2022-2023学年上海市金山中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市金山中学高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．设全集，若集合，则______.
【答案】##
【分析】根据补集的定义即可求解.
【详解】因为全集，集合，
所以，
故答案为：.
2．已知实数、满足，，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】先画出可行性区域，设定目标函数，再根据线性规划的方法求解.
【详解】由条件绘制下图，可行性区域为矩形ABCD，
显然目标函数z的取值范围是经过A，C两点时的z值决定的， ，
经过A时， ，经过C点时， ，
；
故答案为： .
3．函数的定义域是______.
【答案】且
【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，
则，解得且，
所以函数的定义域为且.
故答案为：且.
4．若，，则______.（结果用、表示）.
【答案】
【分析】根据对数公式化简求解.
【详解】
故答案为：
5．若，，则“”是“”______的条件.
【答案】充分不必要
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：因为，，，
所以，故充分；
当时，，若，则，故不必要，
所以“”是“”充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
6．已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则______.
【答案】3
【分析】由可得出函数所过定点，再由结合条件可得的值.
【详解】因为，
由，可得，，
即函数的图象经过定点；
因为，
由，可得，
即的图象经过定点，
所以，即.
故答案为：3.
7．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】运用判别式求解.
【详解】由题意知 ，解得 或 ，
∴b的取值范围是 ；
故答案为：.
8．已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围
【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，
由，
当时，，结合图象可得；
当时，，可得，
所以的解为或.
故答案为：.
9．若，且，，则的值为______.
【答案】
【分析】由题可得为方程的两个不等根，然后根据韦达定理即得.
【详解】因为，且，，
所以为方程的两个不等根，
所以，
所以.
故答案为：.
10．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为______.
【答案】
【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求解.
【详解】
又，
当时，所以的值域里有
当时，所以的值域里有
当时，所以的值域里有
所以的值域为
故答案为：
11．函数，若时，函数值均小于0，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】对a分类讨论，运用函数的单调性求解.
【详解】 ，
当 时， ， 是减函数， ；
当 时， ，不符合题意；
故答案为： .
12．若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是______.
【答案】．
【分析】分类讨论，按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后对分类函数的两个二次函数的对称轴进行分类讨论可得．
【详解】因为，
当时，时，单调递增，不合题意；
当时，时，，函数在区间上是严格减函数，
则，即；
当时，时，，函数在区间上是严格减函数，
则，即；
当时，，
，因此在是单调递增，不合题意；
综上，的范围是．
故答案为：．
二、单选题
13．设，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】联立方程组，解出x，y，再结合交集的定义，即可求解．
【详解】联立，解得，
故.
故选：C．
14．四个人做一道选项为的选择题，四个同学对话如下：
赵：我选；钱：我选当中的一个；孙：我选；李：我选；
四个人每人选了一个选项，而且各不相同，其中只有一个人说谎，则说谎的人可能是谁？（ ）
A．赵，钱B．钱，孙C．孙，李D．李，赵
【答案】C
【分析】假设赵同学说谎，由条件确定是否存在满足条件的选择方法，由此判断其是否说谎，再同理判断其他同学是否说谎.
【详解】假设赵同学说谎，则赵同学不选A，又孙同学选C，李同学选D，钱同学选B，与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同矛盾，故赵同学没说谎，排除选项AD，
若钱同学说谎，则钱同学选A，又赵同学选A，与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同矛盾，故钱同学没说谎，排除选项B，
若赵同学选A，钱同学选C，孙同学选B，李同学选D，则满足条件，同时有且仅有孙同学说谎，若赵同学选A，钱同学选D，孙同学选C，李同学选B，则满足条件，同时有且仅有李同学说谎，故可能说谎的同学为孙同学和李同学，选项C正确，
故选：C.
15．对函数，如果存在，使得，则称与为函数图象的一组奇对称点.若（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得存在不等于0的根，进而可得，然后利用函数的性质及基本不等式即得.
【详解】由题可得存在不等于0的根，
所以，
因为，
所以，，
∴，
解得，
即实数的取值范围是.
故选：B.
16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，分析可知点、关于直线对称，可得出的值，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.
【详解】设，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
由图可知，点、关于直线对称，则，
且函数在上为增函数，
由，因为，解得，
所以，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.
三、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得；
（2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，又，
所以；
（2）由解得，，
若，则，，符合题意；
若，由于，所以；
综上所述，实数的取值集合为.
18．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据绝对值的性质，分类讨论进行求解即可；
（2）利用绝对值的性质进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，；
当时，，而，所以此时无解；
当时，，
综上所述：不等式的解集为；
（2），
因为，
所以有，或，
因此a的取值范围为.
19．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.
【分析】(1)结合已知条件，表示出即可；(2)利用一元二次函数的单调性和基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）当时，，
由一元二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
且
从而，
即在上的最大值为240；
当时，，
因为，
当且仅当，即时，不等式取等号，
从而，
即当时，有最大值270，
此时肥料费用.
综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.
20．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2），
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
21．若函数满足：对任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
(1)判断函数与是否是“函数”；
(2)若函数为“函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有．
【答案】(1)是“函数”， 不是“函数”
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用“函数”的定义判断两个函数即可求解；
（2）由题意可得对任意恒成立，可得，由可得求出即可求解；
（3）根据定义，令可得，对于任意的正整数与正数都有，进而可得出结论.
【详解】（1）对于函数，当，时，，，
又，
所以，故是“函数”．
对于函数，当时，，
故不是“函数”．
（2）由是“函数”，可知，
即对任意恒成立，
当时，，可得对任意恒成立，所以，
当，时，由，可得，
故，
又，故，
由，即对任意正数，恒成立，
可得，即．
综上所述实数的取值范围是．
（3）由函数为“函数”，可知对任意正数，，都有，，
且，
令，可得，即，
故对任意正整数与正数，都有，
对任意，可得，，
又因为，
所以，
同理，
所以．