2023北京丰台高三（上）期末数学（教师版）

2023北京丰台高三（上）期末

数    学

2023.01

第一部分   （选择题40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集，集合，则

（A）               （B）         

（C）                  （D）

2．已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于

（A）第一象限      （B）第二象限       （C）第三象限     （D）第四象限

3．在的展开式中，常数项为

（A）-24           （B）24            （C）-48          （D）48

4．已知向量，，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件         （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件          （D）既不充分也不必要条件

5．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是

（A）      （B）     （C）   （D）

6． 已知抛物线过点A，焦点为F.若点满足,则的值为

（A）2          （B）            （C）2或          （D）或

7．已知函数，则不等式的解集是

（A）                   （B）

（C）           （D）

8．设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段FP的中点，则双曲线C的离心率为

（A）           （B）            （C）           （D）

9．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为3的

   正方形，PD平面ABCD，点M为底面上的动点，M到

   PD的距离记为d，若MC=2d ，则点M在底面正方形内

 的轨迹的长度为

（A）2              （B）         

（C）            （D）

10．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重. 一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”. 有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%.经调查，2022年第二季度 A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：

若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为

（A）45%          （B）48%          （C）50%           （D）52%

第二部分   （非选择题110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 函数的定义域是_________.

12. 在等差数列中，公差不为0，，且，，成等比数列，则_________；当_________时，数列的前n项和有最大值.

13. 已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是_________.  

14. 已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则_________．

15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：

①函数有零点；                ②a的取值范围是；

③；                          ④.

其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

如图，已知正方体中，点E是棱BC的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若点F是线段的中点，求直线DF与平面所

成角的正弦值.

17.（本小题14分）

在△ABC中，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：；  

条件②：； 

条件③：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. （本小题14分）

非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：[10,20)， [20,30) ，[30,40)， [40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（结论不要求证明）

19. （本小题15分）

已知椭圆过点,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设点P，直线PA与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点, B为椭圆E的右顶点.记直线OP的斜率为,直线BC的斜率为,求证：为定值.

20. （本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值；

（Ⅲ）证明函数只有一个零点.

21. （本小题14分）

设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有. 则称数列为数列.

（Ⅰ）判断以下两个数列是否为数列：

数列A：3，5，8，13，21；

数列B：，，5，10.

（Ⅱ）若数列满足且 ，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

（Ⅲ）若各项均为整数的数列是数列，且的前m项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．          12．；5                   13．

14．4                       15． ①④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题13分）

（Ⅰ）证明：连接，交于点，

依题意知，四边形为正方形，所以是

线段的中点，

        连接，因为为棱的中点，

            所以，        

            因为平面，平面，           

            所以平面.                               ………………5分

（Ⅱ）解：设正方体的棱长为1,    

            以为坐标原点，，， 所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，           

            则，，，，

  ，  

            因为点是线段的中点，为棱的中

  点，     

            所以，，                       

            所以，，.

            设是平面的一个法向量，则

取，则，.

于是是平面的一个法向量.        

设直线DF与平面所成角为，

所以，

所以直线DF与平面所成角的正弦值为.        ………………13分

17.（本小题14分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得，

因为

所以，                                

因为，

所以，                                       

因为，

所以或；                                    ………………7分

（Ⅱ）若选择①，

在△ABC中，，

因为，所以．

又因为，

所以

，

在△ABC中，由正弦定理可得，

所以.             ………………14分

若选择②，

在△ABC中，因为，所以，

因为，，，

所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以，

所以．

18.（本小题14分）

解：（Ⅰ）由题意

          所以；                                       ………………3分

（Ⅱ）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A，

    ，

    所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为0.3.

X可能取值为0,1,2.

；                           

；                       

.                           

所以X的分布列为

 .                 ……………11分

（或因为，所以）

（Ⅲ）.                                                ………………14分

19.（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题意得

解得，.

所以椭圆的方程是.                       ………………5分

（Ⅱ）因为，，所以直线的方程为（）.

           由得，

即.

     因为点的横坐标为，所以点的横坐标为，

代入直线的方程可得点的纵坐标为，

即.

           又点的坐标为，

           所以，

又因为，所以.

           即为定值.                              ………………15分

20.（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题意得，，所以，

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；                      ………………4分

（Ⅱ）因为，

因为和均在区间因为上单调递减，

所以在区间上单调递减，

因为，，

所以在上有且只有一个零点，记为，

所以时，；时，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

因为，所以在区间上的最小值为.

………………10分

（Ⅲ）函数的定义域为，

由（Ⅱ）知，在区间上的最小值，

又当时，，

所以在区间上没有零点；

当时，，所以在区间上单调递增，

因为，

所以在区间上仅存在一个零点；

综上所述，函数有且仅有一个零点.                    ………………15分

21.（本小题14分）

解：（Ⅰ）数列A是数列，                                 

         数列B不是数列.                                  ………………3分

（Ⅱ）不存在正实数，使得数列是数列.        

      说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列 .

      则，.

因为，

所以，   

当时，，这与假设矛盾.

         所以不存在正实数，使得数列是数列.       ………………7分

（Ⅲ）因为数列是数列，则，

所以

所以，，，……，，

所以

即

所以，

所以，

所以的最小值不小于30.                            

假设，必有，

解得，

因为，所以，                    

当m=9时，=21，存在满足条件的数列 ；

当m=10时，=20，存在满足条件的数列；

当m=11时，=19，存在满足条件的数列；

当m=12时，=18，存在满足条件的数列.

以上都是的充分条件.

所以的最小值为30，此时的所有可能取值为18，19，20，21.  …14分