【2023高考数学复习强化】专题02 函数的综合应用（学生版＋教师版）

专题02函数的综合应用

【考点预测】

高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

【题型归纳目录】

题型一：函数与数列的综合

题型二：函数与不等式的综合

题型三：函数中的创新题

【典例例题】

题型一：函数与数列的综合

例1．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（       ）

A． B．

C． D．

例2．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知数列满足，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

例3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

例4．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知数列满足：，且，则下列关于数列的叙述正确的是（       ）

A． B． C． D．

例5．（2022·辽宁·二模）已知等差数列的前n项和为，满足，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

例6．（2022·上海·高三专题练习）若等差数列的公差，令函数，其中，则下列四个结论中：①；②；③；④；⑤；错误的序号是_________.

【方法技巧与总结】

利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：

（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.
(2)函数单调性与数列单调性的相似性.

（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.

题型二：函数与不等式的综合

例7．（2022·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例8．（2022·海南·模拟预测）已知函数，若关于的不等式

有且仅有两个整数解，则的取值范围是__________．

例9．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．

例10．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.

【方法技巧与总结】

不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答.

题型三：函数中的创新题

例11．（2022·全国·高三专题练习）定义两个函数的关系：函数的定义域分别为，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若为的一个“子函数”，求的最小值．

例12．（2022·上海·高三专题练习）若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域 上是“利普希兹条件函数”．

（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；

（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；

（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有．

例13．（2022·上海·高三专题练习）对定义域的函数，，规定：

     函数

   （1）若函数，，写出函数的解析式；

   （2）求问题（1）中函数的值域；

   （3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函

            数，及一个的值，使得，并予以证明.

例14．（2022·上海·高三专题练习）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．

（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；

（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；

（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【方法技巧与总结】

紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.
【过关测试】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数满足，则其图象关于点成中心对称.已知：函数，则函数图象的中心对称点是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数与的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为，，则的取值范围是

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有，记，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数             ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点       ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

7．（2022·天津一中模拟预测）已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·浙江嘉兴·高二期中）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（        ）

A． B． C． D．

10．（2021·福建福州·高一期末）设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，.若函数（，且），则下列说法正确的是（       ）

A．在区间上为单调函数

B．在区间上不存在最大值

C．在区间上有5个零点

D．若的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则.

11．（2021·全国·高一单元测试）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是（       ）

A．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个

B．可以是某个圆的“优美函数”

C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”

D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

12．（2020·重庆市秀山高级中学校高三阶段练习）设表示不超过的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（       ）

A．若，则

B．

C．若，则可由解得的范围是

D．若，则函数的值域为

13．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，，其中，，，则______，______.

三、填空题

14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，给出下列命题：①存在实数，使得函数为奇函数；②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点.其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）

15．（2022·全国·高三专题练习）已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．

16．（2022·全国·高三专题练习）若，且上的值域为，则实数的取值范围是____________

17．（2022·全国·高三专题练习）设， ，为实数，，，记集合，，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论可能成立的是________．

①，；②，；③，；④，.

18．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．