数学八年级下册9.2 中心对称与中心对称图形同步练习题

这是一份数学八年级下册9.2 中心对称与中心对称图形同步练习题，共36页。试卷主要包含了5＜x＜8等内容，欢迎下载使用。
9.2中心对称与中心对称图形
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·江苏·八年级期末）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波拉切螺旋线
3．（2022春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）点P2,−3关于原点的对称点是（    ）
A．−2,3 B．2,−3 C．−2,−3 D．2,3
4．（2022秋·江苏苏州·八年级校联考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（     ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点P；
（3）连接BP，与AC交于点O，连接AP、CP．

以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分∠BAP；③四边形ABCP是轴对称图形也是中心对称图形；④△ABC≌△APC，请你分析一下，其中正确的是（    ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③△ABO≌△CDO；④AC＝BD．

A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=56，D为△ABC内一点，∠BAD=15°,AD=6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ）

A．36 B．35 C．33 D．32
8．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为______．
10．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A3,4，点A关于原点O的对称点为B，则AB的长为_______．
11．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=12，AB=1，∠BAC=90°，则AE的长是____________．

12．（2022春·江苏·八年级专题练习）已知线段EF两个端点的坐标为E（x1，y1），F（x2，y2），若点M（x0，y0）是线段EF的中点，则有x0＝x1+x22,y0=y1+y22．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点记为P1，P1关于点B的对称点记为P2，P2关于点C的对称点记为P3，…，按此规律继续以A、B、C三点为对称中心，重复前面的操作，依次得到点P4，P5，P6，…，则点P2020的坐标是 __________．
13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ___；
（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ___．

14．（2022春·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），点A在x轴正半轴上，连接AB，AB=5．将线段AB绕原点O逆时针方向旋转得到对应线段A'B'，若点B'恰好在y轴正半轴上，点A'的坐标为 _____．

15．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中） 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，CD=14，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为_________．

16．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．

(1)将△ABC先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点O旋转180°，请画出旋转后△A2B2C2
(3)若△A1B1C1与△A2B2C2是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
18．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）按下列要求分别画出与四边形ABCD成中心对称的四边形：

(1)以顶点A为对称中心的四边形AB1C1D1
(2)以BC的中点O为对称中心的四边形A2B2C2D2
19．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)点B1的坐标为　　，点C2的坐标为　　．
20．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2.
(3)作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△A2B2C2的内部（不含落在△A2B2C2的边上），请直接写出x的取值范围 ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）
21．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，点O是等边△ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．

(1)求∠ODC的度数．
(2)若OB=2，OC=3，求AO的长．
22．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为△BEC的边BE上一点，连接AE，AD，AB=AD．

(1)从①AE平分∠DAC；②∠BEC=90°中选择一个作为补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程，你选的补充条件是___________，结论是___________．（序号）
(2)在（1）的条件下，如果BD=4，DE=3，求AE的长．
23．（2023春·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图①，△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．

(1)如图②，可以根据三角形全等判定定理______证得△ADB≌△AEC．
A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．角角边
(2)如图③，①求证：BD=CE；
②BD和CE所夹的锐角为______°；
(3)当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为______°．
24．（2022春·江苏·八年级期中）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE＋∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＋∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（    ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　　；
（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B'C，求△AB'C的面积．
（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．
①当t＝　　秒时，OF∥ED；
②当t＝　　秒时，OF⊥BC；
③当t＝　　秒时，点F恰好落在射线EB上．





答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·江苏·八年级期末）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．正确找到轴对称图形的对称轴、中心对称图形中的对称中心与180°的旋转角是解此题的关键．
2．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波拉切螺旋线
【答案】B
【分析】根据轴对称和中心对称的定义即可进行解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．
3．（2022春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）点P2,−3关于原点的对称点是（    ）
A．−2,3 B．2,−3 C．−2,−3 D．2,3
【答案】A
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，即可求解．
【详解】解：点P2,−3关于原点的对称点是−2,3．
故选：A
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
4．（2022秋·江苏苏州·八年级校联考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点P；
（3）连接BP，与AC交于点O，连接AP、CP．

以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分∠BAP；③四边形ABCP是轴对称图形也是中心对称图形；④△ABC≌△APC，请你分析一下，其中正确的是（    ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】由题意得：AB=AP，CB=CP，从而可判断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS，可判断④．
【详解】由题意得：AB=AP，CB=CP，
∴点A、C在BP的垂直平分线上，即：AC垂直平分BP，故①错误；
∵AB=AP，AC⊥BP，
∴AC平分∠BAP，故②正确；
∵AC垂直平分BP，
∴点B、P关于直线AC对称，即：四边形ABCP是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；
∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，
∴△ABC≌△APC，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的判定定理。等腰三角形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键．
6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③△ABO≌△CDO；④AC＝BD．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答．
【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB＝OD，AB＝CD，
而AC＝BD不一定成立，
故选：B．
【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键．
7．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=56，D为△ABC内一点，∠BAD=15°,AD=6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ）

A．36 B．35 C．33 D．32
【答案】A
【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=62，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=12DE=32，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得AF2=AG2+FG2=AG2+(12AF)2，从而求得AF=26，即可由CF=AC-AF求解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G，

由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，DE=AD2+AE2=62+62=62，
∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，
∵AG⊥DE，
∴DG=GE，∠GAF=30°，
∴AG=GE=12DE=32，FG=12AF，
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
AF2=AG2+FG2=AG2+(12AF)2，即AF2=(32)2+(12AF)2，
解得：AF=26，
∴CF=AC-AF=56−26=36，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
8．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．3
【答案】D
【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝23，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝23，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，

由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠EAP＝∠CAQ，
又∵AE＝AC，AP＝AQ，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝23，
∴AB＝43，
∵AE＝AC＝23，
∴BE＝AB−AE＝23，
在Rt△BFE中，∠B＝30°，
∴EF＝12BE＝3，
故线段CQ长度的最小值是3，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为______．
【答案】（-2，3）
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标，纵坐标互为相反数，可得结论．
【详解】解：∵将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A'，
∴A，A′关于原点对称，
∴点A'的坐标为（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
10．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A3,4，点A关于原点O的对称点为B，则AB的长为_______．
【答案】10
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出B（−3，−4），再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：点A（3，4）关于原点O的对称点是点B（−3，−4），
则OA=OB=32+42=5，
AB=10，
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确应用勾股定理是解题关键．
11．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=12，AB=1，∠BAC=90°，则AE的长是____________．

【答案】2
【分析】根据中心对称的性质AB=DE，DC=AC及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝12，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝1，
∵∠D＝90°，
∴AE＝AD2+DE2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，熟记中心对称图形的性质是解题关键．
12．（2022春·江苏·八年级专题练习）已知线段EF两个端点的坐标为E（x1，y1），F（x2，y2），若点M（x0，y0）是线段EF的中点，则有x0＝x1+x22,y0=y1+y22．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点记为P1，P1关于点B的对称点记为P2，P2关于点C的对称点记为P3，…，按此规律继续以A、B、C三点为对称中心，重复前面的操作，依次得到点P4，P5，P6，…，则点P2020的坐标是 __________．
【答案】（-2，-2）
【分析】根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标．
【详解】解：∵A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1），
点P（0，2）关于点A的对称点P1(x，y)，
∴1=0+x2，-1=2+y2，
解得x=2，y=-4，
所以点P1（2，-4）；
同理：
P1关于点B的对称点P2，
所以P2（-4，2）
P2关于点C的对称点P3，
所以P3（4，0），
P4（-2，-2），
P5（0，0），
P6（0，2），
…，
发现规律：
每6个点一组为一个循环，
∴2020÷6=336…4，
所以P2020与P4重合，
所以点P2020的坐标是（-2，-2）．
故答案为：（-2，-2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转、规律型-点的坐标、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ___；
（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ___．

【答案】     9,3     4n+1,3
【分析】（1）先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1、B1的坐标，然后根据中心对称的性质，分别求出A2、A3、A4的坐标，即可求出A5的坐标；
（2）根据（1）的求解结果，总结出An的坐标的规律，再有规律求出A2n+1的坐标即可．
【详解】解：（1）如图过点A1    ，作A1⊥x轴于C，
∴OC=12OB1=1，
∴A1C=A1O2−OC2=3，

∵△OA1B1是边长为2的等边三角形
∴点A1的坐标为1,3，点B1的坐标为2,0
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称
∵2×2−1=3，2×0−3=−3
∴点A2的坐标为3,−3
∵△B3A3B2与△B2A2B1关于点B2成中心对称
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称
∵2×4−3=5，2×0−−3=3
∴点A3的坐标为5,3
∵△B4A4B3与△B3A3B2关于点B3成中心对称
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称
∵2×6−5=7，2×0−3=−3
∴点A4的坐标为7,−3
∵△B5A5B4与△B3A4B4关于点B4成中心对称
∴点A5与点A4关于点B4成中心对称
∵2×8−7=9，2×0−−3=3
∴点A5的坐标为9,3
（2）∵1=2×1−1
3=2×2−1
5=2×3−1
7=2×4−1
⋯⋯
∴An的横坐标是2n−1
∴A2n+1的横坐标是22n+1−1=4n+1
∵当n为奇数时，An的纵坐标是3；当n为偶数时，An的纵坐标是−3
∴A2n+1的纵坐标是3
∴△B2nA2n−1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是4n+1,3．
故答案是：9,3，4n+1,3．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化的旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是总结出An的坐标．
14．（2022春·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），点A在x轴正半轴上，连接AB，AB=5．将线段AB绕原点O逆时针方向旋转得到对应线段A'B'，若点B'恰好在y轴正半轴上，点A'的坐标为 _____．

【答案】245,325
【分析】如图，连接OB，OA'，过点A'作A'H⊥y轴于点H，过点B作BT⊥OA于点T．解直角三角形求出BT，OA，再利用面积法求出A'H，OH，可得结论．
【详解】解：如图，连接OB，OA'，过点A'作A'H⊥y轴于点H，过点B作BT⊥OA于点T，

∵B(4，3)，
∴OB=32+42=5，
∵AB=5，
∴OB=OB'=5，AB=A'B'=5，
∵BT⊥OA，
∴OT=TA=4，BT=OB2−OT2=52−42=3，
∵S△OA'B'=12×8×3=12×5×A'H，
∴A'H=245，
∵HB'=A'B'2−A'H2=52−2452=75，
∴OH=5+75=325，
∴A'245,325．
故答案为：245,325．
【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
15．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中） 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，CD=14，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为_________．

【答案】10
【分析】先求出∠5=∠4=90°，由AC=BC,AB=12，得到OA=OB=6，又由   ∠ACB=90°，得到CO=12AB=6，由CD1=CD=14，得到 OD1=8，在△AD1O中，由勾股定理即可得到答案．
【详解】如图所示，

由题意得，∠3=15°，∠E1=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°，  
∴∠D1FO=60°，
∵∠CD1E1=30°，
∴∠5=∠4=90°，  
又∵AC=BC,AB=12，
∴OA=OB=6，   
∵∠ACB=90°，
∴CO=12AB=6，
∵CD1=CD=14，    
∴OD1=CD1−OC=14−6=8，
在△AD1O中，AD1=OA2+OD12=62+82=10．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．
16．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是______．

【答案】94
【分析】取BC的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质和旋转可以证明△MBG≌△NBH，可得MG=NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，由直角三角形的性质可求得线段HN长度的最小值．
【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，

∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
即∠MBH+∠MBC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边三角形的高，
∴BH=12AB，
∴BH=BG，
又∵BM旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BM=BN∠GBM=∠HBNBG=BH，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH=12×60°=30°，
∴CG=12BC=12×9=92，
∴MG=12CG=94，
∴HN=94．
∴线段HN长度的最小值是94．
故答案为：94．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．

(1)将△ABC先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点O旋转180°，请画出旋转后△A2B2C2
(3)若△A1B1C1与△A2B2C2是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(−1,−2)
【分析】（1）根据题意画出平移后的图形即可；
（2）根据题意画出旋转后的图形即可；
（3）根据中心对称的性质得出对称中心即可．
（1）
解：如图，△A1B1C1即为所作；

（2）
如图，△A2B2C2即为所作；
（3）
连接C1C2,B1B2，交点为M，
则交点M的坐标为(−1,−2)，
故答案为：(−1,−2)．
【点睛】本题考查了平移，旋转－作图，熟练掌握平移与旋转的性质以及中心对称的性质是解本题的关键．
18．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）按下列要求分别画出与四边形ABCD成中心对称的四边形：

(1)以顶点A为对称中心的四边形AB1C1D1
(2)以BC的中点O为对称中心的四边形A2B2C2D2
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）连接CA并延长至C1，使得AC1=CA，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可；
（2）方法同（1），连接AO并延长至A2，使AO=A2O，则A2就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可．
（1）
解：连接CA并延长至C1，使得AC1=CA，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形；如图，四边形AB1C1D1即为所求．

（2）
连接AO并延长至A2，使AO=A2O，则A2就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点．）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形，如图所示，四边形A2B2C2D2即为所求，

【点睛】本题考查了画中心对称图形，掌握中心对称的性质是解题的关键．
19．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)点B1的坐标为　　，点C2的坐标为　　．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)−2，−3，2，−2

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，
（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据平面直角坐标系写出点B1、C2的坐标．
（1）
解：△A1B1C1如图所示，
（2）
解：△A2B2C2如图所示；

（3）
根据坐标系可得：B1−2，−3，C22，−2．
故答案为：−2，−3，2，−2．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2.
(3)作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△A2B2C2的内部（不含落在△A2B2C2的边上），请直接写出x的取值范围 ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5.5＜x＜8

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，则可得到△AB1C1；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；
（3）先利用关于x轴的对称点的坐标特征写出P点坐标，再描点得到P点，然后观察图形可判断x的取值范围．
（1）
解：如图，△AB1C1为所作；

（2）
解：如图，△A2B2C2为所作；
（3）
解：如图，点P为所作；
x的取值范围为5.5＜x＜8．
故答案为：5.5＜x＜8．
【点睛】本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，点O是等边△ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．

(1)求∠ODC的度数．
(2)若OB=2，OC=3，求AO的长．
【答案】(1)∠ODC=60°
(2)13

【分析】（1）根据旋转的性质可得：CD=CO，∠ACD=∠BCO，即可证得△OCD是等边三角形，即可求解；
（2）由旋转的性质得，AD=OB=2，∠ADC=∠BOC=150°，由△OCD为等边三角形，得OD=OC=3，可证得△AOD是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°；
（2）解：由旋转的性质得，AD=OB=2，∠ADC=∠BOC=150°，
∵∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
∴在直角△AOD中，AO=AD2+OD2=22+32=13．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的有关知识，熟练掌握和运用旋转的性质是解决本题的关键．
22．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为△BEC的边BE上一点，连接AE，AD，AB=AD．

(1)从①AE平分∠DAC；②∠BEC=90°中选择一个作为补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程，你选的补充条件是___________，结论是___________．（序号）
(2)在（1）的条件下，如果BD=4，DE=3，求AE的长．
【答案】(1)①，②，证明见解析
(2)52

【分析】（1）首先证明出△ADE≌△ACE，得到∠ADE=∠ACE，进而得到∠ADB+∠ACE=180°，然后由AB=AD得到∠ABD=∠ADB，进而得到∠ABE+∠ACE=90°，然后根据四边形内角和求解即可．
（2）△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，根据全等三角形的性质结合∠BAC=90°得到△AFE是等腰直角三角形，进而即可求出AE的长．
【详解】（1）选的补充条件为①，结论是②，
证明如下：
∵AB=AC，AB=AD
∴AD=AC
∵在△AED和△AEC中
AD=AC∠DAE=∠CAEAE=AE
∴△AED≌△AECSAS
∴∠ADE=∠ACE
∵∠ADE+∠ADB=180°
∴∠ACE+∠ADB=180°
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ACE+∠ABD=180°
∴∠BAC+∠BEC=180°
∵∠BAC=90°
∴∠BEC=90°；
（2）△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB

∴△AEC≌△AFB
∴∠FAB=∠EAC，AF=AE，BF=CE=DE=3
∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°
∴∠BAE+∠FAB=∠FAE=90°
∵∠BEC=90°，∠BAC=90°
∴∠BAC+∠BEC=180°
∴∠ABE+∠ACE=180°
∴∠ABF+∠ABE=180°
∴点F，B，E三点共线
∴△AFE是等腰直角三角形
∴EF=BF+BD+DE=3+4+3=10
∴AF2+AE2=EF2，即2AE2=102
∴解得AE=52．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．（2023春·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图①，△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．

(1)如图②，可以根据三角形全等判定定理______证得△ADB≌△AEC．
A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．角角边
(2)如图③，①求证：BD=CE；
②BD和CE所夹的锐角为______°；
(3)当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为______°．
【答案】(1)B
(2)①见解析；②60
(3)60或120

【分析】（1）等边三角形的性质和旋转的性质以及全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①利用SAS证明三角形全等即可；②先求出∠ABC=∠ACB=60°，再由△ADB≅△AEC，得出∠ABD=∠ACE，最后由三角形的内角和即可求出答案；
（3）分两种情形，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．
（1）
解：∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
即∠DAB=∠EAC．
在△ADB和△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC
∴△ADB≅△AECSAS；
故选：B
（2）
①证明：∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE
即∠DAB=∠EAC．
在△ADB和△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC
∴△ADB≅△AECSAS，
∴BD=CE；
②解：如图，设CE交BD于点H，

由①知，△ADB≅△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BHC=180°-（∠CBD+∠BCH）
=180°-（∠ABD+∠ABC+∠BCH）
=180°-（∠ACE+∠ABC+∠BCH）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=60°，
故答案为：60；
（3）
解：如图，

∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠AEC=120°，
∵△ADB≅△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠EDB=60°；
如图，

∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵△ADB≅△AEC，
∴∠AEC=∠ADB=60°，
∴∠EDB=∠ADE+∠ADB=120°；
综上所述，∠EDB的度数为60°或120°．
故答案为：60或120
【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．（2022春·江苏·八年级期中）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE＋∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＋∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（    ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　　；
（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B'C，求△AB'C的面积．
（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．
①当t＝　　秒时，OF∥ED；
②当t＝　　秒时，OF⊥BC；
③当t＝　　秒时，点F恰好落在射线EB上．

【答案】（1）AAS；（2）50；（3）①1；②2；③4
【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB；
（2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；
（3）如图3，过B'作B'E⊥AC于E，证明△AEB'≌△BCA，得AC=B'E=4，根据面积公式可得结论；
（4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，①如图4，根据OP∥AE，得CO=PC，代入可得t的值；②如图5，证明∠COP＝30°，则OC＝2PC，列方程：2＝2（3﹣t），则t＝2；③如图6，证明△PCO≌△OBF，则PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4．
【详解】解：（1）在△AEC和△CDB中，
∵∠AEC=∠CDB∠CAE=∠BCDAC=BC，
∴△AEC≌△CDB（AAS），
故答案为：AAS；
（2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，
由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，
∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝12（4+6）×16﹣2×12×6×3﹣2×12×4×3＝80﹣18﹣12＝50，
故答案为：50；
（3）如图3，过B'作B'E⊥AC于E，
由旋转得：AB=AB'，
∵∠BAB'=90°，
∴△AEB'≌△BCA，
∴AC=B'E=4，
∴S△AB'C=12AC⋅B'E=12×4×4＝8；
（4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，
①如图4，∵OF∥ED，
∴∠POF+∠OPC＝180°，
∵∠POF＝120°，
∴∠OPC＝60°，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠OPC，
∴OP∥AE，
∴∠OPC=∠E=60°，∠COP=∠CBE=60°，
∴∠OPC=∠COP，
∴CO=PC，即2＝3﹣t，解得∶t＝1，
即当t＝1秒时，OF∥ED；
②如图5，∵OF⊥BC，
∴∠FOC＝90°，
∵∠FOP＝120°，
∴∠COP＝30°，
∴OC＝2PC，
2＝2（3﹣t），t＝2，
即当t＝2秒时，OF⊥BC；
③如图6，∵∠FOP＝120°，
∴∠FOB+∠COP＝60°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠COP+∠OPC＝60°，
∴∠FOB＝∠OPC，
∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°，
∴△PCO≌△OBF，
∴PC＝OB＝1＝t﹣3，
t＝4，
即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上．
故答案为：①1；②2；③4．

【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质、动点运动问题，明确动点运动的路程，并运用了类比的思想，与方程相结合，解决问题