人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品课时训练

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第12练 正弦定理                                                                                                                                                                        一．选择题1．在中，已知，则的形状是　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形【解析】，，，为直角三角形，故选：．2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为　　A． B． C． D．【解析】由余弦定理可得，，．故选：．3．在中，若，则　　A． B． C． D．【解析】在中，若，利用正弦定理：；由于、，所以，解得．故选：．4．在中，，，，则边的长等于　　A． B． C． D．2【解析】因为在中，，，，所以由余弦定理可得，可得，整理可得，解得，或（舍去）．故选：．5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的值为　　A． B． C． D．【解析】由于，利用正弦定理得：，由于，整理得，故，所以．故选：．6．在中，，，，则边的长等于　　A． B． C． D．【解析】由于在中，，，，利用正弦定理：，故，所以．故选：．7．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围　　A．， B． C．， D．，【解析】因为是锐角三角形中，且，所以，从而有且且，所以，，，所以，．故选：．8．在中，若，，则等于　　A． B． C． D．【解析】在中，若，，可得，，所以．故选：．9．的内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若，可得，由正弦定理可得，所以，所以，或，可得为直角，或；若，可得，所以，可得，可得，可得，故“”是“”的必要不充分条件．故选：．10．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　A． B． C． D．【解析】已知，，，整理得，故利用正弦定理，故，整理得．故选：．11．的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则的面积为　　A． B． C． D．【解析】，，即，由余弦定理可得，即，可得，．故选：．12．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，的面积为，则　　A． B． C． D．【解析】在中，，，的面积为，，，由余弦定理，有，，由正弦定理，可得，．故选：．13．在中，为边的中点，且满足，，则的面积为　　A． B． C． D．1【解析】设，，，由余弦定理知，，，解得，，，的面积．故选：．14．在中，，，，则此三角形　　A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定【解析】在中，，，，则，可得，可得此三角形有两解．故选：．15．在中，，，的面积为，则　　A．13 B． C． D．【解析】在中，，，的面积为，所以利用三角形的面积公式：，解得．利用余弦定理：，故．故选：．16．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则　　A． B． C． D．【解析】由题意可知，，由正弦定理可知，所以．故选：．17．已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为　　A．2 B． C．4 D．【解析】由，得，显然，故，得，结合为三角形的内角，得．设等腰的顶角，底边上的中线．则，所以．如图：设绕着点旋转到位置，显然．（分别在和中，利用正弦定理可得①，②，结合，可知，所以，，，由整理后得：所以，故．即的最小值为．故选：．18．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则　　A．3 B．2 C． D．【解析】在中，，，，由正弦定理得，所以．故选：．19．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是　　A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【解析】在中，整理得：故为直角三角形．故选：．20．在中，，则的外接圆半径的值为　　A． B． C． D．【解析】，．故选：．21．在中，，，，则边的长等于　　A． B．1 C． D．2【解析】由余弦定理可得，，解得．故选：．22．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．若此三角形有两解，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】要使三角形有两解，则需，且，根据正弦定理可得，即，，解得，故选：．23．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则的外接圆面积为　　A． B． C． D．【解析】，由正弦定理可得，化简可得，即，，即为三角形的外接圆半径），，．故选：．24．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为　　A．20 B． C．40 D．【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，可得，，由，可得，设，可得，平方可得，化简可得，可化为，则的轨迹为以，，半径为的圆，可得的面积的最大值为．故选：．25．的内角，，的对边分别为，，．已知，，的面积，则等于　　A．3 B． C．4 D．【解析】，由正弦定理，得，即，又，，由，可得，的面积，解得：，．故选：．26．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为　　A．1 B．2 C． D．【解析】由于在中，角，，所对的边分别为，，，若，所以；所以；故选：．27．的内角，，所对的边分别为，，，已知，则面积的最大值为　　A． B． C． D．【解析】因为，所以，即，又，所以，即，因为，所以，由余弦定理知，，因为，所以，故的面积．故选：．二．填空题28．锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则　　，的取值范围是 　　．【解析】由，得，即，即，即，，，即，则，，令，，则，则原式，，则，则当时，取得最大值，最大值为，，，．即的取值范围是，．故答案为：，，．29．在中，，点在边上，且，设是外接圆的半径，则　　，　　．【解析】在中，，利用余弦定理可得，，所以为直角三角形，在直角中，，，所以，在中利用正弦定理可得，，解得．故答案为：3；．30．在中，，，，则　　．【解析】因为在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，则．故答案为：．31．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则的面积的最大值为 　　．【解析】因为，，则，由正弦定理可得：，在中可得：，所以，，所以，则的面积，当且仅当，的面积的最大值且为，故答案为：．32．在中，，，的外接圆半径为，则边的长为 　　．【解析】因为，，所以，因为的外接圆半径为，由正弦定理得，．故答案为：．33．在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则　　．【解析】对于③，中，，，，．故答案为：7．34．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．【解析】因为的面积为，所以，解得，又因为，由余弦定理得：，所以．故答案为：4．三．解答题35．中，三内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，角的角平分线交于，，求．【解析】（1）由及正弦定理，得，，，，，，．（2），，解得，由余弦定理得，．36．在中，内角，，的对边分别为，，．在①；②；③，且．这三个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）．（1）若______，求角；（2）在（1）的条件下，若，求的面积．【解析】（1）若选择①，，由正弦定理得，，化简得，，，，．若选择②，，，即，或（舍去），，．若选择③，，，，，即，，，，，，．（2），，，由正弦定理得，，，，的面积．37．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，．（1）证明：；（2）若为线段上一点，且，，求的面积．【解析】证明：（1）的内角，，的对边分别为，，，且满足，利用余弦定理：，由于，所以；由，利用正弦定理，所以，故，所以，所以，故．解：（2）由（1）可知：，所以，在中，利用正弦定理，解得．所以．故的面积为．38．在①；②③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．在中，已知角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若为边上一点，且，_______，求的面积．【解析】（1）由条件，得，所以，由正弦定理得，又中，，所以，即，又，所以，则，所以．（2）由（1）得，由条件可知为等边三角形，若选①：，不妨设，，在中由余弦定理得，解得，所以，，的面积为；若选②，由正弦定理得，解得，由余弦定理，解得（负值舍去），所以的面积为；若选③，，由等边三角形的面积为，可得其边长为2，即，由余弦定理得，解得（负值舍去），所以的面积为．39．中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）当时，求的面积的最大值．【解析】（1）因为，整理可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，所以；（2）当时，由（1）可得，，当且仅当时取等号，故，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．40．在中，内角，，对应的边分别为，，，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值．【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为，所以．（Ⅱ）在中，由余弦定理得，代入数据解得，所以．41．已知的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求的面积．【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，，已知．利用正弦定理：，由于、、，所以；故；（2）由（1）得：，整理得，故；所以．