【2023高考数学复习强化】专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类（学生版＋教师版）

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专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类
【考点预测】
1、三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或

（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型


（2）等角、共角模型


3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直


（2）一般四边形


（3）分割两个三角形


4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．
【题型归纳目录】
题型一：三角形的面积问题之底·高
题型二：三角形的面积问题之分割法
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
【典例例题】
题型一：三角形的面积问题之底·高
例1．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．
【解析】（1）由题意得：，且，
解得：，
所以，
所以椭圆方程为；
（2）联立与椭圆方程可得：
，
由，解得：；
设，
则，，
由弦长公式可得：，
点到直线的距离为，
则的面积为，
其中，
令，，
则，
由于，所以，,
令得：，
令得：，
即在上单调递增，
在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
，
所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为．
例2．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
【解析】（1），，
由椭圆过点得，解得，，
∴椭圆的方程为.
（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，
当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点
则有，∴.
将方程代入椭圆方程中整理得：，
∴，，
，
∴，当且仅当，即时取等号.
当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.
∴面积的最大值为2.
例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．
【解析】（1）因椭圆过点，则，又椭圆C的离心率为，
则有，解得，
所以C的方程为．
（2）依题意，，由消去x并整理得：，
，
设，则，
于是得，点O到l的距离，
因此，即，
整理得，即，显然满足，
所以.
例4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）
【解析】（1）由椭圆的定义，
可知
解得，又.
椭圆C的标准方程为.
（2）设直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，
，得
设，则，

，
点到直线的距离，

.
当且仅当，即时取等号；
面积的最大值为.
例5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
【解析】（1）根据题意得：，解得，，，
所以，抛物线焦点，
所以，椭圆，拋物线
（2）设，
联立与椭圆，
整理得：，  
判别式：
弦长公式：
点到直线的距离为
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
点到直线的距离为
所以，
因为，即，解得： .
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范
例6．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.
(1)若求圆心的轨迹的方程.
(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
【解析】（1）设动圆的半径为，
依题意有，，．
所以轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，所以，
当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．
所以轨迹的方程．
（2）设，，
联立直线与椭圆的方程，可得，
所以，，，得，
设原点到直线的距离为，
所以，
所以，
令，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．
题型二：三角形的面积问题之分割法
例7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆C的焦距为，则，即，
所以，即，
又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，
所以，即，
综上解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）易得，设，则，联立直线l与椭圆C的方程，得，
则．
又，
易知与同号，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为．
例8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
【解析】（1）依题可得，，解得，
所以椭圆的方程为.
所以离心率.
（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，
，而，即，
化简可得，
，

化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.
设定点


，
因为，所以，
设，
所以，
当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.
例9．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
例10．（2022·云南大理·模拟预测）已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
则解之得：
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示，设直线，

则消去x整理得，
设的面积为S，

又，
则，
令，则，
又设，则，
∴在上为增函数，，∴，
所以，存在当时，即直线l的方程为的面积有最大值，其最大值为3．
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
例11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.

（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，
又因为，，，
因为，所以，，轴，
点的横坐标为，所以，，，可得，即点，
过点且与渐近线平行的直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，点到直线的距离为，
且，因此，四边形的面积为；
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
设点，双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为
，且，
因此，（定值）.
例12．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
【解析】（1）由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，
所以，
又，则，
所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，
由得：，
则，
所以


，
当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
例13．（2022·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知，，

，，设，
，，


由椭圆的性质可知，
，
，故，即.
(2)设，，联立消去整理可得，
，，
，，
直线的方程为：，
根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为
，
，
，
，
四边形的面积为
，当且仅当即时，上式取等号，
所以的最大值为.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.
【解析】(1)由题意知，a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为，
因为c＝＝，
所以椭圆C的离心率.
(2)设P(x0，y0)(x0