【2023高考数学复习强化】专题07 不等式恒成立问题（学生版＋教师版）

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 专题07不等式恒成立问题
【方法技巧与总结】
1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
4.法则1若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点的去心邻域内，与可导且；
(3)，
那么=。
法则2若函数和满足下列条件：(1)及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么=。
法则3若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点的去心邻域内，与可导且；
(3)，
那么=。
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理，，，，，，型。
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
，如满足条件，可继续使用洛必达法则。
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：端点恒成立
题型三：端点不成立
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
题型五：洛必达法则
题型六：同构法
题型七：必要性探路
题型八：max，min函数问题
题型九：构造函数技巧
题型十：双变量最值问题

【典例例题】
题型一：直接法
例1．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1），
①时，在恒成立，故在单调递减，
②时，由，解得：，
由，解得：，
故在单调递增，在单调递减；
（2）由（1）可得，当时，在单调递减，
，
当时，在单调递增，在单调递减，
（a），
令（a），，
易知函数（a）在单调递增，
又（1），
当时，（a），即，满足题意，
当时，（a），即，不满足题意，
综上所述的取值范围为，．
例2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1），定义域为，．
当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减；
当时，，此时在上单调递减；
当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可知：
当时，，解得；
当时，，在上恒成立；
当时，，
即，解得．
综上所述，．
例3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，又，
故，递增，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增；
（2），即，
时，递增，恒成立，
时，，
故，
令（a），（a），
故（a）递减，又，
故，
综上：，．
题型二：端点恒成立
例4．（2022·黑龙江·模拟预测（文））已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒有，求实数a的最小值.
【答案】
（1）增区间：，，减区间：
（2）
【分析】
（1）求出函数导数，求解不等式和可得；
（2）易得不符合题意，当，令，讨论的情况即可求出.
（1）
当时，，，
令或，，
的增区间：，，减区间：；
（2）

①当时：，
时：单调递减，不符合题意.
②当时：令，
若，则，令或，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，只需，
综上，a的最小值为.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求实数的值；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据, 求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解.
（2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可.
（1）
解：,
；
函数在处取得极值，
；
又曲线在点处的切线与直线垂直，
；
解得：；
（2）
不等式恒成立可化为，
即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，
则；
令，
则；
令，
则；
得在是减函数，
故，
进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，
当时，没有意义，由洛必达法得，
．
例6．（2022·黑龙江·模拟预测（理））已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.
【答案】
（1）
（2）-3
【分析】
（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.
（1）
当时，


在点处的切线方程为即
（2）
由题意，，即，即，
又，恒成立.
令，
令，则恒成立.
在上递减，
，
使，即，则，
当时，，当时，

因为，且，，即整数k的最小值为-3
【点睛】
方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。

题型三：端点不成立
例7．（2022·辽宁大连·高三月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】
（1）答案见解析；
（2）
【分析】
（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；
（2）已知不等式可转化为对恒成立，分离可得，令，利用导数求的最大值即可求解.
（1）
由可得
，
当时，，当时，；当时，，
此时的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在上单调递增；
②若，即时，
由可得：或；令可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，
由可得：或；由可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述：
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
（2）
由可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，则在上单调递减，
又，，故在上有唯一的实根，
不妨设该实根为，
故当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
故，
又因为，所以，，，
所以，故的取值范围为．
例8．（2022·陕西安康·高三期中（理））已知函数，.
（1）若，证明：；
（2）若恒成立，求a的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；
（2）先由可得，再利用导数求出函数的最小值，再根据，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.
（1）
当时，，，，
易知在单调递增，且，
所以时，，时，
∴在单调递减，单调递增，
∴.
（2）
∵，
∴，
∴，
，，易知在单调递增，
且，，
∴，且在单调递减，单调递增，
∴，且，
∴，
易证，
∴，∴，
∴，∴
∴.当时，，
∴实数a的取值范围是.
例9．（2022·江苏镇江·高三期中）已知函数，.
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值.
【答案】
（1）
（2）7
【分析】
（1）先用导数法求得在处的切线，再根据在处的切线也是的切线，将切线方程与联立，利用判别式法求解；
（2）令，将，恒成立，转化为，对恒成立，利用导数法求解.
（1）
因为函数，
所以，
则，
所以在处的切线方程为，
由，得，
因为在处的切线也是的切线，
所以，解得；
（2）
令，
因为，恒成立，
所以，对恒成立，
令，
则，
令，
则，
所以在上递减，
又，
所以存在，有，即，
因为在递增，在上递减，
所以，
又，
所以，
令，由，得，
所以，
所以
故的最小整数值是7.
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
例10．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
，设，
因为，可得在上递增，即在上递增，
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，恒成立，
①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，
设，则
，
可设，可得，
设，，
由，可得恒成立，可得在递增，
在递增，
所以，
即恒成立，即在递增，所以，
再令，可得，当时，，在递增；
时，，在递减，所以（2），
所以，
综上可得的取值范围是，．
例11．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
所以，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；
（2）由题意得，时，恒成立，
即恒成立，
所以，
令，，
由重要不等式可知，当时，，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以（1），
所以，即，
所以的范围为．
例12．已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：当时，，
则在上单调递增，
又，
故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，不等式恒成立，
当时，由恒成立可得恒成立，
令，，
则，
令，则，
令，，则，
所以在上单调递增，，
所以，在上单调递增，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以（2），
所以，
故的取值范围为．

题型五：洛必达法则
例13：已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)，；
函数在处取得极值，；
又曲线在点处的切线与直线垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，则；
令，则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．
例14.设函数.
（1）证明：当时，；
（2）设当时，，求的取值范围.
解：（1）易证.
（2）由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，即有，所以.
综上所述，的取值范围是.
例15.设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．
【解析】，
若，则；
若，则等价于，即
则.
记，


因此，当时，，在上单调递减，且，
故，所以在上单调递减，
而.
另一方面，当时，，
因此.
题型六：同构法
例16．已知函数，
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间．
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若恒成立，求的取值范围；
②若仅有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
则的定义域为，
且，
因为在处取得极值，
所以，即，解得；
此时，
所以在上单调递增，
则当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）若选①：
因为恒成立，则恒成立，
整理可得恒成立，
即恒成立，
令，
则恒成立，
因为恒成立，
则为单调递增函数，
所以恒成立，即恒成立，
令，，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
故，解得，
所以的取值范围为，；
若选②：
因为仅有两个零点，即在上有两个根，
整理可得，
即，
令，
则，
因为恒成立，
则为单调递增函数，
所以，即在上有两个根，
令，，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
要想在上有两个根，
只需，解得，
所以的取值范围为．
例17.若对任意，恒有，求实数的最小值
解析 ，
令，则，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以在单调递增．
则
，
令，则
当时，，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
所以，所以，
所以实数的最小值为．
例18.已知函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
解析

，
令，则，所以函数为上的增函数．
则原命题又等价于
．
由于，所以，即得．
例19.对任意，不等式恒成立，求实数的最小值
解析

．
设，则，所以函数在上单调递增
所以由，得，即恒成立．
令，则，
当时，，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
所以，所以实数的最小值为．
易得，所以实数的最小值为
题型七：必要性探路
例20.是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.
解:易知对一切恒成立，当可得，则仅可取1、2
下证时不等式恒成立，设
在单调递减，单调递增，
当时，不等式恒成立，所以最大为2.
例21.求k的最大整数值.
解:令，显然
因此的最大整数值可能是4，下证时恒成立
由即
所以
例22.求使得在上恒成立的最小整数
解:令，则必有成立，此时解得即符合条件
下证时，恒成立
由
例23．（2019•苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）．
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即．
显然，，代入方程中得，．
△，方程无解．
故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；
（Ⅱ）依题意，
恒成立．
设，则上式等价于，
要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，
在上恒成立．
（1），则，
在上成立的必要条件是：．
下面证明：当时，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
，即，．
那么，当时，，；
当时，，，恒成立．
因此，的最大整数值为3．
题型八：max，min函数问题
例24．（2022·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，的取值范围是.
【分析】
（1）对求导，得到，对x分讨论即可得答案；
（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案.
【详解】
（1）证明：，.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，存在，当，
，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
例25．（2022·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）对求导，得到，对x分讨论即可获得证明；
（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，易得单增，分与两种情况讨论，结合的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a.
【详解】
（1），,
当时，，，则；
当时，，，则，
当时，．
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，．
（2）函数的定义域为，
由（1）得，当时，，又，
所以当时，恒成立．
由于当时，恒成立，
故等价于：当时，恒成立．
，．
当时，，，故；
当时，，，故．
从而当时，，单调递增．
①若，即，则当时，，单调递减，
故当时，，不符合题意；
②若，即，取，
则，且，
故存在唯一，满足，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
若，则当时，单调递增，，不符合题意；
若，则，符合题意，此时由得；
若，则当时，单调递减，，不符合题意．
综上可知：存在唯一实数满足题意．
【关键点晴】
本题第一小问的关键点在于提公因式讨论，避免二次求导；第二小问首先将将恒成立转化为在时恒成立，在对研究时，关键点是，再结合的单调性及零点存在性定理讨论得到a，有一定难度，特别是书写的规范性.
例26．（2022·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上是增函数，；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】
（1）利用导数讨论的单调性，由，得到不等式的解集；
（2）利用导数讨论的单调性，求出最小值，即可证明；
（3）先判断当时，由恒成立得到恒成立；
再研究当时， ，只需在上恒成立即可．
利用分离参数法得到，利用导数研究，的极大值，求出a的范围.
【详解】
（1），
当时，，，∴，
当时，，，∴，
当时，，
所以当时，，即在上是增函数；
又，所以的解集为．
（2）．
由，得，，
则，即在上为增函数．
故，即．
（3）由（1）知，
当时，恒成立，故恒成立；
当时，，因为，要使得恒成立，
只要在上恒成立即可．
由，得．
设函数，，
则．
令，得．
随着变化，与的变化情况如下表所示：





+
0
-


极大值

所以在上单调递增，在上单调递减．
在上唯一的一个极大值，即极大值，故
综上所述，所求实数的取值范围为．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
题型九：构造函数技巧
例27．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可知的定义域是，
，令，解得：，
当时，时，，时，，
当时，时，，时，，
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（2）由题意：，即在上恒成立，
令，则，
对于，△，故其必有2个零点，且2个零点的积为，
则2个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在，上单调递增，
故，即，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又（e），故，，
显然函数在，上是关于的单调递增函数，
则，，
故实数的取值范围是，且．
例28．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
【解答】解：（1）由得，
又，，所以，
所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，
经检验：，符合任意，
（2），
设，设，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（1），
所以当时，，
令
所以，得，
当时，即时，在上单调递增，
所以，，
所以，
当时，即时，
△，即，
解得，
综上，，．
（3）①当时，由，得
，
整理得，
令△，
则△，
记，
则，恒成立，
所以在，上是减函数，则（1），即，
所以不等式有解，设解为，
因此．
②当时，
，
设，
则，
令，得，
当时，，是减函数，
当，时，，是增函数，
，（1），
则当时，，
则，因此，
因为，，，所以，
③当时，因为，为偶函数，因此也成立，
综上所述，．
例29．已知函数．
（1）若在上单调，求的取值范围．
（2）若的图象恒在轴上方，求的取值范围．
【解答】解：（1），
由在上单调，知在上大于等于0或小于等于0恒成立，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减，
由题意得，（1）或，解得或，
实数的取值范围为，，；
（2）的图象恒在轴上方，即当时，恒成立，
亦即在上恒成立，
令，则，
令，
求导可得，令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故（1），，即，
令，解得；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得最大值，最大值为（1），
实数的取值范围为．
题型十：双变量最值问题
例30．（2022·山西晋中·三模（理））已知函数，，其中．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．
【答案】（1）；（2）的最小值为.
【分析】
（1）利用切线求出；
（2）先把恒成立，转化为对任意恒成立，研究单调性，利用图像得到，从而求出的最小值.
【详解】
（1）当时，直线与函数的图象相切于，
因为，所以，
则且，即，解得：.
（2）若对任意，都有恒成立，得.
假设，则当时，，
而当时，.
取，则当时，，
而，矛盾；故.
当时，由，得，即.
下证：能取到.
当时，.
记，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以，即.
所以.
即对任意恒成立，
故的最小值为.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
例31．（2022·浙江台州·三模）已知函数，其中.(为自然对数的底数)
（1）求在点处的切线方程；
（2）若时，在上恒成立.当取得最大值时，求的最小值.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）令，则，则由题意可得在上单调递增，所以，而，则，，则可得，从而得，令，然后利用导数求出其最小值即可
【详解】
解：（1）由，得，
所以，
因为，
所以在点处的切线方程为，即，
（2），
令，则，所以
，，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时，
综上，的最小值为
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决恒成立问题，解题的关键是由题意求出，从而得，令，然后利用导数求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
例32．（2022·河南·郑州一中模拟预测（文））已知函数f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的单调区间，
（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析.（2）
【分析】
（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出，可得，设，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】
（1）f′(x)=aex﹣1，
当a≤0时， <0，f(x)在R上单调递减，
若a>0时，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，
在x>﹣lna时， >0，f(x)为增函数，
在x<﹣lna时， <0，f(x)为减函数，
所以，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调减区间为，增区间为.
（2）f(x)=aex﹣x，由题意f(x)min≥b，
由（1）可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，无最小值，不符合题意，
当a>0时，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，
∴，
设h(a)，则 ，
a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)，≥0，
∴h(a)min=h（1）=1.
所以的最小值为.
【点睛】
本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.

【过关测试】
1．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值是，无极大值.
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，根据的符号研究的单调性，进而确定极值.
（2）对任意的恒成立，转化为：对任意的恒成立，令，通过求导求的单调性进而求得的最大值，即可求出实数a的取值范围.
(1)
当时，，的定义域为，
，则.
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得极小值且为，无极大值.
(2)
对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则.
实数a的取值范围为：.
2．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对恒成立,求实数b的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论a的取值，判断函数的单调性；
（2）根据对恒成立,变形为恒成立，构造函数，将恒成立问题变为求函数最值问题，即可求得答案.
(1)
的定义域为，，
当时，，在上单调递减.
当时，令；
令.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
∵，∴恒成立，
即恒成立，
令，则，
由，得；由，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
故实数b的最大值是.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数，是的导函数．
(1)当时，求证：存在唯一的，使得；
(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，即可得到的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；
（2）分、和三种情况讨论，当时，由（1）可得的最小值为，则，从而得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最小值，即可得解；
(1)
证明：∵，，
当时，，∴函数在上的单调递增，
又，，∴存在唯一的，使得．
(2)
解：当时，则当时，，
即函数在上单调递增，且当时，，这与矛盾；
当，由，得，∴；
当，由（1）知当时，；当时，；
即在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，其中满足，故且，
∵恒成立，∴，即，
于是，记，，
则，由得，即函数在上单调时递减，
由得，即函数在上单调递增，
∴，
综上得的最小值为，此时．
4．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求函数的单调递增区间，即解不等式；
（2）参变分离得，即求的最小值.
(1)
定义域为，
即
解得
所以在单调递增
(2)
对任意，不等式恒成立，即恒成立，
分离参数得.
令，则．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，
即，
故a的取值范围是.
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知函数（其中e为自然对数的底数，…）．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，即可求得在点处的切线方程；
（2）设，求得，当时，求得单调递增，且，不满足恒成立；当时，求得，得到，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，进而得到答案.
(1)
解：当时，，则，即切点为，
又由，则切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为．
(2)
解：设，则．
当时，，单调递增，，
不满足恒成立；
当时，在上单调递减．在上单调递增．
所以的最小值为,即，
即，
设，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即，故的解只有．
综上可得，实数的值为．
6．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））函数的图像与直线相切.
(1)求实数a的值；
(2)当时，，求实数m的取值范围.
【答案】(1)1；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）根据导数的性质，结合余弦函数的单调性分类讨论进行求解即可.
(1)
，设切点为，
所以有，因为是切线，
所以有，
设，显然当时，单调递增，所以有，
当时，，所以无实数根，
因此当时，方程有唯一实数根，即，
于是有，因此有；
(2)
令，则在恒成立
.
若，即时，当时，由得，所以在单调递增，又，所以在恒成立；当时，所以.所以在恒成立.
若即时，，则存在，使得在单调递减，则当时，矛盾，舍
综上所述，的取值范围时.
【点睛】
关键点睛：构造函数利用导数的性质是解题的关键.
7．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））已知函数，其中
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上恒成立，求实数的取值范围
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导后，分别在和的情况下，根据导数正负可求得单调性；
（2）分离变量得到，利用导数可求得的单调性和最大值，由可得结果.
(1)
由题意知：定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由得：，即，
令，则；令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，
即实数的取值范围为.
8．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数，函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用二次求导求函数的单调区间；
（2）等价于时，恒成立，利用三次求导求函数的最值得解.
(1)
解：，令，则，当且仅当，时等号成立，∴在上单调递增，即在上单调递增．
∵，∴时，，时，，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)
解：时，恒成立，
，，
，
时，，∴在上单调递增，
∵，
若，时，，∴在上单调递增，
∴时，，∴在上单调递增，
∴时，恒成立；
若，∵，∴，∴，
，，
∴在有唯一解，设为，且，
当时，，∴在上单调递减，
∴时，，∴在上单调递减，
∴与恒成立矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
9．（2022·吉林·延边二中高二期中）设为实数，函数，.
(1)若函数轴有三个不同交点，求的范围
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；由条件，从而可得答案.
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
(1)

由，解得 或；由解得
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又时，；时，
函数轴有三个不同交点，则 解得
所以函数轴有三个不同交点，实数的取值范围
(2)
对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
所以实数a的取值范围为
10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二次求导可得函数的单调区间；
（2）将对、，使恒成立，转化为成立.然后利用（1）中的单调性求出最大、最小值代入即可得解.
(1)
的定义域为，，
设，则，，
所以在上为增函数，
所以当时，，即，所以在上单调递增；
当时，，即，所以在上为减函数.
综上可得，的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)
对，使恒成立，即对，
成立.
由（1）知在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以，
为和中的较大者，
∵，，，
又∵，得.
∴，即.
∴在[0，2]上
∴，即，
解之，得或，
∴对，使恒成立时，a的取值范围为.