苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和课后练习题

这是一份苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和课后练习题，共30页。试卷主要包含了在下列条件中，如图，，，，的度数是等内容，欢迎下载使用。
7.5 多边形的内角和与外角和
一．单选题
1．一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为　　
A．八 B．九 C．十 D．七
2．一个凸多边形的内角和与外角和之比为，则这个多边形的边数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
3．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边、恰好分别经过点、，在中，，则的度数是　　

A． B． C． D．
5．如图，四边形中，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
6．若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和的度数为　　
A． B． C． D．
7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是　　
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
8．如图，，，，的度数是　　

A． B． C． D．
9．如图，七边形中，、的延长线交于点，着、、、对应的邻补角和等于，则的度数为　　

A． B． C． D．
10．小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为
　　

A． B． C． D．
11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　　个五边形．

A．6 B．7 C．8 D．9
12．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
13．如图，在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是　　

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
二．填空题
14．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有9条对角线，则它的边数是　　．
15．在中，与的平分线相交于点，若，则　　．

16．个小朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了　　次手．（用含的代数式表示）
17．如图，小明从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了　　．

18．如图，在中，，，的平分线交于点，点是边上的一个动点，当是钝角三角形时，的取值范围是　　．

三．解答题
19．如图，已知，，，求度数．

20．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌（简称镶嵌）．在生活中，我们运用镶嵌可以设计出美丽的图案．
（1）观察图①，我们发现：用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为　　；
（2）如图②，长方形的长为、宽为，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是　　；

（3）如图③，用3个边长为的正三角形和2个边长为的正方形，可以镶嵌成1个七边形，请你画出该七边形的示意图．
21．（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边、分别经过点、．中，，则　　，
　　．

（2）如图2，的位置不变，改变直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过、，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小．
22．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：
如图（1），我们称它为“”型图案，易证明：．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求？
分析：图中是“”型图，于是，
所以　　；
（2）如图（3），“七角星”形，求的度数．


提升篇

23．某休闲广场的地面中间是1块正六边形地砖，周围是用正方形和正三角形地砖按如图方式依次向外铺设10圈而成，其中第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，则铺设该广场共用地砖　　块．

24．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形” 与中，，，求证：；
（2）【性质应用】
如图3，在中，点、分别是边、上的点，，若比大，求的度数．

25．【原题重现】
如图1，、相交于点，求证：．某数学兴趣小组同学对此题展开了探究讨论．

【解法再探】
（1）课本利用“三角形内角和是”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，如图4所示思路框图：

完成框图填空：①　　，②　　，③　　；
【变式拓展】
（2）小慧同学把图1中线段与相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，、相交于点，、的角平分线交于点，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小明完成以下问题：
小明看到图2中有两个与相关的“8字形”，请你根据（1）的结论写出关于的两个关系式为：①　　；②　　；
小明进一步思考：设，，由，得，③，由①、③（或②、③联立、转化、整理可得结论：　　；
【发现生成】
（3）小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，、相交于点，，，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你写出解答；
（4）若把（3）中的“”都改为“”，则　　．（用含，的式子表示）
26．如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由．
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图（2），把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则　　．
②如图（3），平分，平分，若，，求的度数．
③如图（4），，的10等分线相交于点、、，若，，请直接写出的度数是 　　．

27．（问题背景）
，点、分别在、上运动（不与点重合）．

（问题思考）
（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，　　．
（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
①若，则　　．
②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，　　．（用含的代数式表示）
28．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，．

（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式；
（3）如图2，若，判断，的位置关系，并说明理由．
29．【情景引入】
（1）如图1，、分别是的内角、的平分线，说明的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，、分别是的两个外角、的平分线，与之间的等量关系是　　；
②如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，探究与之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．
①，则的度数为　　；
②，则的度数为　　．

答案与解析
一．单选题
1．一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为　　
A．八 B．九 C．十 D．七
【详解】解：，多边形的边数为八．
故本题选：．
2．一个凸多边形的内角和与外角和之比为，则这个多边形的边数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【详解】解：设多边形有条边，由题意得：，解得：．
故本题选：．
3．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：①，，
，，是直角三角形，①正确；
②，，
，是直角三角形，②正确；
③，，
，，是直角三角形，③正确；
④，，
，，
，，是直角三角形，④正确；
故本题选：．
4．有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边、恰好分别经过点、，在中，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【详解】解：由题意得：
，且，
，
．
故本题选：．
5．如图，四边形中，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【详解】解：设的外角度数为，则，
即，，．
故本题选：．
6．若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和的度数为　　
A． B． C． D．
【详解】解：正多边形的边数为：，即这个多边形是正八边形，
该多边形的内角和为．
故本题选：．
7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是　　
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
【详解】解：、，
此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，符合题意；
、，
此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，不合题意；
、，
此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，不合题意；
、，
此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，不合题意；
故本题选：．
8．如图，，，，的度数是　　

A． B． C． D．
【详解】解：如图，延长交于点，

，，
，
，
．
故本题选：．
9．如图，七边形中，、的延长线交于点，着、、、对应的邻补角和等于，则的度数为　　

A． B． C． D．
【详解】解：、、、的外角的角度和为，
，
，
五边形内角和，
，
．
故本题选：．
10．小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为
　　

A． B． C． D．
【详解】解：如图，

在五边形中：，
，，
．
故本题选：．
11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　　个五边形．

A．6 B．7 C．8 D．9
【详解】解：五边形的内角和为，
正五边形的每一个内角为，
如图，延长正五边形的两边相交于点，

则，，
已经有3个五边形，．
故本题选：．
12．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【详解】解：连接．

平分，平分，，
，
，
，
，，
，，
．
故本题选：．
13．如图，在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是　　

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【详解】解：为外角的平分线，平分，
，，
又是的外角，
，，故①正确；
，分别平分，，
，，

，故②、③错误，故④正确；
故本题选：．
二．填空题
14．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有9条对角线，则它的边数是　　．
【详解】解：从一个多边形的任何一个顶点出发都只有9条对角线，．
故本题答案为：12．
15．在中，与的平分线相交于点，若，则　　．

【详解】解：与的平分线相交于点，
，
在中，，
，
，
，
故本题答案为：70．
16．个小朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了　　次手．（用含的代数式表示）
【详解】解：个小朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了次．
故本题答案为：．
17．如图，小明从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了　　．

【详解】解：小明从点出发第一次回到点，他走的路线是正多边形，
正多边形的每个外角是，
正多边形的边数：，
小明走的路程：，
故本题答案为：72．
18．如图，在中，，，的平分线交于点，点是边上的一个动点，当是钝角三角形时，的取值范围是　　．

【详解】解：，，
，
平分，
，
，
当是钝角时，，
当是钝角时，，
，
，
，
综上，或．
故本题答案为：或．
三．解答题
19．如图，已知，，，求度数．

【详解】解：中，由三角形的外角性质知：
，即；①
同理：，
，，
，②
②代入①得：，即．
20．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌（简称镶嵌）．在生活中，我们运用镶嵌可以设计出美丽的图案．
（1）观察图①，我们发现：用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为　　；
（2）如图②，长方形的长为、宽为，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是　　；

（3）如图③，用3个边长为的正三角形和2个边长为的正方形，可以镶嵌成1个七边形，请你画出该七边形的示意图．
【详解】解：（1）用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为，
故本题答案为：360；
（2）如图，

长方形的长为、宽为，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是，
故本题答案为：12；
（3）七边形如图所示．

21．（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边、分别经过点、．中，，则　　，
　　．

（2）如图2，的位置不变，改变直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过、，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小．
【详解】解：（1），
，
，
，
故本题答案为：；；
（2）不变化，理由如下：
，
，
，
，



．
22．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：
如图（1），我们称它为“”型图案，易证明：．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求？
分析：图中是“”型图，于是，
所以　　；
（2）如图（3），“七角星”形，求的度数．

【详解】解：（1）如图，

由三角形外角的性质可得：，
，
，
，
，
故本题答案为：；
（2）如图，

由（1）得：，，
，
．

提升篇

23．某休闲广场的地面中间是1块正六边形地砖，周围是用正方形和正三角形地砖按如图方式依次向外铺设10圈而成，其中第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，则铺设该广场共用地砖　　块．

【详解】解：根据题意分析可得：正中间是1个正六边形，
第1圈包括6个正三角形，6个正方形，；
第1+2圈包括个正三角形，个正方形，
第1+2+3圈包括个正三角形，个正方形，
依此递推，第1+2+3+…+10圈包括个正三角形，个正方形，
铺设该广场共用地砖：（块．
故本题答案为661．
24．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形” 与中，，，求证：；
（2）【性质应用】
如图3，在中，点、分别是边、上的点，，若比大，求的度数．

【详解】（1）证明：由对顶三角形得：，
，
，，
，即；
（2）解：由题意得：，
由（1）得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
25．【原题重现】
如图1，、相交于点，求证：．某数学兴趣小组同学对此题展开了探究讨论．

【解法再探】
（1）课本利用“三角形内角和是”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，如图4所示思路框图：

完成框图填空：①　　，②　　，③　　；
【变式拓展】
（2）小慧同学把图1中线段与相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，、相交于点，、的角平分线交于点，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小明完成以下问题：
小明看到图2中有两个与相关的“8字形”，请你根据（1）的结论写出关于的两个关系式为：①　　；②　　；
小明进一步思考：设，，由，得，③，由①、③（或②、③联立、转化、整理可得结论：　　；
【发现生成】
（3）小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，、相交于点，，，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你写出解答；
（4）若把（3）中的“”都改为“”，则　　．（用含，的式子表示）
【详解】解：（1）根据图示得：①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；②；③；
故本题答案为：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，，；
（2）根据（1）中的结论得：①，②；
、的角平分线交于点，
，，
由①得：，
由③得：，
；
故本题答案为：①，②；；
（3）由“8字形”得：，，
，
；
（4）由“8字形”得：，，
，
，
故本题答案为：．
26．如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由．
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图（2），把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则　　．
②如图（3），平分，平分，若，，求的度数．
③如图（4），，的10等分线相交于点、、，若，，请直接写出的度数是 　　．

【详解】解：（1），理由如下：
过点、作直线，

由外角定理可得：，，
且，；
；
（2）①由（1）的结论得：，
，，
；
故本题答案为：50．
②由（1）的结论得：，
，，
，
平分，平分，
，，
，
；
③由（1）的结论递推得：，
设为，
，，
，
，
，，，
为，
故本题答案为：．
27．（问题背景）
，点、分别在、上运动（不与点重合）．

（问题思考）
（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，　　．
（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
①若，则　　．
②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，　　．（用含的代数式表示）
【详解】解：（1），
，
、分别是和角的平分线，
，，
，
，
故本题答案为：；
（2）①，，
，，
是的平分线，
，
平分，
，
，
故本题答案为：45；
②的度数不随、的移动而发生变化，理由如下：
设，
平分，
，
，
，
平分，
，
；
（3）设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
故本题答案为：．
28．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，．

（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式；
（3）如图2，若，判断，的位置关系，并说明理由．
【详解】解：（1）四边形的内角和为，
，
和是四边形的外角，
，，
；
（2），理由如下：
如图1，连接，

由（1）有，，
、分别平分四边形的外角和，
，，
，
在中，，
在中，，，
，
，
，
；
（3），理由如下：
如图2，过点作，则，

，
由（1）知，
，
，
又、分别平分和，
，
，
，
，
．
29．【情景引入】
（1）如图1，、分别是的内角、的平分线，说明的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，、分别是的两个外角、的平分线，与之间的等量关系是　　；
②如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，探究与之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．
①，则的度数为　　；
②，则的度数为　　．

【详解】解：（1）理由如下：
、分别是、的平分线，
，，
，
，，
，
；
（2）①，理由如下：
、分别是的两个外角、的平分线，
，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
故本题答案为：；
②，理由如下：
、分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
，
，
；
（3）①由（1）知：，
，
，
，
，
、分别平分、，
，
，
由（2）②知：，
，
故本题答案为：；
②由（2）②知：，
，
，
，
，
、分别平分、，
，，
，，
，
，，
，
，
，
由（1）知：，
，
故本题答案为：．