2023届高考物理二轮复习专题三第2讲磁场带电粒子在磁场中的运动学案

这是一份2023届高考物理二轮复习专题三第2讲磁场带电粒子在磁场中的运动学案，共59页。
第2讲　磁场　带电粒子在磁场中的运动


1.磁场的产生与叠加

2.安培力的分析与计算
方向
左手定则
大
小
直
导
线
F=ILBsin θ
θ=0时F=0,θ=90°时F=ILB
导
线
为
曲
线
时

等效为ac直线电流
受
力
分
析


根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程
二
级
结
论
同向电流相互吸引,反向电流相互排斥
3.灵活应用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的关系式
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式:R=mvqB。
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式:T=2πRv=2πmqB。

1.思想方法
(1)解题关键。
带电粒子在复合场中做什么运动,取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态的速度,因此带电粒子的运动情况和受力情况的分析是解题的关键。
(2)力学规律的选择。
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时,应根据平衡条件列方程求解。
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时,往往同时应用牛顿第二定律和受力分析列方程联立求解。
③当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时,应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
2.模型建构
电磁学中的曲线运动常用四种方法
利用运
动的合
成与分
解
(1)带电粒子以某一初速度垂直电场方向射入匀强电场中,只受静电力作用的运动。
(2)带电粒子在匀强电场及重力场中的匀变速曲线运动
利用动
能定理
解曲线
运动问
题
带电粒子在复合场中做变加速曲线运动,适合应用动能定理。带电粒子在复合场中做匀变速曲线运动也可以使用动能定理
利用牛
顿运动
定律解
圆周运
动问题
(1)核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动。
(2)带电粒子在垂直匀强磁场的平面中在磁场力作用下的运动。
(3)带电物体在各种外力(重力、弹力、摩擦力、静电力、磁场力等)作用下的圆周运动
利用几
何关系
解圆周
问题
带电粒子垂直射入匀强磁场,有以下几种情况:
(1)磁场的边界不同造成粒子轨迹圆与边界的几何问题。
(2)粒子射入磁场的速度不同造成粒子轨迹圆的半径不同。
(3)粒子射入磁场的方向不同造成粒子轨迹的旋转。
以上均涉及平面几何问题



高考考点
命题轨迹
考查内容
考查要求
磁场性质
磁场对电流的作用
2022全国甲卷T25
关键能力
综合性
2022全国乙卷T18
必备知识
基础性
2022湖北卷T11
关键能力
综合性
2021全国甲卷T16
必备知识
基础性
2021广东卷T5
必备知识
基础性
带电粒子在磁场中的运动
2022广东卷T7
必备知识
基础性
2021全国乙卷T16
必备知识
基础性
2021湖北卷T9
关键能力
综合性
带电粒子在有界磁场中
运动的临界、极值和多
解问题
2022湖南卷T13
关键能力
综合性
2022湖北卷T8
关键能力
综合性
2021全国甲卷T25
关键能力
综合性
2021广东卷T14
关键能力、核心价值
综合性
带电粒子在复合场
及交变场中的运动
2022广东卷T8
关键能力
综合性
2022山东卷T17
关键能力、核心价值
综合性
2022河北卷T14
关键能力
综合性
2022全国甲卷T18
关键能力
综合性

考点一　磁场性质　磁场对电流的作用

(2021·全国甲卷,16)两足够长直导线均折成直角,按图示方式放置在同一平面内,EO与O′Q在一条直线上,PO′与OF在一条直线上,两导线相互绝缘,通有相等的电流I,电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时,所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B,则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为(　B　)


A.B、0 B.0、2B C.2B、2B D.B、B
解析:根据安培定则可知,两根导线在M处产生的磁感应强度大小均为B,方向相反,叠加后磁感应强度大小为0;竖直方向的导线和水平方向的导线在N处产生的磁感应强度大小均为B,方向相同,叠加后磁感应强度大小为2B,B正确。
(2021·广东卷,5)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线,长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线。若中心直导线通入电流I1,四根平行直导线均通入电流I2,I1≫I2,电流方向如图所示。下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是(　C　)


解析:根据“同向电流相互吸引,异向电流相互排斥”的作用规律可知,左、右两导线与长管中心的长直导线相互吸引,上、下两导线与长管中心的长直导线相互排斥,C正确。

1.磁场性质分析的两点技巧
(1)判断电流的磁场要正确应用安培定则,明确大拇指、四指所指的方向及手掌的放法。
(2)分析磁场对电流的作用要做到“一明、一转、一分析”。即:

2.安培力作用下的平衡与运动问题的求解思路


1.(2022·山西临汾二模)已知通有电流I的长直导线外某点磁感应强度大小B=kIr,其中r为该点到导线的距离,k为常量。如图所示,在纸面内有一直角三角形AOC,∠C=30°,O、C两点间距离为d。在A点固定一垂直于纸面的长直通电导线,电流为I,方向垂直纸面向里。若在该区域再加一匀强磁场,使C点的磁感应强度为零,则所加匀强磁场的磁感应强度大小、方向分别为(　A　)

A.3kI2d,垂直于AC向上
B.3kI2d,平行于AC向上
C.3kId,垂直于AC向上
D.3kId,平行于AC向上
解析:根据几何关系,AC的长度为r=OCcos30°=23d,长直通电导线在C处产生的磁感应强度为B1=kIr=3kI2d,根据右手螺旋定则,方向垂直AC向下。在该区域再加一匀强磁场,使C点的磁感应强度为零,则所加匀强磁场的磁感应强度与B1等大反向,即大小为3kI2d,方向垂直于AC向上。故A正确。
2.(2022·江苏南通一模)如图所示,水平桌面上有一正三角形线框abc,线框由粗细相同的同种材料制成,边长为L,线框处在与桌面成60°斜向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,ac边与磁场垂直。现a、c两点接到直流电源上,流过ac边的电流为I,线框静止在桌面上,则线框受到的摩擦力大小为(　C　)

A.34ILB B.3ILB
C.334ILB D.2ILB
解析:根据题意可知,abc边的电流I′=I2,正三角形框架接入电路后,受安培力的等效长度为L,总电流I总=I+I′=3I2,所受安培力大小F=I总LBcos 30°=33ILB4,故选C。
考点二　带电粒子在磁场中的运动

(2022·广东卷,7)如图所示,一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域,两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场,并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中,可能正确的是(　A　)



解析:根据题述情境,质子垂直Oyz平面进入磁场,由左手定则可知,质子先向y轴正方向偏转穿过MNPQ平面,再向x轴正方向偏转,所以选项A可能正确,B错误;该轨迹在Oxz平面上的投影为一条平行于x轴的直线,选项C、D错误。
(2021·全国乙卷,16)如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则v1v2为(　B　)

A.12 B.33 C.32 D.3
解析:设磁场区域的半径为R,根据几何关系可知,带电粒子以v1射入磁场时,在磁场中运动的轨迹半径r1=R,带电粒子以v2射入磁场时,在磁场中运动的轨迹半径r2=Rtan 60°2=3R,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2r,可得r=mvqB,则r1=mv1qB,r2=mv2qB,解得v1v2=33,B正确。

1.对洛伦兹力的分析
(1)方向判断:左手定则→F垂直于B和v决定的平面。
(2)大小计算:F=qvBsin θ。
①v∥B时,洛伦兹力F=0(θ=0°或180°)。
②v⊥B时,洛伦兹力F=qvB(θ=90°)。
③v=0时,洛伦兹力F=0。
(3)动力学关系:带电粒子垂直进入匀强磁场时将做匀速圆周运动,向心力由洛伦兹力提供,洛伦兹力始终垂直于运动方向,它不做功。
2.分析带电粒子在有界磁场中运动的方法
基
本
思
路
(1)画轨迹:确定圆心,用几何方法求半径并画出轨迹。
(2)找联系:轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系,偏转角度与圆心角、运动时间相联系,在磁场中运动的时间与周期相联系。
(3)用规律:利用牛顿第二定律和圆周运动的规律,特别是周期公式和半径公式
基
本
公
式
qvB=mv2r
重
要
结
论
r=mvqB,T=2πmqB,T=2πrv
圆
心
的
确
定
(1)轨迹上的入射点和出射点的速度垂线的交点为圆心,如图甲。
(2)轨迹上入射点速度垂线和两点连线中垂线的交点为圆心,如图乙。
(3)沿半径方向距入射点距离等于r的点,如图丙。(r已知或可求)

半
径
的
确
定
方法一:由物理公式求。由于qvB=mv2r,所以半径r=mvqB。
方法二:由几何关系求。一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定
时
间
的
求
解
方法一:由圆心角求。t=θ2π·T。
方法二:由弧长求。t=sv
轨
迹
圆
的
几
个
基
本
特
点
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时,入射角等于出射角。(如图甲,θ1=θ2=θ3)
(2)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角。(如图甲,α1=α2)
(3)沿半径方向射入圆形磁场的粒子,出射时亦沿半径方向,如图乙。(两侧关于两圆心连线对称)


3.(2022·广东深圳二模)(多选)如图为地球赤道剖面图,地球半径为R,把地面上高度为R2区域内的地磁场视为磁感应强度为B、方向垂直于剖面的匀强磁场,一带电粒子以速度v正对地心射入该磁场区域,轨迹恰好与地面相切。则(　BD　)

A.粒子带正电荷
B.轨迹半径为5R8
C.粒子的比荷为vBR
D.若粒子速度减小,在该磁场区域的运动时间增加
解析:由左手定则可知,粒子带负电,选项A错误;由几何关系可知r2+(R+R2)2=(R+r)2,解得r=5R8,选项B正确;根据qvB=mv2r,解得qm=8v5BR,选项C错误;若粒子速度减小,则粒子的运动半径减小,但是粒子在磁场中运动的圆心角变大,因粒子的周期T=2πmqB,不变,则由t=θ2πT可知,在该磁场区域的运动时间增加,选项D正确。

4.(2022·广西南宁二模)如图,在底边长为L的等腰直角三角形MQN区域内,存在方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子(不计重力)以垂直于底边MN的速度v从底边中点P1射入磁场,粒子离开磁场的位置在直角边QN的中点P2,下列结论正确的是(　C　)

A.粒子带负电
B.粒子在磁场中运动的轨道半径R=L2
C.粒子的比荷qm=4vBL
D.粒子在磁场中运动的时间t=πL2v
解析:由题意可知,粒子从P1点进,从P2点出,则粒子向右偏转,根据左手定则可知,粒子带正电,故A错误;根据题意作出粒子的运动轨迹如图所示。

设粒子的轨道半径为R,则,OP1=OP2=R,底边MN=L,则根据几何关系可知P2N=24L,ON=12L-R,由题知,△MQN为等腰直角三角形,则∠QNM=45°,在△P2NO中,根据余弦定理有R2=(2L4)2+(L2-R)2-2×24L×(L2-R)cos 45°,解得R=L4;粒子在磁场中做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R,解得粒子的比荷qm=4vBL,故B错误,C正确;因半径R=L4,则由几何关系可得ON=L2-R=L4,故OP2=ON=R,且P2N=24L,所以∠P2ON=90°,故粒子在磁场中偏转的角度也为90°,则粒子在磁场中运动的时间为t=14T,又T=2πmBq,解得t=πL8v,故D错误。
考点三　带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值和多解问题

(2021·海南卷13)(多选)如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,3L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　ACD　)

A.粒子一定带正电
B.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为23qBLm
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为35L
解析:根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场,根据左手定则可知粒子带正电,A正确。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场,运动轨迹如图甲所示,粒子运动的半径为r=3Lcos60°=23L,洛伦兹力提供向心力,qvB=mv2r,解得粒子入射速率v=23qBLm;若α=45°,粒子运动轨迹如图乙所示,


根据几何关系可知,粒子离开磁场时与x轴不垂直,B错误,C正确。粒子离开磁场距离O点距离最远时,粒子在磁场中的轨迹为半圆,如图丙所示,根据几何关系可知(2r)2=(3L)2+xm2,解得xm=35L,D正确。

(2022·湖北卷,8)(多选)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从Р点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　BC　)

A.13kBL,0° B.12kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
解析:若离子通过下部分磁场直接到达P点,如图甲,根据几何关系则有R=L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R,可得v=qBLm=kBL,根据对称性可知,出射速度与SP成30°角向上,故出射方向与入射方向的夹角θ=60°。当离子上、下两部分均经历一次时,如图乙,


因为上、下两部分磁场的磁感应强度大小均为B,则根据对称性有R=12L,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R,可得v=qBL2m=12kBL,此时出射方向与入射方向相同,即θ=0°。通过以上分析可知,当离子从下部分磁场射出时,需满足v=qBL(2n-1)m=12n-1kBL(n=1,2,3,…),此时θ=60°;当离子从上部分磁场射出时,需满足v=qBL2nm=12nkBL(n=1,2,3,…),此时θ=0°。故可知B、C正确,A、D错误。

1.解答带电粒子在磁场中运动的临界极值问题的“二、二、四”技巧
两种思路
一是以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界状态时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值
两种
方法
物理
方法
(1)利用临界条件求极值。
(2)利用边界条件求极值。
(3)利用矢量图求极值
数学
方法
(1)用三角函数求极值。
(2)用一元二次方程的判别式求极值。
(3)用不等式的性质求极值。
(4)用图像法求极值
四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时,弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。
(4)在圆形匀强磁场中,若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨道对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)

2.常见带电粒子在磁场中运动的多解问题
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电,也可能带负电,粒子在磁场中的运动轨迹不同

磁场方向不确定
题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向,必须考虑磁感应强度方向有两种情况

临界状态不唯一
带电粒子在飞越有界磁场时,可能直接穿过去了,也可能从入射界面反向飞出

运动的
往复性
带电粒子在空间运动时,往往具有往复性


3.常见的四种运动类型
粒子发射速度特征
类型
归纳
粒子运动
特征
运动图例
同向异速发射
放
缩
圆
所有的轨迹圆过发射点,轨迹圆大小在变化,但圆心在同一直线上

等速异向发射
旋
转
圆
所有的轨迹圆过发射点,轨迹圆大小不变,但圆心在同一圆周上移动

同向等速发射
平
移
圆
粒子发射速度的大小和方向不变,但入射点沿一直线移动时,轨迹圆在平移,但圆心在同一直线上

等速平行发射
聚
焦
圆
粒子从圆形边界进入磁场,若区域圆的半径等于粒子运动轨迹圆半径,粒子将聚焦到同一点


5.(2020·全国Ⅰ卷,18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为 m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为(　C　)

A.7πm6qB B.5πm4qB C.4πm3qB D.3πm2qB
解析:带电粒子在匀强磁场中运动,运动轨迹如图所示,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2r,解得r=mvqB,运动时间t=θrv=θmqB,θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角,粒子在磁场中的运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法,粒子垂直ac射入磁场,则轨迹圆圆心必在直线ac上,将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大,当r≤0.5R(R为ab的半径)和r≥1.5R时,粒子从ac、bd区域射出磁场,运动时间等于半个周期。当0.5R