高中数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用优秀同步练习题

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一．选择题
1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 m/sB．226m/sC．46m/sD．12 m/s
2．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为（ ）
A．103NB．0NC．56ND．562N
3．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，AD→=xAB→+yAC→，则x+y＝（ ）
A．23B．34C．712D．1
4．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且AP→=λ(AB→+12BC→)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．已知O为三角形ABC所在平面内一点，OA→+OB→+OC→=0→，则S△OBC：S△ABC＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
6．平面内△ABC及一点O满足AO→⋅AB→|AB→|=AO→⋅AC→|AC→|，CO→⋅CA→|CA→|=CO→⋅CB→|CB→|，则点O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
7．在△ABC内使AP2+BP2+CP2的值最小的点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
8．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，AP→=xAB→+yAC→，则3x﹣y的取值范围是（ ）
A．[−3，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，4]D．[−23，4]
9．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|＝1，且对任意实数x，不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，设a→与b→的夹角为θ，则tan2θ＝（ ）
A．2B．−2C．﹣22D．22
10．若a→，b→，c→均为单位向量，且a→•b→=−12，c→=xa→+yb→（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ）
A．2B．3C．2D．1
11．已知向量OP1，→OP2→，OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0→，|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1．则△P1P2P3的形状为（ ）
A．正三角形B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形D．直角三角形
12．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且OA→⋅OB→=0，则|AC→+BD→|的最大值为（ ）
A．22B．2+2C．1+2D．4
13．已知平面上的两个单位向量a→，b→满足a→⋅b→=45，若m∈R，则|a→+mb→|的最小值为（ ）
A．52B．25C．53D．35
14．已知点G是△ABC的重心，AG→=λAB+μAC→（λ，μ∈R），若∠A＝120°，AB⋅AC→=−2，则|AG→|的最小值是（ ）
A．33B．22C．23D．34
15．在△ABC中，AB→•AC→=7，|AB→−AC→|＝6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．24B．16C．12D．8
二．填空题
16．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|→=|F2→|=102N，则物体的重力大小为 ．
17．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1→，F2→，且F1→，F2→与水平夹角均为45°，|F1→|＝|F2→|＝42N，则物体的重力大小为 N．
18．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距53海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是 海里/小时．
19．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 km/h．
20．设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则S△AOB：S△BOC：S△COA＝ ．
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，重心为G，若2aGA→+3bGB→+3cGC→=0→，则csB＝ ．
22．在边长为1的正三角形ABC中，向量BD→=xBA→，CE→=yCA→，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则CD→•BE→的最大值为 ．
23．向量|a→|＝8，|b→|＝12，则|a→−b→|的最大值是 ，最小值是 ．
24．已知a→，b→是两个平面向量，|b→|=22，且对任意t∈R，恒有|b→−ta→|≥|b→−a→|，则|a→−b→|+|a→|的最大值是 ．
25．已知向量OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），OC→=mOA→+nOB→（m，n＞0）．若m+2n＝7，则|OC→|的最小值为 ．
26．已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(1，3)，则|2a→+b→|的最小值为 ．
27．如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是 ．
28．定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示a→=（f（x），0），b→=（csx，0），那么不等式a→•b→＜0的解集是 ．
三．解答题
29．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
30．在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝60°，点O为△ABC所在平面上一点，满足OC→=mOA→+nOB→（m，n∈R且m+n≠1）．
（1）证明：CO→=mm+n−1CA→+nm+n−1CB→；
（2）若点O为△ABC的重心，求m、n的值；
（3）若点O为△ABC的外心，求m、n的值．
31．在△ABC中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，DF→=4FE→，设AB→=m→，BC→=n→．
（1）用m→，n→表示AF→；
（2）设G是线段BC上一点，且使EG∥AF，求|CG→||CB→|的值．
32．已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°．
（1）求a→+b→与a→的夹角的余弦值；
（2）当|a→+tb→|取得最小值时，试判断a→+tb→与b→的位置关系，并说明理由．
33．已知向量OA→=（2，2），OB→=（﹣4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当PA→•PB→取得最小值时，求OP→的坐标；
（2）设∠APB＝θ，当点P满足（1）时，求csθ的值．
34．已知平面向量a→=（3，﹣1），b→=（12，32）．
（1）若存在实数k和t，满足x→=（t+2）a→+（t2﹣t﹣5）b→，y→=−ka→+4b→，且x→⊥y→，求出k关于t的关系式k＝f（t）；
（2）根据（1）的结论，试求出函数k＝f（t）在t∈（﹣2，2）上的最小值．
35．在平面直角坐标系中，已知三点A（﹣1，0），B（t，2），C（2，t），t∈R，O为坐标原点．
（Ⅰ）若△ABC是∠B为直角的直角三角形，求t的值；
（Ⅱ）若四边形ABCD是平行四边形，求|OD→|的最小值．