2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期末复习考试数学试卷教师卷

这是一份2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期末复习考试数学试卷教师卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。




：
重庆育才中学高 2025 届高一上期末复习考试
数 学

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合 A = {a - 2, a2 + 4a,12}，且-3Î A，则 a 等于（ ）


A． -3 或-1
B． -1
C．3 D． -3

2．已知角a 的终边与 5π的终边重合，则a 的终边不可能在（ ）
3 3
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 p : (x + 2)(x - 3) < 0, q :| x -1|< 2 ，则 p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

l
4. 如图是杭州 2022 年第 19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如


图是会徽的几何图形.设弧 AD 的长度是l ，弧 BC 的长度是l ，几何图形 ABCD 面积为S ，扇形BOC 面积为S ，若
l1 = 3 ，

1 2 1 2
2
则 S1 = （ ）
S2
A．3 B．4 C．6 D．8
1+ x2
5. 已知函数 f ( x) = ln ( - x)×sinx 则函数 f ( x) 的大致图象为（ ）






A． B．





C． D．

6. 若函数 y = log1 (ax2 4x 12)在区间[1, 2] 上单调递增，则实数 a 的取值范围（ ）
3

A．( 1,1]
B．[ 1,1]
C． (0,1]
D．[0,1]

ê ú
7. 已知函数 f (x) =| sin wx | (w > 0) 在区间ép , p ù 上单调递减，则实数w 的取值范围为（ ）
ë 5 3 û

A． é 5 , 3ù
B． æ 0, 3 ù
C． é8 ,3ù
D． æ 0, 5 ù

ê 2 ú
ç 2 ú
ê3 ú
ç 4 ú

ë û è û ë û è û
8．已知函数 f ( x) = 1 sin ép æ x 2021öù （ 4 £ x £ 2 且 x 1 ），则 f ( x) 的所有零点之和为（ ）

x 1
ê ç 2 ÷ú


A． 8
ë

B． 6
è øû


C． 4


D．2


二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5

分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列计算正确的是（ ）

1 1



ç 2 ÷
1 log2 7



A． æ 9 ö2 (6)0 æ 27 ö3 = 1
ç 4 ÷ ç 8 ÷
è ø è ø

C． log2 3´log3 4 = log6 7

æ 1 öx2 ax 3
B． æ ö ln (ln e) = 7
è ø
D． lg 25 2 lg 8 lg 200 lg 2 = 0
3

10. 若函数
f ( x) = ç ÷
3
è ø
的图像经过点(3，1)
， 则（ ）



A． a = 2
B． f ( x)
在( ，1)

上单调递减



C． f ( x)
的最大值为 81 D． f ( x)
1
的最小值为
81

11．已知函数 f (x), g(x) 的定义域为R ，且 f (2 x) g(x) = 5, g(x 2) f (x 2) = 7 ，若函数 y = g(x 2) 为偶函数，
g(2) = 4 ，则下列选项正确的是（ ）
A． f (x) 为偶函数 B． f (x) 的图象关于点( 1, 1) 对称
C． f (x) 的周期为 4 D． f (1) f (2) f (2023) = 2023
12. 已知函数 f (x) =| cos x | cos 2x ，则下列结论中正确的是（ ）

A. f (x) 的最小正周期为π
2
B. f (x) 在é π , 2π ù 上单调递增
ê ú
ë 2 3 û

C. f (x) 的图象关于直线 x = π 对称 D． f (x) 的值域为[ 1, 2]
4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13．幂函数 f (x) = (m2 3m 3)xm2 5m 在(0, ) 上单调递减，则m = .

14．若sin æ p a ö = 1 ，则sin æ 5p a ö cosæ 2p a ö = ．
ç 6 ÷ 3 ç 6 ÷ ç 3 ÷

è ø
15．设函数 f (x) = log1

2
è ø è ø
1 2 | x |
(1 x2 ) 1 ，则使得 f (x) £ f (2x 1) 成立的 x 的取值范围是 ．

2
16．已知 a＞0，b＞0，c＞2，且 a＋b＝1，则 ac c 2c 的最小值为 ．

b ab c 2
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.


17．（10 分）已知集合 A = {x m 1 £ x £ 2m 3} ，不等式 8
x 1

< 1 的解集为B ．

(1)当m = 2 时，求 AÈ B ， ( R A) B ；

(2)若 A B = A ，求实数 m 的取值范围．







18．（12 分）已知角a 满足sina cosa = 5 .
5
(1) 求tana 的值；
sin (a π) tan (5π a )cos(π a )
(2) 若角a 是第三象限角， f (a ) = æ 3π ö ，求 f (a ) 的值.
tan (2π a )cosç 2 a ÷
è ø








19．（12 分）已知函数 f ( x) = ax2 (a 2) x 2(a ÎR) ．
(1) 若对任意的 xÎ R ， f ( x)≥ 1 恒成立，求实数 a 的范围：
4
(2) 求关于 x 的不等式 f ( x) > 0 的解集．
20．（20 分）已知函数 f (x) = loga
(1) 试判断函数 f (x) 的奇偶性；
4x 1


2x
（ a > 0 且a 1）.

(2) 当a = 2 时，求函数 f (x) 的值域；


(3) 已知 g(x) = x 2
x ，若"x1 Î[ 4, 4], $x2 Î[0, 4] ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ³ 2 ，求实数a 的取值范围．





21．（12 分）某同学用“五点法”画函数 f (x) = Asin(wx j)(w > 0,| j |< π) 在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据
2

如表：


x
2p 3
π 3

x
1

x
2
10π 3
wx j

0
π 2

π
3p

2

2π
sin(wx j)
0
1
0

1
0

f (x)

0

3

0
y2

0



(1) 请利用上表中的数据，写出x1 、 y2 的值，并求函数 f (x) 的解析式；
(2) 将函数 f (x) 的图象向右平移 2π 1
g(x)

3 个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的 2 ，纵坐标不变，得到函数
的图象，若| g(x) m |< 2 在ép , p ù 上恒成立，求实数m 的取值范围；
êë 4 2 úû


(3)在（2）的条件下，若F (x) = g2 (x)
3 a × g(x) 1在 x Î(0, 2019π) 上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．
3



22．（12 分）对于函数 f ( x) = ax2 (1 b) x b 1(a 0),存在实数 x ,使 f ( x ) = mx ,成立,则称 x 为 f ( x) 关于参数m 的
0 0 0 0

不动点.
(1) 当a = 1, b = 2 时,求 f ( x) 关于参数 1 的不动点;
(2) 当a = 1, b = 2 时,函数 f ( x) 在 x Î(0, 2] 上存在两个关于参数m 的相异的不动点,试求参数m 的取值范围;
(3) 对于任意的a Î é 1 ,1ù ,总存在b Î[2,5],使得函数 f ( x) 有关于参数m 的两个相异的不动点,试求m 的取值范围.
êë 2 úû


重庆育才中学高 2025 届高一上期末复习考试
数 学

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合 A = {a - 2, a2 + 4a,12}，且-3Î A，则 a 等于（ ）


A． -3 或-1
B． -1
C．3 D． -3


【答案】D

2．已知角a 的终边与 5π的终边重合，则a 的终边不可能在（ ）
3 3
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A

3．已知 p : (x + 2)(x - 3) < 0, q :| x -1|< 2 ，则 p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B

4. 如图是杭州 2022 年第 19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如


图是会徽的几何图形.设弧 AD 的长度是l ，弧 BC 的长度是l ，几何图形 ABCD 面积为S ，扇形BOC 面积为S ，若
l1 = 3 ，

l
1 2 1 2
2
则 S1 =（ ）
S2
A．3 B．4 C．6 D．8


1+ x2
【答案】D
5. 已知函数 f ( x) = ln ( - x)×sinx 则函数 f ( x) 的大致图象为（ ）






A． B．






C． D．
【答案】A

6. 若函数 y = log1 (ax2 4x +12)在区间[1, 2] 上单调递增，则实数 a 的取值范围（ ）
3

A．( 1,1]
B．[ 1,1]
C． (0,1]
D．[0,1]


【答案】A

ê ú
7. 已知函数 f (x) =| sin wx | (w > 0) 在区间ép , p ù 上单调递减，则实数w 的取值范围为（ ）
ë 5 3 û

A． é 5 , 3ù
B． æ 0, 3 ù
C． é8 ,3ù
D． æ 0, 5 ù

ê 2 ú
ç 2 ú
ê3 ú
ç 4 ú

ë û è û ë û è û
【答案】A

8．已知函数 f ( x) = 1 + sin ép æ x + 2021öù （ 4 £ x £ 2 且 x 1 ），则 f ( x) 的所有零点之和为（ ）

x +1
ê ç 2 ÷ú


A． 8
ë

B． 6
è øû


C． 4


D．2


【答案】C

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5


分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列计算正确的是（ ）

1 1



ç 2 ÷
1 log2 7



A． æ 9 ö2 (6)0 æ 27 ö3 = 1
ç 4 ÷ ç 8 ÷
è ø è ø

C． log2 3´log3 4 = log6 7
B． æ ö + ln (ln e) = 7
è ø
D． lg 25 + 2 lg 8 lg 200 + lg 2 = 0
3


【答案】ABD




10. 若函数
æ 1 öx2 +ax 3
f ( x) = 3
ç ÷
è ø
的图像经过点(3，1)

， 则（ ）



A． a = 2
B． f ( x)
在( ¥，1)

上单调递减



C． f ( x)
的最大值为 81 D． f ( x)
1
的最小值为
81


【答案】AC

11．已知函数 f (x), g(x) 的定义域为R ，且 f (2 x) + g(x) = 5, g(x + 2) f (x 2) = 7 ，若函数 y = g(x + 2) 为偶函数 ，g(2) = 4 ，则下列选项正确的是（ ）
A． f (x) 为偶函数 B． f (x) 的图象关于点( 1, 1) 对称

å ( )
2023
C． f (x) 的周期为 4 D． f k 2023
k 1
【答案】ABC

12. 已知函数 f (x) | cos x | cos 2x ，则下列结论中正确的是（ ）

A. f (x) 的最小正周期为π
2
B. f (x) 在é π , 2π ù 上单调递增
ê ú
ë 2 3 û

C. f (x) 的图象关于直线 x π 对称 D． f (x) 的值域为[ 1, 2]
4
【答案】BD


三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13．幂函数 f (x) (m2 3m 3)xm2 5m 在(0, ) 上单调递减，则m .
【答案】4

14．若sin æ p a ö 1 ，则sin æ 5p a ö cosæ 2p a ö ．
ç 6 ÷ 3 ç 6 ÷ ç 3 ÷
è ø è ø è ø

【答案】0


15．设函数 f (x) log1

2
【答案】 1 £ x £ 1
3
(1 x2 ) 1 ，则使得 f (x) £ f (2x 1) 成立的 x 的取值范围是 ．

1 2 | x |
16．已知 a＞0，b＞0，c＞2，且 a＋b＝1，则 ac c 2c 2 的最小值为 ．

b ab c 2
【答案】4 4 2


四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.


17．已知集合 A {x m 1 £ x £ 2m 3} ，不等式 8
x 1

1 的解集为B ．

(1)当m 2 时，求 AÈ B ， ( R A) B ；

(2)若 A B A ，求实数 m 的取值范围．
【详解】（1）当m 2 时， A {x m 1 £ x £ 2m 3} {x 1 £ x £ 7}，
由 1 得 1 0 ，即 0 ，故
8
8
9 x
x 1
x 1
x 1
x 9
x 1
> 0 ，即( x 9)( x 1) > 0 ，解得 x 1或 x > 9 ，故 B {x x 1 或 x > 9}，
所以 A È B {x x £ 7 或 x > 9}， R A {x x 1 或 x > 7} ，故( R A) Ç B {x x 1 或 x > 9}.
（2）因为 A B A ，所以 A Í B ，
当 A 时， 2m 3 m 1 ，解得m 4 ；









18．已知角a 满足sina cosa
(1) 求tana 的值；
5 .
当 A 时，由数轴法得í2m 3 1或ím 1 > 9 ，即ím 1 或ím > 10 ，
ìm 4
ìm 4
ìm 4 ìm 4
î
î
î
î
故 4 £ m 1或m > 10 ，综上： m 1或m > 10 ，所以实数 m 的取值范围为( , 1) È(10, ) .
5


sin (a π) tan (5π a )cos(π a )

(2) 若角a 是第三象限角， f (a ) æ 3π
ö ，求 f (a ) 的值.

tan (2π a )cosç 2 a ÷
5
【答案】(1)答案见解析(2) 5
ì
【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有
ï
í
sin a cosa
5
5
，
ïîsin2 a cos2 a 1
消去sina 得5cos2a 5cosa 2 0 ，解得cosa 2 5 或cosa 5 ，
5
5
当角a 是第一象限角时， cosa 2 5 , sina 5 , tana 1 ，
5
5
2
因为角a 是第三象限角， cosa 5 , sina 2 5 , tana 2 .
5
5
（2）由题意可得 f (a ) sina tana ( cosa ) cosa ，
tanasina
因为角a 是第三象限角，所以cosa 5 ，所以 f (a )
5
5 .
5
è ø
19．已知函数 f ( x) ax2 (a 2) x 2(a ÎR) ．
(1) 若对任意的 xÎ R ， f ( x)≥ 1 恒成立，求实数 a 的范围：
4
(2) 求关于 x 的不等式 f ( x) > 0 的解集．
【答案】(1) a Î[1, 4]
(2)答案见解析.
【详解】（1）因对任意的 xÎ R ， f ( x)≥ 1 恒成立，则ax2 (a 2) x 9 0 对任意实数恒成立， 得
4
4
ìa > 0 Þ ìïa > 0
íΔ £ 0
î
ïî
í
( )
a 2 9a £ 0
2
，解得a Î[1, 4].
（2）①当a 0 时， f ( x) > 0 Û 2x 2 > 0 ，则对应解集为： ( ,1) .
②当a 0 时， f ( x) > 0 Û (ax 2)( x 1) > 0 Û a æ x 2 ö( x 1) > 0 .
ç a ÷
è ø


（1）当 ，即0
2
a
> 1
a 2 时， ( ) 的解集为： (
f x > 0

,1 ∪ ,
)
æ
ç a ÷
2
ö
è
ø
.
（2）当 2 1 ，即a 2 时， f ( x) > 0 Û ( x 1)2 > 0 ，对应解集为： ( ,1)∪(1, ) .
a
（3）当
0 1
2
a
，即a
> 2 时， ( ) 的解集为：
f x > 0
æ
ç
è

, ∪ 1,
a ÷
2
ö
ø
( ).
（4）当 2 0 ，即a 0 Û æ x 2 ö( x 1) 0 ，对应解集为： æ 2 ,1ö .
a
ç a ÷
è ø
综上：当a 2 时，解集为：
æ
ç a ÷
è

, ∪ 1,
2 ö
ø
( ).


20. 已知函数 f (x) loga
4x 1


2x
（ a > 0 且a 1）.

(1) 试判断函数 f (x) 的奇偶性；
(2) 当a 2 时，求函数 f (x) 的值域；


(3) 已知 g(x) x 2
x ，若"x1 Î[ 4, 4], $x2 Î[0, 4] ，使得 f (x1 ) g(x2 ) 2 ，求实数a 的取值范围．


【答案】(1)函数 f (x) 是偶函数(2)[1, + ) (3) (1, 2]
【详解】（1）因为 f (x) loga
4x 1
2x
(a > 0 且a 1) ，所以其定义域为R，
又 f ( x) loga
4 x 1
2 x
loga
1 4x
2x
f (x) ，
所以函数 f (x) 是偶函数；
（2）当a 2 时， f (x) log
2
4x 1
2x
，因为2x > 0 ,
4x 1
2x
2
x
1
2x
2 ,当且仅当2x 1 ，即 x 0 时取等，
4 1 log 2 1
x
所以 f (x) log2
2x
2
,
所以函数 f (x) 的值域为[1, ) .
（3） "x1 Î[ 4, 4]， $x2 Î[0, 4]，使得 f (x1 ) g(x2 ) 2 ，等价于[ f (x)]min [g(x) 2]min ，
令t
x ， x Î[0, 4]， t Î[0, 2]，
令h(t) t2 2t 2 ，则 g(x) 2 在[0, 4] 上的最小值等于h(t) 在[0, 2] 上的最小值，

h(t) 在[0,1] 上单调递减，在[1, 2] 上单调递增，所以h(t) 在[0, 2] 上的最小值为h(1) 1 ，所以[ f (x)]min 1.
因为 f (x) 为偶函数，所以 f (x) 在[ 4, 4] 上的最小值等于 f (x) 在[0, 4] 上的最小值，


设v(x) 4 1
x
2x
，则 f (x) log v(x)
a
，
任取0 £ x1 x2 £ 4 ，
v(x ) v(x )
4 1
x
1
4 1
x
2
1
2
2x1

(2 2 )(1
x x
1 2

1
2x2
2x1 x2 ) ，
因为0 £ x x £ 4 ，所 以
1 2
2 2
x1 x2 ， 2x1
2 0 ， 1
x2
x x > 0 ，
2
2 > 1
x1 x2
，1
1
2x1 x2
> 0 ，
所以(2x1 2x2 )(1 1
2x1 x2
) 0 ， v(x ) v(x ) ，
1
2
所以v(x)
4x 1
2x
在 上为单调递增函数，
[0, 4]
当0 a 1 时，函数 f (x) loga v(x) 在[0, 4] 上为单调递减函数，
所以 f (x) f (4) loga
min
4 1 log
4
24
a 16
257 257 257
，所以log 1 ，得a （舍）；
a 16
16
当a > 1，函数 f (x) loga v(x) 在[0, 4] 上为单调递增函数，

所以 f (x)min f (0) loga 2 ，所以loga 2 1，1 a £ 2 .综上得：实数a 的取值范围为(1, 2].



21. 某同学用“五点法”画函数 f (x) Asin(wx j)(w > 0,| j | π) 在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
2


x
2p 3
π 3

x
1

x
2
10π 3
wx j

0
π 2

π
3p

2

2π
sin(wx j)

0

1

0

1

0

f (x)

0

3

0
y2

0



(1) 请利用上表中的数据，写出x1 、 y2 的值，并求函数 f (x) 的解析式；
(2) 将函数 f (x) 的图象向右平移 2π 1
g(x)

3 个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的 2 ，纵坐标不变，得到函数
ê ú
的图象，若| g(x) m | 2 在ép , p ù 上恒成立，求实数m 的取值范围；
ë 4 2 û

(3)在（2）的条件下，若F (x) g2 (x)
3 a × g(x) 1在 x Î(0, 2019π) 上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．
3


【答案】(1) x 4π ， y 3 ，函数 f (x) 的解析式为 f (x)
1
3
2
3 sin æ 1 x π ö ；(2) æ 3 2, 6 2 ö ；
ç 2 3 ÷
è
ø
ç
è
2
÷
ø
(3) a 2 , F (x) 在(0, 2019π) 共有3029 个不同的零点.


【详解】（1）由“五点法”及表格数据分析可得： A
3 .所以 y2 3 .


ì 2π ´w j 0 ìw 1
ï 3 ï 2

π π
由í
ï ´w j
ïî 3 2
，解得： í ，
ïj π
ïî 3

所以 f (x)
3 sin æ 1 x π ö .
ç 2 3 ÷
è ø

由 1 x π π ，解得： x 4π .
2 1 3 1 3
综上所述： x 4π ， y 3 ，函数 f (x) 的解析式为 f (x) 3 sin æ 1 x π ö .
2 3
è ø
1 3 2 ç ÷

（2）由（1）知 f (x)
3 sin æ 1 x π ö ,将函数 f (x) 的图象向右平移 2π 个单位，得到 y 3 sin( x π π) 3 sin x ，

2 3
3
è ø
ç ÷ 2 3 3 2


1 g(x)
再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的 2 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，所以 g(x)
3 sin x .



当 x éπ , πù 时， t g(x)
3 sin x é 6 , 3ù .

êë 4 2 úû
ê 2 ú

ë û

因为| g(x) m | 2 在é π , π ù 上恒成立，所以| t m | 2 在t é

6 , 3ù 上恒成立，

êë 4 2 úû
ê 2 ú

ë û

é 6 ù
所以| m t | 2 在t , 3 上恒成立，
ê 2 ú
ë û

所以t 2 m t 2 在t é 6 , 3ù 上恒成立，
ê 2 ú



所以 3 2 m
ë û
6 2 .
2

æ 6 ö
即实数m 的取值范围为 3 2, 2 .
ç 2 ÷
è ø

（3）由（2）可知： F(x) 3sin2 x a sin x 1， F (x) 周期为T 2π .

当 x (0, 2π] 时,令t sinx ,考虑方程3t2 at 1 0 的根的情况：

因为D a2 12 > 0 ，所以方程3t2 at 1 0 在R 上必有两个不同的实数根t t1,t t2 ,t1 t2 .
因为 F (x) 在(0, 2019π) 有奇数个零点,所以t1 [ 1,1]或t2 [ 1,1] .
①若 1 t1 t2 1，则方程t1 sinx,t2 sinx 在(0, 2π]共有 4 个不同的实数根,在(0, π) 有 0 个或 2 个实数根.
所以 F (x) 0 在(0, 2019π) 有 2019 1´ 4 4036 个根或 2019 1´ 4 2 4038 个根，与 F (x) 有奇数个零点相矛盾，舍去；
2 2
②若t1 ( 1,1), t2 Ï[ 1,1] ，则t1 sinx 在在(0, 2π]共有 2 个不同的实数根, 在(0, π) 有 0 个或 2 个实数根.

所以 F (x) 0 在(0, 2019π) 有 2019 1´ 2 2018 个根或 2019 1 ´ 2 2 2020 个根，与F (x) 有奇数个零点相矛盾，舍去.
2
同理： t2 ( 1,1), t1 Ï[ 1,1] 也不符合题意，舍去.
2
所以t1 1或t2 1
③若
t 1 ,
2
则a 2 ,方程
3t at 1 0 的根
2
t , t
1
1
3
2
1.
方程 1 sin x,1 sin x 在(0, 2π]共有 3 个不同的实数根,而在(0, π) 上 1 sin x 无解，1 sin x 有一个不同的根, ,
3
3
所以 F (x) 0 在(0, 2019π) 在æ 2019 1ö´ 3 1 3028 个根，与 F (x) 有奇数个零点相矛盾，舍去.
ç
è
2
÷
ø
④若t 1,则a 2 ,此时
3t at 1 0
2
1
的根为
t , t
1
2
3
1
1.
方程 sin x, 1 sin x 在(0, 2π]共有 3 个不同的实数根,而在(0, π) 上 sin x 有两个不同的根, 1 sin x 无解,
1
1
3
3
所以 F (x) 0 在(0, 2019π) 在æ 2019 1ö´ 3 2 3029 个根，符合题意.
ç
è
2
÷
ø
综上所述： a 2 , F (x) 在(0, 2019π) 共有3029 个不同的零点.

22. 对于函数 f ( x) ax2 (1 b) x b 1(a 0),存在实数 x ,使 f ( x ) mx ,成立,则称 x 为 f ( x) 关于参数m 的不动点.


(1) 当a 1, b 2 时,求 f ( x) 关于参数 1 的不动点;
0 0 0 0


(2) 当a 1, b 2 时,函数 f ( x) 在 x (0, 2] 上存在两个关于参数m 的相异的不动点,试求参数m 的取值范围;
(3) 对于任意的a é 1 ,1ù ,总存在b [2,5],使得函数 f ( x) 有关于参数m 的两个相异的不动点,试求m 的取值范围.
êë 2 úû
【答案】(1) 1 和 3(2) 5 m £ 11 (3) m ( , 2) È(5， )
2
【详解】（1）当a 1, b 2 时, f (x) x2 x 3
令 f (x) x ,可得 x2 x 3 x 即 x2 2x 3 0
解得 x 3 或 x= 1
当a 1, b 2 时, f (x) 关于参数 1 的不动点为 1 和 3
（2）由已知得 x2 3x 1 mx 在 x (0 , 2] 上有两个不同解,

即 x2 (3 m)x 1 0 在 x (0 , 2] 上有两个不同解,
令 g(x) x2 (3 m)x 1 ,
ìg(0) 1 > 0
ïg(2) 11 2m 0
所以íΔ (3 m)2 4 > 0 ,
ï
ï
ïî
ï0
m 3 2
2
解得: 5 m
11
．
2








（3）由题意知,函数 f ( x) 有关于参数m 的两个相异的不动点,

所以方程 f (x) mx ,即ax2 (b 1 m) x b 1 0(a 0) 恒有两个不等实根,
则 (
D b 1 m 4a(b 1) >
)
2
0 ,即
(
b 1 m
b 1
)
2
> 4a 对于任意的
a ,1
é 1 ù
ê
ë 2
û
,总存在 [
b 2,5
]使之成立,即
é(b 1 m)2 ù
ê
êë
b 1
ú
úû
> (4a)
max
max
即ê
é(b 1 m)2 ù
êë
b 1
ú
úûmax
> 4
令h(b)
(b 1 m) b 1
2

(b 1) (4 2m)(b 1) (m 2)
2
2
b 1
=b 1
(m 2)
b 1
2
(4 2m) ， b [2,5],
根据对勾函数性质，令b 1
(m 2)2
b 1
，则b 1 m 2 ，解得： b m 2 1，
①当 m 2 1 2 ，即1 m 3时，函数h(b) 在[2, 5]单调递增，则
h(b) h(5)
max
(6 m)2
4
> 4 ，解得： m 2 或m > 10 ，综上：1 m 2 ，
②当 m 2 1 5 ，即m 2 或m 6 时，函数h(b) 在[2, 5]单调递减，则
h(b) h(2) 3 m >
max
( ) 4 ，解得： m 1或m > 5 ，综上： m 2 或m 6 ，
2
③ 2 m 2 1 5,即m ( 2，1) (3，6) 时，函数h(b) 在[2, 5]先减后增，
h(b)max max{h(5), h(2)} ，令h(5) > h(2) ，解得： m ( 4, 0) ，
1 故m ( 2，0) 时， h(b)max h(5) > 4 ，结合①得： m ( 2，0)
2 故m [0,1) (3，6) 时， h(b)max h(2) > 4 ，结合②得： m [0,1) (5，6) ，综上： m ( ，2) È(5， )
,