2022-2023学年上海市位育中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市位育中学高一上学期10月月考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知集合，则______．
【答案】
【分析】计算，再计算交集得到答案.
【详解】，，故.
故答案为：
2．平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的几何可以用描述法表示______________
【答案】或
【分析】根据坐标轴上点的特点横坐标或纵坐标为0求解即可.
【详解】因为轴上点的坐标的纵坐标为0，轴上点的坐标的横坐标为0，
所以坐标轴上点的集合为：或.
故答案为：或
3．事件“对任意实数与，都有成立”的否定形式为________．
【答案】存在实数与，使得成立.
【分析】“任意，则 ”的否定形式为“存在，则 ”
【详解】全称命题的否定为特称命题， 故“对任意实数与，都有成立”的否定形式为“存在实数与，使得成立”.
故答案为：存在实数与，使得成立.
4．设，若，则为真命题，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据命题的真假性，得到两个范围作为集合的关系，进而求出的取值范围即可.
【详解】解：由题知，则为真命题，
则，故.
故答案为：
5．集合，，若，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】先化简集合或，，根据，列出不等式，即可得出结果.
【详解】因为或，，
又，所以，解得.
故答案为
【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合间的基本关系，以及分式不等式的解法即可，属于常考题型.
6．设是方程的两个实数根，则=_____________
【答案】2024
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，再将转化后求出．
【详解】，是方程的两个根，
，，
又，
，
故答案为： 2024
7．不等式的解集是，则不等式的解集为___________
【答案】{x|﹣2＜x}．
【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得 a＜0，且3，×3，由此化简要求的不等式为 3x2+5x﹣2＜0，从而求出它的解集．
【详解】∵不等式ax2+bx+c＞0的解集是，∴a＜0，且3，×3，
∴b＞0，c＞0，，，
∴不等式cx2+bx+a＜0，即 x20，即 x20，即 3x2+5x﹣2＜0，
求得它的解集为 {x|﹣2＜x}，
故答案为{x|﹣2＜x}．
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
8．若不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】考虑与两种情况，根据根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】当时，，满足要求，
当时，要想满足解集为R，
则要，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
9．运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目．15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类．同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有______人．
【答案】19
【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．
【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，
即同时参加游泳比赛和田径比赛的，同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次，
所以就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，
所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．
∵同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，
∴只参加一个项目的有人，
故答案为19
【点睛】本题主要考查集合关系的应用，根据人数关系求出同时参加田径比赛和球类比赛的有3人是解决本题的关键．
10．设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据，判断或 或即可得解.
【详解】由题意的解集不包含，或的解集不包含2，
所以或 或，
解得，或或，
故答案为：.
11．若，则，则称是“对偶关系”集合，若集合的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数的取值集合为__________
【答案】
【分析】根据定义，列举集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数的取值即可．
【详解】解：集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”
有与6，与4，2与0，则与7，
这些组合的“对偶关系”有4对，集合有个．
那么，可得．
当时，则，也满足“对偶关系”．
可得实数的取值集合为．
故答案为：．
【点睛】本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题
12．已知关于的不等式有唯一解，则实数的取值集合为_______
【答案】
【解析】不等式化为，讨论、和时，不等式有唯一解时对应的取值．
【详解】不等式可化为；
若，不等式可化为，不满足有唯一解；
若，则若不等式，
令，解得，
即时，满足不等式有唯一解；
若，则若不等式组，
令，解得，
即时，满足不等式有唯一解；
综上知，的取值集合是，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元二次不等式有唯一解的应用问题，也考查了二次函数有最值的应用问题，是中档题．
二、单选题
13．“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件，利用作差法以及不等式性质，可得答案.
【详解】由，则，即，故；
由，则或，故推不出；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14．下列选项是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【解析】取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.
【详解】对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，令，此时，故B错误；
对于C，令，此时，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
15．对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）
【答案】D
【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项.
【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，
若，具有包含关系，不妨设是的真子集，
对于（1）: 图中，，图中，所以，
故（1）正确；
对于（2）：图中，成立，
图中，，，
所以成立，故（2）正确；
对于（3）：若，则；故（3）正确；
所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），
故选：D.
16．定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据已知二次不等式求出，进而可求x的范围
【详解】解得，为不小于的最小整数，所以.
故选：C
三、解答题
17．已知a，，比较与的大小．
【答案】.
【解析】利用作差法：作差、配方，从而可得答案.
【详解】，，


，
，
当且仅当，时，等号成立，两式相等．
18．某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）
【答案】
【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.
【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元，
出租的床位会减少10的倍张，即为张，
由题意可得该旅社每晚的收入为，
整理可得：
解得：，
因为，所以可取6，7，8，9，
此时每个床位的定价即为110，120，130，140，
所以每个床位的定价的取值范围是，
故答案为：.
19．解关于不等式: ().
【答案】见解析
【分析】先因式分解，比较，分三种情况讨论解得不等式的解集.
【详解】原不等式可化为：，
令，则或，
①当即时，原不等式的解集为；
②当即时，原不等式的解集为；
③当即时，原不等式的解集为.
20．设实数，集合．
(1)若集合中含有且仅含有3个整数，求实数的取值范围;
(2)设集合，若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解得，由集合中含有且仅含有3个整数可限制与的范围求解即可；
（2）若“”是“”的充分非必要条件，则，列出关于的不等式组求解即可.
【详解】（1）由得，集合中含有且仅含有3个整数，这个整数只能是1，2，3，不能有0，4等其它整数，
故满足，解得.
（2）因为，故集合一定是非空集合，由得，因为“”是“”的充分非必要条件，
所以是的真子集，所以或，解得.
21．若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”.
(1)试判断集合是否为“闭集”，并说明理由；
(2)设集合是“闭集”，求证：若，则；
(3)若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)证明详见解析
(3)真命题，理由见解析
【分析】（1）根据“闭集”的性质进行判断.
（2）根据“闭集”的性质证得结论成立.
（3）根据“闭集”的性质进行判断.
【详解】（1），，但，
所以集合不是“闭集”.
（2）依题意，集合是“闭集”，
所以
（3）依题意集合是一个“闭集”，
所以
若，则；
若，则；
若且，则，
所以.
所以命题“若，则”是真命题.
22．对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得．
【答案】证明见详解
【分析】根据“封闭集合”的定义从充分性和必要性两个方面分别证明.
【详解】对，
不妨设，则，
若集合为“封闭集合”，即，则，
∵，
∴，
设，即，
又∵对，均有，则
∴；
故存在整数，使得；
若存在整数，使得，则，
∵，则，且，
∴；
综上所述：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得.