数学必修 第二册6.1 平面向量的概念优秀当堂检测题

第1讲 平面向量的概念

知识点1 向量的有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量

数量：只有大小没有方向的量称为数量.

注：向量不能比较大小（因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小），向量的模可以比较大小

2．向量的表示

(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.

易错辨析：有向线段就是向量，向量就是有向线段.

有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，

(2)表示方法：

几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).

3．向量的模：向量的大小叫做向量的长度(模)．任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0

4．零向量：长度为的向量，记作0. 零向量的方向是任意的.

5．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同.

注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.

6．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，

注：①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.

②规定：零向量与任一向量平行．

③共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.

易错辨析：（1）若，则与的方向相同或相反

零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反

（2）若，，则

若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行

（3）若，则或

向量的长度相等，但方向不一定相同或相反

（4）两个共线的非零向量的起点与终点一定共线

两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行

7．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

8．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

考点一 向量的概念

（一）向量与数量的区别

判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.

【例1】下列各量中是向量的为（    ）

A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度

变式1：下列各量中是向量的是（    ）

A．时间 B．速度 C．面积 D．长度

变式2：给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是(    )

A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量

C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量

（二）平面向量有关概念的辨析

1、注意两个特殊向量：零向量和单位向量. 2、注意平行向量与共线向量的含义.

【例2】【多选】以下关于平面向量的说法中，正确的是（    ）

A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等

C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量

变式1：下列说法正确的是（    ）

A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量

C．若，则 D．零向量与任意向量平行

变式2：给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（    ）

A．①② B．② C．②③ D．③④

变式3：下列说法中，正确的是（    ）

①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；

③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

变式4：下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则不是共线向量

变式5：已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

变式6：判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．

变式7：下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

变式8：【多选】下列叙述中错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则与的方向相同或相反

C．若，，则

D．对任一非零向量，是一个单位向量

变式9：给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

变式10：判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式11：已知平面向量，，，下列结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，，则

D．若，则

变式12：设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ）

A．且 B． C． D．

【向量相等的应用】

【例3】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（    ）

A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形

变式1：在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（    ）

A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形

变式2：下列有关四边形的形状判断错误的是（    ）

A．若，则四边形为平行四边形

B．若，则四边形为梯形

C．若，且，则四边形为菱形

D．若，且，则四边形为正方形

考点二 向量的几何表示

解题方略：

(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.

(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.

【例4】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；

(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；

(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．

变式1：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

（1）作出向量，，；

（2）求 的模．

考点三 相等向量和共线向量

解题方略：

(1)共线向量和相等向量有何关系？

共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.

(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？

①证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.

②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.

(3)寻找相等向量的方法：

先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。

(4)寻找共线向量的方法：

先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。

【例5】如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（    ）

A． B． C． D．

变式1：如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.

（1）图中与共线的向量有________；

（2）图中与相等的向量有________；

（3）图中与模相等的向量有_________________；

（4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）；

（5）与相等吗？

变式2：如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

（1）与向量相等的向量有______；

（2）与向量共线，且模相等的向量有______；

（3）与向量共线，且模相等的向量有________.