专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

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专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如,或者为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题. 【经典例题1】数列中, ,,求数列的通项公式.【解析】取以为底的对数(不能取为底,因为,不能作为对数的底数),得到,,设,则有,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,. 【经典例题2】数列中,,,求数列的通项公式.【解析】取以为底的对数(这里知道为什么不能取为底数的对数了吧),得到,,设,则有,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,,. 【经典例题3】已知,点在函数的图像上,其中,求数列的通项公式.【解析】将代入函数得,,即两边同时取以3为底的对数,得(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为,,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以是以1为首项,2为公比的等比数列,即,,. 【经典例题4】在数列中, ,当时,有,求数列的通项公式.【解析】由,得,即,两边同取以3为底的对数,得,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,,即.  ◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为,利用成等比数列,以及叠加法求出.还有一小部分题型可转化为,利用成等比数列求出. 【经典例题1】已知数列满足,求数列的通项公式.【解析】由,故是以为首项,2为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加得:,所以. 【经典例题2】已知数列中,,,,求数列的通项公式。【解析】由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加,利用等比数列求和得:,.  【经典例题3】数列中,,,,求数列的通项公式。【解析】由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法,全部相加,利用等比数列求和得:,.  此方法可以解决大多数的,模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法. 【经典例题4】已知数列满足,,,求数列的通项公式.【解析】看到这道例题,当我们希望通过构造为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得,所以构造为首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,这就回到了熟悉的型.下面的操作就看你们的了. 【经典例题5】已知数列满足,,,求的通项公式.【解析】 通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得或,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造首项为,公比为的等比数列或构造为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.构造一: ,即,这就回到了熟悉的型,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.构造二: ,即 ,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即. 秒杀求法:类通项公式暴力秒杀求法对应的特征方程为:,设其两根为当时, 当时, 其中,的值的求法,用的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可【秒杀例题1】已知数列满足,,,求的通项公式.【解析】,对应的特征方程为:,解得两根为,,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即,解得,代入化简得. 【秒杀例题2】已知数列满足,,,求数列的通项公式.【解析】,对应的特征方程为:,解得两根为,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即解得,代入化简得. 【练习1】在数列中,,则_______.【答案】【解析】,, 即,数列是首项为1,公比为2的等比数列,, 由累加法可得,, 【练习2】设数列的前项和为.已知,且当时, .(1)求的值；(2)证明：为等比数列 ;(3)求数列的通项公式.【答案】【解析】当时,,即解得:;(2)证明:即, 数列是以为首项,公比为的等比数列;(3)由(2)知,是以为首项,公比为的等比数列,即,是以为首项,4为公差的等差数列,,即 数列的通项公式是 【练习3】数列满足.(1)设,证明是等差数列;(2)求的通项公式.【答案】【解析】(1)证明:,,又,数列是以1为首项、2为公差的等差数列,即数列是等差数列;(2)由(1)可知,, ,累加得,,数列的通项公式.  ◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数,若存在实数,使得,则称是函数的不动点.在几何上，曲线与曲线的交点的横坐标即为函数的不动点.一般地,数列的递推式可以由公式给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列,若其递推式为,且存在实数,使得,则称是数列的不动点。数列的不动点有什么性质呢? 若从某一项开始,数列的取值即为,也即,则 ,以此类推,根据数学归纳法, 可以得到当 时,,也即数列在之后“不动”了.这就为我们求数列的不动点提供一个思路,当数列达到不动点,之后的每一项都相等,所以在给定等式中,令数列当中的每一项都等于,最后解方程即可.接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围.所谓分式递推数列是指以下类型：若数列满足,其中,,,是给定的实数,求数列的通项公式。这时候要求它的不动点,考虑方程,得到了一个二次方程,我们从几个例子出发：【经典例题1】设数列满足,求数列的通项公式。【解析】根据数列不动点得性质,令,方程,故1是数列的不动点,尝试在递推式两边同时减去1,得到.注意到左右两边分别出现了和这样相似的结构,并且都是在分母,我们可以尝试构造新数列,当然也可以直接变形：也即,因此数列是首项为1,公差为的等差数列,累加得 ,因此. 【经典例题2】设数列满足,求数列的通项公式。【解析】根据数列不动点得性质,令,同样地,考虑方程,这时候数列有两个不动点1和2,分别在递推式两边減去1和2后,可以得到：.两式相除得,因此数列是首项为2,公比为的等比数列,累乘得 ,因此. 【经典例题3】已知,且,求的通项公式.【解析】考虑方程,故1和是数列的不动点,根据上面的思路,尝试在递推式两边同时减去1和,分别得到：.两式相除得,因此数列是首项为,公比为的等比数列,累乘得 ,因此. 【经典例题4】数列满足,求的通项公式【解析】首先对等式进行一定的变形,等式两边同除,得,等式右侧上下同除,使两侧结构相同,,令,则,考虑方程,故是数列的不动点,在递推式两边同时减去,得到：.所以数列是以为首项,为公差的等差数列, 即,,,得到. 【经典例题5】设数列满足,求数列的通项公式。【解析】事实上,,这不同于上面的类型，但是否可以用同样的方法处理呢?同样尝试求它的不动点:,因此1和是数列的两个不动点,变形得到：两式相除得,又 ,迭代得到由此解得数列的通项公式 .由此看来,对于比较复杂的分式型递推数列，也可以通过减去不动点来进行代数变形，从而使等式的两边出现类似的结构,更易于处理。  总结:形如的递推数列,首先令,解出数列的不动点.处理时也可以分两种情况:(1)若其有一个不动点,则是等差数列;(2)若其有两个不动点,则是等比数列。                【过关检测】 一、单选题1．已知数列的前项和为，，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，则数列也是等比数列，公比为，首项为3．所以．故选：A．2．在数列中，，，则的值为(       )A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】∵，，∴，解得.∵，∴，两式相减得，，∴，∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列，∴，两边同除以，则，∴是以为公差，为首项的等差数列，∴，∴，∴.故选：A.3．已知数列满足：，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，所以．故选：C．4．已知数列满足，且，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，若，则，与题中条件矛盾，故，所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故选：A．5．已知数列满足，且，，其前n项和为，若对任意的正整数n，恒成立，则m的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，数列是以为首项，2为公比的等比数列，，当时，，，，，将以上各式累加得，，当时，也满足，，由，得，，即，，．故m的取值范围是．故选：C．6．已知数列，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，根据递推公式可得出，，，进而可知，对任意的，，在等式两边取对数可得，令，则，可得，则，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，，即.故选：B.7．已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则（       ）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【解析】由题设，，，故是首项为4，公差为2的等差数列，则，则，所以，故，又，当时，当时，所以2021.故选：D 二、填空题8．在数列中，，，且满足，则___________.【答案】【解析】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以所以故答案为：9．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.【答案】【解析】解：由,得，则，由得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，故答案为：.10．设正项数列满足，，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】原式两边同时取对数，得，即．设，则，又，所以是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，所以，所以．故答案为：.11．在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．【答案】##【解析】解：由，得．又，，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，因为符合上式，所以.故答案为：12．已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.【答案】【解析】因为，所以，因此，因为，，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以当时，，，，，，以上各式累加可得：，因为，所以；又符合上式，所以.故答案为：.13．数列满足，则_______.【答案】.【解析】因为，所以，所以数列是常数列，令，则，且，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，则，所以，又因为，则，所以，因此，所以，故答案为：.三、解答题14．已知是数列的前项，.(1)设，求数列与的通项公式.(2)证明：.【答案】(1)，(2)证明见解析【解析】(1)当时，，，即，，，由条件知，是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，，，，是以为首项，以为公差的等差数列，所以，，即.(2)由（1）得，，，两式相减得，，，解得，所以，.