2022-2023学年上海市进才中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市进才中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．设集合，，，则______．
【答案】##
【分析】利用补集及交集的定义运算即得.
【详解】因为，
所以，又因为，
所以.
故答案为：.
2．函数的定义域为______．
【答案】
【分析】根据函数定义域结合对数,即可求解.
【详解】由有意义可知
,计算可得
可得或.
故答案为: .
3．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题目条件得到，从而求出实数的取值范围.
【详解】是的充分条件，故，所以，
实数的取值范围为.
故答案为：
4．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据绝对值不等式求出的最小值，再根据能成立问题建立一元二次不等式求解.
【详解】因为，
所以，
因为存在，使得，
所以即解得或.
故答案为：.
5．已知函数，且，那么=_________.
【答案】-12
【分析】代入，整体代换求值即可.
【详解】由题意，，即，
故,
故答案为：-12
6．已知幂函数在上为增函数，则_________．
【答案】1
【解析】根据幂函数可得：，即可得解.
【详解】由题意可得：，
解得：或（舍），
所以，满足条件，
故答案为：1.
7．若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案．
【详解】解：因为函数的值域为，
所以能够取到大于等于的所有数，
当时，不合题意；
当时，则，解得；
综上可得.
故答案为：．
8．已知曲线上的相异两点A，B到直线的距离相等，则点A，B的纵坐标之和的取值范围是______．
【答案】
【分析】设出两点的坐标，求得点A，B的纵坐标之和的表达式，利用对数型函数值域的求法求得正确答案.
【详解】的定义域为，
设，
所以
，
，
所以，
所以点A，B的纵坐标之和的取值范围是.
故答案为：
9．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【分析】由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围．
【详解】解：因为，
当时函数单调递减且，
当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则在处取得最大值，不符题意；
若，，则在处取得最大值，
且，解得，
综上可得的范围是．
故答案为：
10．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.
【答案】
【解析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标.
【详解】
设直线的方程为，由，得，所以点，
由，得，所以点，从而，
如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，所以，，
则点，
因为点在函数的图象上，则，
解得，所以点的纵坐标为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于先由同一参数表示出点坐标，再代入求解；本题中，先设直线，分别求出，坐标，得到等边三角形的边长，由此用表示出点坐标，即可求解.
11．若关于x的不等式的解集为，则实数a的范围是______．
【答案】
【分析】令，，由题可得恒成立，然后利用数形结合即得.
【详解】令，，则
恒成立，
即恒成立，
作出函数，的大致图象，
由图可知，即，
所以实数a的范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法：若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法：结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法：把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
12．已知函数)和同时满足以下两个条件:
①对任意实数都有或；
②总存在，使成立，
则的取值范围是._________
【答案】
【分析】由于时，，根据题意有在时成立；由于，，而，则在时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．
【详解】对于①，当时，，
又①，或
在时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在的左面，
即，可得
又②，
此时恒成立
在有解，
的对称轴为，，
在单调递增，
，且，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查对全称命题与特称命题的理解，并转化成研究二次函数的函数值正负问题，充分利用数形结合思想进行求解，能使问题的求解思路更清晰．
二、单选题
13．若函数则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】首先计算，再计算的值.
【详解】，.
故选：D.
14．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题可得函数定义域，函数的奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法即得.
【详解】对任意的，，
故函数的定义域为，故A错误；
又当时，，故B错误；
因为，所以为奇函数，故C错误.
故选：D.
15．已知定义域为的函数为偶函数，且在内单调递减，记，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知区间单调性及偶函数的对称性知在上递增，根据单调性比较的大小关系.
【详解】由为偶函数且在内单调递减，
所以在上递增，
由，而，
因为，故，
所以.
故选：B
16．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用常变量分离法，结合二次函数的性质、数形结合思想进行求解即可.
【详解】由于关于x的方程有4个不同的实数解，
当时，原式为，解得，不满足题意；
故，则可转化成，
所以或，所以或，
所以时，是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零非4的实数解，所以有3个不同的非零非4的实数解，
即函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，
在同一直角坐标系作图：由图可知，即，所以k的取值范围为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用转化法，结合数形结合思想进行求解是解题的关键.
三、解答题
17．证明：函数在其定义域上是严格减函数．
【答案】证明见解析
【分析】利用函数单调性的定义及对数函数的单调性即可证明.
【详解】证：设是定义域上任意给定的两个实数，且，
则，
由对数函数的性质，可知，
因此，函数在其定义域上是严格减函数
18．设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数性质可得a的值，然后验证奇偶性可得；
（2）将恒成立问题转化为函数最值问题，通过分类讨论可解.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，可得
因为，
所以时为奇函数，所以
（2）
当时， 恒成立，
，，
当时， 恒成立，所以
当时， 恒成立，，显然不满足题意.
综上所述，
19．为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，重庆市育才中学校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为米.现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价关于的函数关系为.
(1)设公司甲整体报价为元，试求关于的函数解析式；
(2)若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由.
【答案】(1)
(2)公司乙能竞标成功，理由见解析
【分析】（1）由已知临时隔离室的左右两侧的长度均为米，则隔离室前后面的地面长度为米，根据题意即可列出解析式；
（2）根据函数解析式，利用基本不等式和二次函数性质，即可求出最值，在根据最值比较大小即可求出竞标成功的公司.
【详解】（1）解：因临时隔离室的左右两侧的长度均为米，则隔离室前后面的地面长度为米，
于是得，，
所以y关于x的函数解析式是.
（2）解：由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“”，则当左右两侧墙的长度为5米时，公司甲的最低报价为15400元，
对于公司乙，函数在上单调递增，在上单调递减，
即乙公司最高报价为15380元，
因，因此，无论取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功.
20．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；
(3)若不等式的解集为D，若[﹣1，1]⊆D，求m的取值范围．
【答案】(1)的取值范围为；
(2)当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；
(3)．
【分析】（1）分和两种情况求解即可，
（2）分三种情况解不等式，
（3）由条件知对任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最大值即可
【详解】（1）当时，即，则由 ，得，不合题意，
当，即时，由不等式的解集为得
，解得，
所以的取值范围为；
（2）因为，所以，即，
当，即时，解得，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为 ，所以，所以，
所以不等式的解集为，
综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；
（3）因为不等式的解集为，且，
所以对任意的，不等式恒成立，
即，
因为
所以恒成立，
令，则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以的取值范围为.
21．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
(1)判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由．
(2)若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
(3)是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论；
（2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数的取值范围；
（3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证结论.
【详解】（1）
因为为恒正函数且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为
故，得证．
（2）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
整理得：在区间上恒成立，
因为在上的最小值为，
得．
（3）不存在.
假设存在，则有
即，对任意成立，
等价于，对任意成立．
等价于，对任意成立
令，令，得，
当时，取得最大值，最大值为；
令，令，得，
易知
可得，不存在．
所以，假设不成立，不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数．