专题03 累加法累乘法求数列通项-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

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专题03 累加法累乘法求数列通项【必备知识点】◆累加法若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法.具体步骤：将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=整理得：= 【经典例题1】已知数列满足，对任意的都有，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得：，，，，…，，各式作和得：，，.故选：C. 【经典例题2】已知数列满足，，则（       ）A．30 B．31 C．22 D．23【答案】B【解析】因为数列满足，，所以，，，，所以，所以，故选：B 【经典例题3】已知数列满足，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴.故选：C. 【练习1】已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：由.得，又，可得所以，，，……，，将上式相加得，故选：A. 【练习2】已知数列满足则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为所以累加得：，所以.故选：D 【练习3】已知数列满足则求___________【答案】【解析】∵∴∴,,,…，将以上99个式子都加起来可得，.故答案为：. 【练习4】数列中，，则__________.【答案】##【解析】因为，所以，则当时， ，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.所以故答案为：. 【练习5】已知数列满足，且，若，n为正整数，则数列的前n项和__________．【答案】【解析】由题意，所以，．故答案为：． 【练习6】若数列是等比数列，且，，，则________．【答案】【解析】解：数列是等比数列，且，，，数列的公比，，所以．故答案为：．  ◆累乘法若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：整理得： 【经典例题1】已知，，则数列的通项公式是（       ）A． B． C． D．n【答案】D【解析】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D． 【经典例题2】若数列满足，则（       ）A．2 B．6 C．12 D．20【答案】D【解析】由得，，.故选：D 【经典例题3】设是首项为的正项数列，且（），则它的通项公式是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，,又，，即，，即，又，，，故选：B． 【经典例题4】已知数列满足，且，则(     )A． B． C． D．【答案】D【解析】数列满足，且，∴，，∴，，，，累乘可得：，可得：．故选：D﹒ 【练习1】若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（       ）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】A【解析】解：由，得，所以因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28.故选：A 【练习2】已知数列满足，(，)，则数列的通项（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：． 【练习3】数列满足：，，则的通项公式为_____________.【答案】【解析】由得，，则，即，又，所以.故答案为：. 【练习4】已知数列，满足，，，的前n项和为，前n项积为．则______．【答案】【解析】因为，，故，依次有根据可得，故.由可得，从而，故，故答案为：. 【练习5】在数列中，，，则数列的通项公式___________.【答案】【解析】因为，，所以，所以当时，，所以（）当，满足上式，所以.故答案为： 【练习6】已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则________．【答案】【解析】因为，所以时，，即，化简得，又，所以，检验时也成立，所以，所以，故答案为：.   【过关检测】 一、单选题1．数列满足，且对任意的都有，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知，令可得，则时，，，，将以上式子累加可得，则，时也符合，则，，则.故选：A.2．已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，因为，所以，所以，，，……，，所以，因为，所以，故选：B3．已知数列满足，则（       ）A．511 B．255 C．256 D．502【答案】D【解析】由题设，，，，…， 且，所以，又，则，故，显然也满足.所以.故选：D4．已知，则（       ）A．504 B．1008 C．2016 D．4032【答案】D【解析】由可得：，故 ，故选：D.5．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（        ）A．             B． C．  D．【答案】A【解析】解：由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：A．6．已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（       ）A．16 B．128 C．32 D．64【答案】D【解析】，当时，．故选：D．7．已知数列满足，，则数列的通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．二、填空题8．已知数列满足，，则______．【答案】63【解析】由题设，，所以，又，所以.故答案为：.9．设数列满足，，则___________．【答案】【解析】由可得，，以上各式相加可得，所以时也满足故答案为：10．已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.【答案】【解析】由题意可知，满足，当时，，，以上各式累加得，.，当时，也满足上式，∴，则.∴数列的前n项和为，∴.故答案为：.11．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.【答案】n【解析】解：∵，∴当时，，当时，成立，∴，当时，，当时，满足上式，∴.故答案为：n12．已知数列满足：，，则______【答案】【解析】因为，所以，两式相减可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案为：13．已知数列中，，则数列的通项公式________.【答案】【解析】由得，以上式子相乘得，又，又符合故答案为：.三、解答题14．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，，即，则，当时，，满足，综上所述，当时，.(2)因为，所以，则.15．已知数列满足：为等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)由，故的公差为，，，当时，满足，故对；(2)证明：，故，故.16．（1）已知数列是正项数列，，且．求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，．求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）由，得，对任意的，，则，则，所以，数列是公比为的等比数列，，；（2）由，得：，又，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，得，当时，，，，，累加得，，则，也满足，故对任意的，.17．已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求的通项公式；【答案】证明见解析，【解析】解：因为，所以，又，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，当时，，而也满足，所以；18．设为数列的前项和，已知，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若等差数列的前项和等于，求数列的前项和.【答案】(1)(2)当n为奇数时，；当n为偶数时，.【解析】(1)因为…①所以当时，…②①-②可得：，整理可得则所以，所以当时易知时上式也成立，所以数列的通项公式为(2)记等差数列的公差为d，由题可得，即所以，解得，所以所以所以当n为奇数时，；当n为偶数时，.