数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品一课一练

第4练 空间点、直线、平面之间的位置关系

一．选择题

1．用符号语言表示下列语句，正确的个数是　　

（1）点在平面内，但不在平面内：，；

（2）直线经过平面外的点，且不在平面内：，，；

（3）平面与平面相交于直线，且经过点，．

A．1 B．2 C．3 D．0

【解析】（1）点和平面的关系应是，，故（1）错误；

易判断（2）（3）正确．

故选：．

2．在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的　　

A．必要不充分条件 B．充要条件 

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】根据题意，在空间中，直线与没有公共点，直线和平行或异面，

反之，若直线与异面，则直线与没有公共点，

故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件，

故选：．

3．给出下列判断，其中正确的是　　

A．三点唯一确定一个平面 

B．一条直线和一个点唯一确定一个平面 

C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 

D．空间两两相交的三条直线在同一平面内

【解析】对于，三点共线时，平面不唯一，故错误，

对于，点在直线上时，平面不唯一，故错误，

对于，两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内，故正确，

对于，三直线过同一点时，可不在同一平面内，故错误，

故选：．

4．如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：

①平面；

②平面；

③平面；

④平面；

⑤；

⑥平面．

其中不正确的是　　

A．④⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤

【解析】如图所示的是平行四边形所在的平面，

对于①，由平面的定义得：可以表示为平面，故①正确；

对于②，平面可以用封闭图形有对角字母表示，可以表示为平面，故②正确；

对于③，平面不能表示这个表面，故③错误；

对于④，这个平面可以表示为平面，故④正确；

对于⑤，平面可以用封闭图形有对角字母表示，可以表示为平面，但是不能表示为，故⑤错误；

对于⑥，这个平面可以表示为平面，故⑥正确．

故选：．

5．下列结论错误的个数是　　

（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；

（2）若直线平面，，则过点且平行于直线的直线有无数条；

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．

A．0 B．1 C．3 D．2

【解析】对于（1），若一条直线和平面内一条直线平行，当该直线也在平面内时，那么这条直线和这个平面不平行，故（1）错误；

对于（2），若直线平面，，则过点且平行于直线的直线只有一条，故（2）错误；

对于（3），如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，当这两条直线平行时，这两个平面平行或相交，故（3）错误；

对于（4），如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故（4）正确．

所以错误的有3个．

故选：．

6．在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【解析】根据题意，设正方体的棱长为1，连接，和，

又由，分别为棱，的中点，则，

故或其补角异面直线与所成角，

在△中，，

则，故异面直线与所成角为，其余弦值为；

故选：．

7．过直线外两点，作与平行的平面，则这样的平面　　

A．不可能作出 B．只能作出一个 

C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在

【解析】过直线外两点作与平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；

如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；

如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．

因此只有正确．

故选：．

8．如图是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，则在正方体中，直线与直线的位置关系为　　

A．相交 B．平行 C．异面 D．重合

【解析】根据题意，由正方体的表面展开图还原成正方体，如图，

易得直线与异面，

故选：．

9．在长方体中，直线与平面的交点为，为线段的中点，则下列结论错误的是　　

A．，，三点共线 B．，，，四点共面 

C．，，，四点共面 D．，，，四点共面

【解析】连接，，则，，，，四点共面，

所以平面，因为，所以平面，

又平面，所以在平面与平面的交线上，

同理在平面与平面的交线上，

所以，，三点共线．

选项、、均正确，选项错误．

故选：．

10．下列说法正确的是　　

A．空间中的任意三点可以确定一个平面 

B．四边相等的四边形一定是菱形 

C．两条相交直线可以确定一个平面 

D．正四棱柱的侧面都是正方形

【解析】对于，空间中的不共线的三点可以确定一个平面，故错误；

对于，四边相等的四边形也可能是空间四边形，故错误；

对于，两条相交直线可以确定一个平面，故正确；

对于，正四棱柱的侧面都是矩形，故错误．

故选：．

11．下列条件中，能够确定一个平面的是　　

A．两个点 B．三个点 

C．一条直线和一个点 D．两条相交直线

【解析】对于：两点确定一直线，故错误；

对于：不在同一直线上的三点确定一个平面，故错误；

对于：一条直线和不在直线上的一个点确定一个平面，故错误；

对于：两条相交直线确定一个平面，故正确．

故选：．

12．图中，、、、分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在的棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有　　

A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④

【解析】在①中，、分别是所在棱的中点，，故①错误；

在②中，直线、既不平行又不相交，是异面直线，故②正确；

在③中，与平行且不相等，与相交，故③错误；

在④中，直线、既不平行又不相交，是异面直线，故④正确．

故选：．

13．若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系是　　

A．异面或平行 B．异面或相交 

C．异面 D．相交、平行或异面

【解析】在长方体中，

①若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，

则满足和是异面直线，和是异面直线，

而和相交；

②若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，

此时和平行；

③若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，

此时和异面；

故选：．

14．在空间四边形的各边，，，上依次取点，，，，若、所在直线相交于点，则　　

A．点必在直线上 B．点必在直线上 

C．点必在平面外 D．点必在平面内

【解析】如图：连接、、，

、所在直线相交于点，

且，

平面，平面，

平面，且平面，

由平面平面，

，

故选：．

15．对于平面外一直线，下列说法正确的是　　

A．内的所有直线都与异面 B．内有无数条直线与垂直 

C．内没有直线与相交 D．内有无数条直线与平行

【解析】直线为平面外的直线，或与相交，

当时，内的直线与平行或异面，当与相交时，内的直线与相交或异面．

错误，内有无数条直线与垂直，正确．

故选：．

16．在以下四个图中，直线与直线平行的位置关系只能是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解析】选项中，平面，内的两直线异面，则与异面；

选项中，平面，内的两直线异面，则与异面；

选项中，平面，内的两直线异面，则与异面；

选项中，平面，内的两直线相交，两相交直线可以求得一个平面，

则与相交或平行，由图可知，与平行．

故选：．

17．设点为正方形的中心，为平面外一点，为等腰直角三角形，且，若是线段的中点，则　　

A．，且直线、是相交直线 

B．，且直线、是相交直线 

C．，且直线、是异面直线 

D．，且直线、是异面直线

【解析】连接，如图，

由题意，，，，由，

，

，分别为、的中点，则，

，四边形是等腰梯形，

，且直线、是相交直线．

故选：．

18．已知直线，，，若，异面，，则，的位置关系是　　

A．异面 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面

【解析】在正方体中，如图，

和是异面直线，，，

和是异面直线，，和是异面直线，

直线，，，，异面，，

则，的位置关系是相交或异面．

故选：．

19．若直线，是异面直线，点是空间中不在直线，上的任意一点，则　　

A．不存在过点且与直线，都相交的直线 

B．过点一定可以作一条直线与直线，都相交 

C．过点可以作无数多条直线与直线，都相交 

D．过点至多可以作一条直线与直线，都相交

【解析】直线，是异面直线，点是空间中不在直线，上的任意一点，

点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，

由题意可知，直线与平面相交或平行，

（1）若直线与平面相交，如图1，记，

①若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；

②若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线．

（2）若直线与平面平行，如图2，

则不存在过点且与，都相交的直线．

综上，过点至多可以作一条直线与直线，都相交．

故选：．

20．如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是　　

A．与是两条相交直线 B．平面 

C． D．，，，四点共面

【解析】在直四棱柱中，

由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误；

因为，平面，平面，

所以平面，故选项正确；

由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误；

由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误．

故选：．

二．多选题

21．下列说法正确的是　　

A．三点确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 

C．梯形一定是平面图形 D．四边形一定是平面图形

【解析】对于，不在同一直线上的三点确定一个平面，所以错误；

对于，三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以三角形是平面图形，选项正确；

对于，梯形的一组对边平行，两条平行线确定一个平面，所以梯形是平面图形，选项正确；

对于，四边形也可能是空间四边形，所以选项错误．

故选：．

22．如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，则　　

A．平面 B．平面 

C．平面 D．直线，，交于一点

【解析】因为，所以，

又，分别为，的中点，所以，且，则，

易知平面，与为相交直线，即正确，，错误；

因为为梯形，所以与必相交，设交点为，

所以平面，平面，

则是平面与平面的一个交点，

所以，即直线，，交于一点，即正确．

故选：．

23．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题中，正确的是　　

A． B． 

C．与为异面直线 D．

【解析】作出正方体的直观图，如图，

由直观图可知与为互相垂直的异面直线，故错误；

，故正确；

与为异面直线，故正确；

由正方体性质得平面，故，故正确．

故选：．

24．已知直线平面，直线平面，则直线，可能　　

A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直

【解析】在正方体中，

直线平面，直线平面，

直线直线，且直线与直线垂直；

直线平面，直线平面，直线直线；

、的中点分别为，，

直线平面，直线平面，直线与直线是异面直线．

由直线平面，直线平面，得到直线，可能相交且垂直、平行或异面．

故选：．

25．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系可以是　　

A．相交 B．平行 C．异面 D．重合

【解析】在正方体中，

和是异面直线，，和是异面直线；

和是异面直线，，和是相交直线，

若、为异面直线，直线与平行，

则与的位置关系是异面或相交．

故选：．

三．填空题

26．不共线的三点确定 　　个平面．（填数字）

【解析】由平面的基本性质可知，不共线的三点唯一确定一个平面，

故答案为：1．

27．已知定直线，定点，则直线与点确定的平面有 　　个（请填写个数）．

【解析】由平面的基本性质及推论可知，经过直线和直线外一点有且只有一个平面，

定直线，定点，则直线与点确定的平面有1个，

故答案为：1．

28．正方体中，、分别是棱，的中点，则直线与的位置关系是 　　．

【解析】正方体中，、分别是棱，的中点，

平面，平面，，

直线与的位置关系是异面．

故答案为：异面．

29．在正方体中，与棱所在直线异面的棱有 　　条．

【解析】在正方体中，

与棱所在直线异面的棱有：、、、，共4条．

故答案为：4．

30．已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线的位置关系是 　　．

【解析】若，是异面直线，如图，

则直线与直线的关系是相交或异面，

不可能平行，

否则若，又，

则，

与、是异面直线矛盾．

故答案为：相交或异面．

31．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为 　　．

【解析】根据题意，直线与直线为两条异面直线，

若直线，那么直线与直线可能异面或相交；

如图，正方体中，和是异面直线，

直线，则有和是异面直线，

，则与相交，

直线与为两条异面直线且直线平行于直线，

则直线与直线的位置关系为相交或异面

故答案为：异面或相交．

32．已知空间直线，，且与是异面直线，那么与的位置关系是 　  　．

【解析】如图所示

①令直线为，直线为，直线为，直线为，

当与是异面直线时，与是异面关系，

②令直线为，直线为，直线为，直线为，

当与是异面直线时，与是相交关系，

故答案为：相交或异面．

33．空间两个平面最多将空间分成 　　部分．（填数字）

【解析】两个平面的位置关系是平行与相交，

若两个平面平行，则可将空间分成三部分，

若两个平面相交，可将空间分成四部分，

故答案为：4．

34．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是　　．

【解析】与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是平行、相交或异面．

如图：

故答案为：平行、相交或异面．

35．给出下列说法：

①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；

②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；

③有三个不同公共点的两个平面重合；

④两两相交且不过同一点的四条直线共面．

其中正确说法的序号是　　．

【解析】和某一直线都相交的两条直线可以异面；

三条两两相交的直线若交于同一点，则可以不共面；

有三个不同公共点的两个平面可以是相交；

因为两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，满足条件的第四条直线必在该平面内；

其中正确命题为④．

故答案为：④．

36．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有 　　对异面直线．

【解析】如图，

在正方体中，与棱异面的有，，，共4对，

正方体有12条棱，排除两棱的重复计算，

异面直线共有对．

故答案为：24．

37．已知直线，如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值．那么这样的直线有 　　条．

【解析】由题意作图如右图，其中，，，，异面，

则平面内任一条与平行的直线都满足要求．

满足条件的直线有无数条．

故答案为：无数．

四．解答题

38．如图所示，四边形和都是直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．

（1）证明：四边形是平行四边形；

（2），，，四点是否共面？为什么？

【解析】（1）证明：由，分别为，的中点，

可得，，

又，，

，四边形是平行四边形，

（2），，，四点共面，理由如下：

由，，为的中点知，

四边形为平行四边形，，

由（1）知，，

与共面，

又，，，，四点共面．

39．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：

（1）和共面；

（2）和是异面直线．

【解析】证明：（1）如图，连接，，，

因为点、分别是、的中点，

所以，

因为，，所以四边形为平行四边形，

所以，所以，

所以，，，四点共面，

所以和共面．

（2）因为是正方体，

所以，，，不共面，

假设和不是异面直线，

则存在平面，使平面，平面，

所以，，，平面，

这与，，，不共面矛盾，

所以假设不成立，

即和是异面直线．

40．已知、、、是空间四个点，且直线与是两条异面直线．用反证法证明：直线与也是异面直线．

【解析】证明：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，

，，，四点在同一平面内，

、就分别有两个点在这个平面内，

则，在这个平面内，

与不是异面直线，

这与已知条件产生矛盾，

和是异面直线．

41．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：

（1），，，四点共面；

（2）与的交点在直线上．

【解析】证明：（1），

，

，分别为，的中点，，

，

，，，四点共面．

（2）、不是、的中点，

，且，

与必相交，设交点为，

平面，平面，

平面，且平面，

平面平面，

，

与的交点在直线上．