北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式精品同步达标检测题

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第6讲 确定二次的函数的表达式

目标导航

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
知识精讲

知识点
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
特别说明：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
【知识拓展1】已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x轴交于A、B两点。
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)求出抛物线的顶点C的坐标；
(3)判断点P(−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由。
【解析】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，
所以，解得：
∴二次函数的解析式为：y=−x2−2x+3，
(2) C(−1,4)，
(3) S△PAB=12×4×3=6.
【知识拓展2】已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______.
【答案】y=2x2+8x+11
【解析】设函数的解析式是：y=a(x+2)2+3，把(−1,5)，代入解析式得到a=2，
因而解析式是：y=2(x+2)2+3即y=2x2+8x+11.
【知识拓展3】抛物线y＝ax2＋bx＋c过(-3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达式为 ．
【答案】
【解析】采用待定系数法，将三点分别代入y＝ax2＋bx＋c中得：，解得
所以此抛物线的表达式为.
【知识拓展4】已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
（1）求该二次函数表达式；
（2）求y的最值；
【解析】（1）解法一：由于二次函数表达式为：y=ax2+bx+c，根据其表中信息，选取三点坐标代入构成方程组为：
，解得：a=1，b=-4，c=3.
所以该二次函数表达式为：y=x2-4x+3.
解法二：观察图表数据，可知当x=2时，y取最小值为-1，故x=2为该二次函数图象的对称轴，且（2，-1）为该抛物线的顶点，因此可根据顶点式设抛物线为y=a(x-2)2-1，然后将任意一个非顶点坐标（0，3）代入表达式中求得a=1，求得二次函数表达式y=(x-2)2-1
（2）y=x2-4x+3=(x-2)2-1,故当x=2时，y最小值为-1.
能力拓展

类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1．已知二次函数经过求二次函数的表达式．
【答案】y=-x2+2x+3
【分析】运用待定系数法求这个二次函数的表达式．
解：∵二次函数经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
设y=a（x+1）（x-3），
把（0，3）代入得3=-3a，
∴a=-1，
∴该二次函数的解析式是y=-x2+2x+3．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是将点坐标正确代入计算．
【变式1】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A (3，0)，B (﹣1，0)，求抛物线的解析式．
【答案】y＝﹣x2+2x+3
【分析】直接利用交点式写出抛物线解析式．
解：抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)(x+1)，
即y＝﹣x2+2x+3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
【变式2】已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
【分析】
（1）将三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到a，b，c的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论．
解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，得，解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式3】 如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）将，代入，用待定系数法求解即可；
（2）将点代入抛物线表达式即可求出的值．
解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数图像上点的坐标，掌握待定系数法求解是解题的关键．
类型二、待定系数法解题
2．一个二次函数的图像经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图像的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
【答案】（1）（1，﹣3）；（2）y＝x2﹣2x﹣2．
【分析】
（1）利用点A、B纵坐标相同求得顶点横坐标，利用最小值为﹣3求得顶点纵坐标，即可得到顶点坐标；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把A点和顶点坐标代入即可求出a的值，从而求得函数解析式．
解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图像的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，
即y＝x2﹣2x﹣2．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数图像上点的特征求出顶点坐标是解决本题的关键．
【变式1】如图，已知点O（0，0），A（1，2），抛物线（h为常数）与y轴的交点为B．

（1）经过点A，求它的解析式，并写出此时的对称轴及顶点坐标；
（2）设点B的纵坐标为，求的最大值，此时上有两点，，其中，比较与的大小．
【答案】（1）解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2，对称轴为直线：x=1，顶点坐标为：（1，2）；（2）y1＜y2．
【分析】
（1）把A（1，2）代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线l的对称轴及顶点坐标；
（2）根据坐标的特征求出yB，根据平方的非负性求出yB的最大值，根据二次函数的性质比较y1与y2的大小即可．
解：（1）把A（1，2）代入y=﹣（x﹣h）2+2，
得：﹣（1﹣h）2+2=2，
解得：h=1，
∴解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2，
∴对称轴为直线：x=1，顶点坐标为：（1，2）；
（2）∵抛物线l与y轴的交点为B，
∴点B的横坐标为0，则yB=﹣h2+2，
∴当h=0时，yB有最大值为2，
此时，抛物线为：y=﹣x2+2，对称轴为y轴，
当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴x1＞x2≥0时，y1＜y2．
【点拨】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；
（2）若抛物线不过第一象限，求的取值范围；
（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）≥1；（3）或
【分析】
（1）根据题意得出b＝2a，c＝1，把b＝2a，c＝﹣1代入a+b+c＝0，即可求得a＝1，b＝﹣2；
（2）根据题意抛物线开口向下，交于y轴的负半轴，即可得出a＜0，c＜0，c﹣a≤0，即可求得 ≥1；
（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即可求解．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴ ，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵抛物线过（0，1），
∴c＝1，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∵抛物线不过第一象限，
∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，
∴ ；
（3）∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（1，1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
∴当x＝﹣1时，对应的点到x轴的距离最大，
∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），
∴4＝a（﹣1﹣1）2+1或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，
解得：a＝，或a＝．
故a的值为或．
【点拨】本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等。．
【变式3】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

求抛物线的函数解析式；
抛物线的对称轴与轴交于点．点与点关于点对称，试问在该抛物线上是否存在点．使与全全等﹖若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或
【分析】
（1）将A，C两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，按照题意，分别求解即可．
解：（1）将点坐标代入函数解析式得，
将点的坐标代入，得 ，解得：，
故抛物线的解析式为；
（2）∵点与点关于点对称，
∴，
则在轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，
如图，当点在对称轴右侧时，要使与全等

则点于点关于轴的对称点，
即点，
当点 时， ，
∴点在抛物线上，
当点在对称轴左侧时，
点也满足与全等，
即点，
综上所述，点的坐标为或．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等，利用数形结合思想解答问题是解题的关键．
分层提分

题组A 基础过关练
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，当x=2时，y有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .
【答案】
【解析】因为当x=2时，y有最大值4，所以此抛物线的顶点坐标为（2,4），即可采用顶点式来求此抛物线的表达式，设此抛物线的表达式为，因为它过(1，2)点，所以，解得a=-2，则所求抛物线的表达式，即.

2.有一个二次函数，当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小；且当x=-1时，y=3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.
【解析】由题意根据抛物线的增减性可知其对称轴为x=-1，而当x=-1时，y=3，故可知二次函数的顶点坐标为（-1,3）,设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+3，又∵抛物线过点（2,0），
将其代入表达式中得：0=9a+3，即a=.∴该二次函数的表达式为：y=(x+1)2+3=x2-x+.
3.有一个二次函数，当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小；且当x=-1时，y=3，它的图象经过点（2，0），请用交点式求这个二次函数的表达式.
【解析】根据二次函数的增减性可知抛物线的对称轴为x=-1，
而抛物线过点（2,0），根据其图象对称性，可知抛物线过点（-4,0），
故可根据交点式设抛物线的表达式为y=a(x-2)(x+4).又∵抛物线过（-1,3），
∴3=a(-1-2)(-1+4).解得：a=.
∴该二次函数的表达式为：y=(x-2)(x+4)=x2-x+.
4. 抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .
【答案】.
【解析】采用一般式代入计算即可求出。
5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
【答案】
【解析】采用顶点式，代入计算即可。
6.如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0，3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解析】（1）设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4，把点E(0，3)代入得：a(0－1)2＋4＝3，解得，a＝－1，∴y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3；（2）存在．点E关于对称轴直线x＝1对称的对称点为E′(2，3)，设过E′F的直线表达式为y＝mx＋n，把E′、F两点坐标代入得，解得，所以直线E′F的表达式为y＝3x－3，把x＝1代入得，y＝0，因此点G的坐标为(1，0)；


题组B 能力提升练
1.由表格中的信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c,则下列y与x之间的函数表达式正确的（ ）
x
－1
0
1
ax2
1


ax2＋bx＋c

4
6
A. y＝x2－x＋4 B. y＝x2－x＋6
C. y＝x2＋x＋4 D. y＝x2＋x＋6
【答案】C
【解析】当x=－1时，(－1)2a=1,解得a=1；当x=0时，c=4；当x=1时，a+b+c=6,把a=1，c=4代入解得b=1；∴所求表达式为y＝x2＋x＋4.
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y=-2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数表达式为_______________.
【答案】y=-2x2+4x+6
【解析】根据题意a=-2，所以设所求抛物线表达式为y=-2（x-x1）（x-x2），∴所求表达式为y=-2（x+1）（x-3），化为一般式为：y=-2x2+4x+6．
3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为_______.

【答案】3
【解析】∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，-2），∴1−b+c＝0，1+b+c＝−2，解得b＝−1，c＝−2，∴抛物线的表达式为y=x2-x-2，对称轴为x=由函数的对称性可得C（2，0），∴AC=2-（-1）=3．
4.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y= –1.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】见解析
【解析】（1）设抛物线的解析式为：，把点（4，1）代入，得：，∴；
（2）联立，解得：，，∴A（1，），B（4，1）.
如图，作点A关于y= –1的对称点A′，易得A′的坐标为（1，-），连接A′B，交l于点P，则P是所求的点。
设A′B的解析式为：，其经过A′（1，-）和B（4，1）点，∴，解得：，∴，当y= –1时，，P点的坐标为（，-1）。

5.已知二次函数＝的图象经过A（0，3），B（－4，）两点．
（1）求，的值；
（2）二次函数＝的图象与轴是否存在公共点？若有求公共点的坐标；若没有，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）∵二次函数＝的图象经过A（0，3），B（－4，）两点，
∴
解得＝，＝3．
（2）由（1）知，＝，＝3．
∴该二次函数为＝．
在＝中，当＝0时，0＝，解得＝－2，＝8．
∴二次函数＝的图象与轴有两个公共点，分别为（－2，0），（8，0）．
6.如图，经过点A(0，-6)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B(-2，0)，C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；


【解析】（1）将A（0，-6），B（-2，0）代入y=x2+bx+c，得，解得，所以y=x2-2x-6，所以y=(x-2)2-8，所以D（2，-8）．
（2）根据题意可得：y1=(x-2+1)2-8+m，
∴P（1，-8+m）.
∵在抛物线中易得．
∴直线为，当时，，
∴，解得．
题组C 培优拔尖练
1.抛物线经过点A(1,0)，B（5,0）.
（1）求这个抛物线对应的函数表达式；
（2）记抛物线的顶点为C,设D为抛物线上一点，求使S=3S时点D的坐标.
【解析】(1)因为抛物线经过点A(1,0)，B（5,0），所以，解得，所以这个抛物线对应的函数表达式为.
(2)将配方得：，顶点坐标为（3，-2），即C（3，-2），则S==；所以S=，又因为S=，所以，即=6或=-6（舍去，因为此函数的顶点坐标为（3，-2），又因为开口向下，所以函数的最小值是-2，故舍去），，解得x=,故点D的坐标为（，6）或（，6）.
2.如图所示，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）
（1）求二次函数y=x2+bx+c的表达式；
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°点A、B的坐标分别为（1，0）,（4，0）BC=5,将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.

【解析】（1）将M（1，-2），N（-1，6）代入y=x2+bx+c中得故b=-4，c=1.
所以此二次函数的表达式为：y=x2-4x+1.
(2)在Rt△ABC中，因为BC=5，AC=3，所以AC=4,当点C落在抛物线上时,求此时C的坐标，也就是当纵坐标等于4,时，求其在轴正半轴上的横坐标，4=x2-4x+1,
解得：x=
所以△ABC平移的距离为：2+-1=1+。
3.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（-2，-4），与x轴交于A、B两点，且A（-6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC的面积。

【解析】（1）设此函数的表达式为y=a（x+h）2+k，
∵函数图象顶点为M（-2，-4），
∴y=a（x+2）2-4，
又∵函数图象经过点A（-6，0），
∴0=a（-6+2）2-4
解得a=，
∴此函数的表达式为y=（x+2）2-4，
即y=x2+x-3；
（2）∵点C是函数y=x2+x-3的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是（0，-3），
根据点A（-6，0）和对称轴为x=-2，由函数的对称性可得点B的坐标是（2，0），
则S△ABC=|AB|•|OC|=×8×3=12；
4.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，－3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

【解析】（1）设二次函数解析式为y＝a（x＋1）（x－3），
把点C（0，－3）代入，得：－3＝a（0＋1）（0－3），解得a＝1
∴二次函数解析式为y＝（x＋1）（x－3）＝x2－2x－3．
（2）①设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b，
将B（3，0），C（0，－3）代入，得，解得
∴直线BC的表达式为y＝x－3，
再设P点的坐标为（m，m2－2m－3），由于PH⊥x轴于点H，
∴M的坐标为（m，m－3）
∴PM＝（m－3）－（m2－2m－3）＝－m2＋3m
∵－1＜0，∴PM有最大值，
当m＝时，PM最大＝＝
②设P点的坐标为（x，x2－2x－3），则M的坐标为（x，x－3）
∴PM＝－x2＋3x
当PM＝PC时，－x2＋3x＝，解得x＝0或x＝2
由于x＝0不合题意，舍去，∴x＝2
此时，P点的坐标为（2，－3）；
当PM＝CM时，－x2＋3x＝，解得x＝0，x＝5，x＝1
由于x＝0，x＝5不合题意，舍去，∴ x＝1
此时，P点的坐标为（1，－4）
综上所述，满足条件的P点有两个，其坐标分别为（2，－3）或（1，－4）．

5.抛物线 经过点A(，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．



【解析】（1）∵抛物线经过A、B(0，3)
∴ ＝0
由上两式解得
∴抛物线的解析式为：


（2）设线段AB所在直线为：
∵线段AB所在直线经过点A(，0)、B(0，3)
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为 ∴CD＝CE－DE＝2
如上图所示，过点B作BF⊥l于点F ∴BF＝OE＝
∵BF＋AE ＝ OE＋AE ＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD ＋S△ACD＝CD·BF＋CD·AE
∴S△ABC＝CD(BF＋AE)＝×2×＝
6.在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【解析】（1）解：∵直线与轴、轴交于、．
∴（，0），（0，4）
∴（5，4）
（2）解：抛物线过（，）
∴．

∴
∴对称轴为．
（3）解：①当抛物线过点时．

，解得．
②当抛物线过点时．

，解得．
③当抛物线顶点在上时．

此时顶点为（1，4）
∴，解得．
∴综上所述或或．