第八章 立体几何初步章末检测卷（二）-高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

立体几何初步章末检测卷（二）

说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷(选择题  共60分)

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．下列说法中正确的个数为（       ）

①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；

②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；

③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；

④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．

A． B． C． D．

【解析】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；

对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；

对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；

对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确.

故选：D.

2．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（       ）

A．10cm B．5cm

C．5cm D．cm

【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，

展开后，

∴，即为所求最短距离．

故选:D.

3．一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是（       ）

A．B B．E C．B或F D．E或F

【解析】根据两个不同放置的图形，明显可知C的对面不是A，B，D，E，

故C的对面是F，则与D相对的面为E或B，

若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时与第二种放置矛盾，

故与D面相对的是B面.

故选：A.

4．如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（　　）

A．是钝角三角形

B．是等腰三角形，但不是直角三角形

C．是等腰直角三角形

D．是等边三角形

【解析】将其还原成原图，设，则可得，

，从而，所以，

即，故是等腰直角三角形.

故选：C.

5．已知在中,角 所对的边分别为,且.又点 都在球的球面上,且点到平面的距离为,则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【解析】设的外接圆半径为，球的半径为，则

在中，由正弦定理，得

，解得.

又因为点到平面的距离为,

所以.

所以球的表面积为.

故选：C.

6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是（       ）

①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．

A．①和② B．②和③

C．③和④ D．①和④

【解析】①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；

②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；

③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；

④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题.

故选：B．

7．正三棱柱中，底面边长为2，M为中点，与平面所成角为，则三棱柱的体积为（       ）

A．2 B． C．3 D．

【解析】取中点为O，BC中点为Q，连接OQ，MO，AQ，则，

所以四边形MAQO是平行四边形，所以，

又是正三角形，所以，平面平面，

所以平面平面平面，

作于H，则平面，

故即为与平面所成角，故，

故，

所以.

故选：B.

8．在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，则点到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．

【解析】

如图，点为线段的中点，连接，于，由正方体的性质，易得，平面，因为平面，平面，所以，.

因为，，所以 ，

，同理可得，

对于，，

所以，

故选：B

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是（       ）

A．存在某一位置，使得CD//平面ABFE

B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE

C．在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立

D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立

【解析】对于A，因为四边形DEFC是梯形，DE∥CF，所以CD与EF相交，所以CD与平面ABFE相交，故A错误；

对于B，因为四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，所以DE与EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误；

对于C，因为四边形ABFE是梯形，AE//BF，BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立，故C正确；

对于D，因为四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，所以BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不成立，故D错误．

故选：ABD

10．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（       ）

A．BC⊥PC

B．OM⊥平面ABC

C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长

D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积

【解析】A选项：△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，，又直线PA垂直于圆O所在的平面，，，面，又面，，正确；

B选项：点M为线段PB的中点，，又直线PA垂直于圆O所在的平面， OM⊥平面ABC，正确；

C选项：△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，，又直线PA垂直于圆O所在的平面，，，面，点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，正确；

D选项：点M为线段PB的中点，M到平面PAC的距离等于B到平面PAC的距离的一半，三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半，又M到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距离的一半，三棱锥M-ABC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半， 三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积，正确.

故选：ABCD.

11．己知m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（       ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，则

【解析】若，，则无法判断m与平面α的位置关系，故A错误；

若，，，故根据线面平行的性质定理可知m∥n，故B正确；

若，，则根据线面垂直的性质定理知m∥n，故C正确；

若，，则根据面面垂直的判定定理知，故D正确.

故选：BCD.

12．棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（       ）

A．与是异面直线 B．与所成角为

C．平面平面 D．若，则点的运动轨迹长度为

【解析】由展开图还原正方体如下图所示，

对于A，，四边形为平行四边形，，

与是共面直线，A错误；

对于B，，与所成角即为，

，为等边三角形，

，即与所成角为，B正确；

对于C，平面，平面，；

又，，平面，平面，

又平面，平面平面，C正确；

对于D，由正方体性质可知平面，

取中点，连接，

则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，

点的轨迹长度为，D正确.

故选：BCD.

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共有24条，其中与体对角线AC1垂直的有________条．

【解析】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC.∵C1C⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴C1C⊥BD，又AC∩CC1＝C，

∴BD⊥平面ACC1，又∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD.同理A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C都与AC1垂直．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，故与体对角线AC1垂直的有6条．

故答案为：6

14．如图，在圆锥中，，直线a，b在圆O所在的平面内，且．若直线与a所成角为，则直线与b所成角为________．

【解析】根据已知，做直径交圆O于两点，如图所示.

因为，

所以，不妨设，

由圆锥可知，所以，，

由勾股定理可得：，所以，

同理可得，可得.

因为CD为直径，所以，所以.

因为直线与a所成角为，不妨取平行于a，又因为，所以BD平行b.

所以直线与b所成角为与BD所成角，等于.

故答案为：.

15．如图所示，在矩形中，平面，若在上只有一个点Q满足，则a的值等于__________．

【解析】连结AQ.

因为平面，所以.

又，面,面,

所以面,所以.

因为在上只有一个点Q满足，所以与以AD为直径的圆相切.

因为所以a=2.

故答案为：2

16．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________．

【解析】作，且，连结，，

，，平面且，

四边形时平行四边形，，平面，平面，

中，,

中，.

故答案为：

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．

(1)求证：平面；

(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．

【解析】(1)因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.

(2)因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.

18．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.

(1)若，求四棱锥的体积；

(2)求证：平面.

【解析】(1)∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，

∴；

(2)证明：∵四边形为矩形，

∴，

∵底面，面，

∴，

又，∴面，

又，分别是，的中点，

∴，

∴平面.

19．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．

(1)求证：∥平面；

(2)求证：面面．

【解析】(1)连接AC，交BD于O，连接OE，

在△CAP中，，∴，

又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；

(2)∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD，

又∵是正方形，则AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.

∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.

20．在三棱锥中，分别为的中点，且.

(1)证明：平面；

(2)若平面平面，证明：.

【解析】(1)证明:因为，分别为，的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

(2)证明：因为，为的中点，，

又平面平面

平面平面，

所以平面

又平面.

所以.

21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

【解析】（1）证：连接交于点，连接

∵底面是菱形

∴为的中点

∵点为的中点

∴

∵平面，且平面

∴平面

（2）证明：∵底面是菱形

∴

∵平面

∴

∵，∴平面

平面，

∴

22．如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线.且，圆柱的底面半径为1.

(1)证明：；

(2)若为的中点，点在线段上，，求三棱锥的体积.

【解析】(1)证明

为直径，点在圆上且不同于点，，

又为母线，平面，又平面，从而，

又，平面，

平面，又平面，

(2)由已知得，

∵为的中点，=2，为下底面的直径，

∴，所以，

因为，所以到平面的距离等于点到平面的距离的3倍，

又平面，，所以到平面的距离为1，