【2023高考数学复习强化】专题11 导数中的同构问题（学生版＋教师版）

专题11 导数中的同构问题

【考点预测】

知识点一、常见的同构函数图像

知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.

（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：

4、常见的对数放缩：

5、常见三角函数的放缩：

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

（1） 且时，有

（2） 当 且时，有

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）

（3）

（4）

（5）

（6）

再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：

（7）；

（8）；

【题型归纳目录】

题型一：不等式同构

题型二：同构变形

题型三：零点同构

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题

题型五：利用同构求最值

题型六：利用同构证明不等式

【典例例题】

题型一：不等式同构

例1．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知，且，，，则（       ）

A． B．

C． D．

例2．（2022·河南焦作·三模（理））设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

例3．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

题型二：同构变形

例4．（2022·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)．

题型三：零点同构

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

例6．（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________．

例7．（2021·安徽安庆·高三阶段练习（理））在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.

（1）求的值；

（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.

例8．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题

例9．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（       ）

A． B． C． D．

例10．（2022·河南·高三期末（理））若关于x的不等式恒成立，则a

的取值范围是______．

例11．（2022·全国·高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.

例12．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．

例13．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.

例14．（2022·全国·高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例16．（2022·河南·高三阶段练习（文））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

例17．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例19．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知，若时，恒成立，则

的最小值为（       ）

A． B． C． D．

例20．（2022·安徽合肥·高三期末（理））若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（       ）

A． B． C． D．

例21.（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（       ）

A． B． C． D．

题型五：利用同构求最值

例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最小值为（       ）．

A． B． C． D．

例23．（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（       ）．

A．7 B．9 C．11 D．12

题型六：利用同构证明不等式

例24．（2022·福建南平·三模）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，求证：函数有两个零点，且.

例25．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)证明：当时，.

例26．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．

例27．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数，.

(1)求函数的极值；

(2)当x>0时，证明：

例28．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．

(1)讨论f(x)的单调性．

(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．