高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算优秀课件ppt

[对应学生用书P89]

1．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有(　　)

A．(a·b)c－(c·a)b＝0

B．|a|＝

C.a2b＝b2a

D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2

BD　[由于数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质知B正确；C中，|a|2b＝|b|2a一定不成立；D运算正确．]

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，则·AD1等于(　　)

A．0　　　   B．1　　　   C．　　　   D．－1

3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)

A．6     B．6

C．12     D．144

C　[因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.

所以||＝12.]

4．(多选题)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列四个命题中，正确的是(　　)

AB　

故A正确；

故B正确；夹角的补角，而与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为

故D错误．综上可知，A，B正确．]

5．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)

A．钝角三角形     B．锐角三角形

C．直角三角形     D．不确定

B　[·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0，同理，可证·＞0，·＞0.所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形．]

6．(多空题)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|－|＝________，与的夹角为________．

　90°　[＝，·＝2×2×cos  60°＝2，

故|－|2＝＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3.故|－|＝.

又因为＝＝(－)，故·＝·(－)＝(·－·)＝0，0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝90°.]

7．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

90°　[不妨设棱长为2，

＝0，

故填90°.]

8．如图，在60°的二面角α­l­β的棱上有两点A，B，点C，D分别在α，β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．

　[由条件知＝＋＋，且〈，〉＝120°，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋12＋0＋0＋2×1×1×cos  120°＝2，所以||＝.]

9．已知a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求向量a与b的夹角．

解　由题意得

即两式相减得46a·b－23b2＝0，

∴b2＝2a·b，代入7a2＋16a·b－15b2＝0，得a2＝2a·b，

∴a2＝b2＝2a·b.

设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.

∵0°≤θ≤180°，

∴向量a与b的夹角为60°.

10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围为(　　)

A．[0，1]    B．[1，2]    C．[0，3]    D．[1，3]

C　[∵|p|2＝(＋＋)2＝3＋2(＋＋)≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.]

11.如图，在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么(　　)

A．·<·

B．·＝·

C．·>·

D．·与·不能比较大小

C　[∵·＝(＋)·(－)

＝(||2－||2)＝0，

·＝(＋)·

＝·(－)＋·

＝||·||·cos 120°－||·||cos 120°＋||·||cos 120°<0，∴·>·.]

12．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．

　[由已知得·＝·＝·＝0，且＝，故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝(1＋4＋9)＝.]

13．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为.

(1)设侧棱长为1，

求证：AB1⊥BC1；

(2) 求侧棱的长．

∵△ABC为正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.

＝2，即侧棱长为2.