序号）
①前三年的年产量逐步增加；
②前三年的年产量逐步减少；
③后两年的年产量与第三年的年产量相同；
④后两年均没有生产．
【答案】①③
【分析】结合数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产量与时间（年的函数图像，能求出关于该口罩生产状况的几点判断正确的结论．
【详解】由数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产
量与时间（年的函数图像，可知前三年的年产量逐步增加，
故①正确，②错误；
后两年的年产量与第三年的年产量相同，
故③正确，④错误．
所以关于该口罩生产状况的几点判断正确的是①③．
故答案为：①③.
四、解答题
19．完成下列计算：
(1)已知，求的值
(2)求的值
【答案】(1)2
(2)1
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质可得答案；
（2）利用对数的运算性质计算即可．
【详解】（1），；
（2）．
20．已知,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）先求出，代入即可.（2）化简求值即可.
【详解】因为，所以
，即
解得：
又,所以
则
（2）
【点睛】此题考查三角函数的化简求值，注意诱导公式的使用，属于简单题目.
21．已知．
(1)写出的最小正周期及的值；
(2)求的单调递增区间及对称轴．
【答案】(1)最小正周期为，；
(2)单调增区间为；对称轴为．
【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数性质求出周期，再将代入计算作答
（2）根据已知条件，结合正弦函数的单调性，以及对称轴的性质，求解作答．
【详解】（1）依题意，，
所以的最小正周期，.
（2）由（1）知，
由得：，
所以函数的单调递增区间是；
由得，，
所以函数的对称轴为.
22．已知函数，且为奇函数．
(1)求b，然后判断函数的单调性并用定义加以证明；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，增函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质求解，由单调性的定义证明，
（2）由函数的单调性与奇偶性转化后求解，
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，；
经检验时是奇函数．
设，，且，
则．
因为，所以，，，
所以，所以，所以在上是增函数；
（2）依题意为奇函数，又由（1）知在上是增函数，由，得，
所以，即，解得．
所以实数k的取值范围是．
23．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）（2）100千件
【分析】（1）根据题意，分，两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.
【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：
当时，．
当时，

所以
（2）当时，．
此时，当时，取得最大值万元．
当时，
．
此时，即时，取得最大值1050万元．
由于，
答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，
最大利润为1050万元
【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.
24．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”．
(1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）；
(2)若，是和的“区间”，证明：不是偶函数；
(3)若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．
【答案】(1)（答案不唯一，只需是的非空子集即可）
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“区间”的定义求得结果即可；
（2）根据存在，使得且，结合奇偶性定义可证得结论；
（3）由零点存在定理可知存在唯一，使得，结合单调性可确定存在，使得，由此可得结论.
【详解】（1）的定义域为，的定义域为，；
当时，，，，
和的一个“区间”为；
则和在上的一个“区间”是的非空子集.
（2）当时，，；
当时，，；
在任意区间上不恒为，
存在，使得；又，，
不是偶函数.
（3）当时，；
当时，，，
又在区间上单调递增，存在唯一，使得，
且当时，；当时，；
当时，且存在，使得；当时，且存在，使得；
存在，使得，在区间上存在零点．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义运算的问题，本题第三问证明函数在区间内存在零点的关键是能够结合函数的单调性，利用零点存在定理来说明函数存在零点.