高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优质ppt课件

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[对应学生用书P98]1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．C　[因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cos 〈s1，s2〉＝＝＝－.又两直线夹角的取值范围为，所以l1和l2夹角的余弦值为.]2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A．     B．C．     D．A　[设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　)A．    B．    C．    D．B　[建系如图，设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1，1，1).设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，设A1B1与平面A1EF的夹角为θ，即所求线面角的正弦值为.]4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)A．45°     B．60°C．90°     D．120°B　[以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1).∴cos θ＝＝.∴EF和BC1所成角为60°.]5．(多选题)(2019·辽宁丹东高二期末)正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为BC　[取A1C1中点E，AC中点F，A1B1中点K，并连接EF，EB1，C1K，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB＝2，则AA1＝2.∴A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0).∴＝(0，2，－2).底面ABC的其中一个法向量为m＝(0，0，2)，∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为＝＝＝，∴A错B对．∵A1B1的中点K的坐标为(，－，0)，∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为KC1＝，∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为|＝＝，故C对D错．故选B、C.]6．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　)A．AC⊥BDB．AB与CD所成的角为60°C．△ADC为等边三角形D．AB与平面BCD所成的角为60°ABC　[A中，如图取BD中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确．B中，如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)，D(0，a，0)，故＝(－a，－a，0)，＝(0，a，－a)，由两向量夹角公式得cos 〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为，故B正确．C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a解得AC＝AO＝a，所以三角形ADC为等边三角形，故C正确．D中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误．]7．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为时，AE等于(　　)A．1    B．    C．2－    D．2－ D　[以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AE＝m.有D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(1，m，0)，C(0，2，0)，可取平面ABCD的一个法向量n1＝(0，0，1)，设平面PEC的一个法向量为n2＝(a，b，c)，则又＝(0，2，－1)，＝(1，m－2，0)，∴∴令b＝1得n2＝(2－m，1，2).|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝＝.∴m＝2－或m＝2＋(舍去).即AE＝2－.]8．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．　[依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，∴＝，＝，∴cos 〈，〉＝＝，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.] 9．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________. 　[建立坐标系如图，则B(1，1，0)，O，＝(1，0，1)是平面ABC1D1的一个法向量．又＝，∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝.]10．(多空题)已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于________，平面AEF与平面ABC的夹角的正切值等于________．　　[如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，F，所以＝，＝(－1，1，0)，＝，所以异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于.平面ABC的一个法向量为n1＝(0，0，1)，设平面AEF的一个法向量为n2＝(x，y，z).则即取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1，3).所以cos 〈n1，n2〉＝＝.所以平面AEF与平面ABC的夹角α满足cos  α＝，sin α＝，所以tan α＝.]11．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　)A．     B．C．     D． D　[设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D.∴＝，且为平面BDF的一个法向量．由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，).∴cos 〈n，〉＝，sin 〈n，〉＝.∴tan 〈n，〉＝.]12．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　)A．1       B．        C．       D．C　[不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos 〈，〉|＝＝＝，解得λ＝.]13．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则平面ACD与平面BCD的夹角为________.60°或120°　[取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB＝，且〈，〉为平面ACD与平面BCD的夹角(或其补角)，由2＝(＋＋)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈，〉，∴cos 〈，〉＝－.∴〈，〉＝120°.平面ACD与平面BCD的夹角为60°或120°.]14．如图，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝60°，CD＝2，AB＝4，点E为AB的中点，现将该梯形中的三角形EBC沿线段EC折起，形成四棱锥B­AECD.(1)在四棱锥B­AECD中，求证：AD⊥BD；(2)若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120°，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值． (1)证明　由三角形BEC沿线段EC折起前，∠ABC＝60°，CD＝2，AB＝4，点E为AB的中点，得三角形BEC沿线段EC折起后，四边形AECD为菱形，边长为2，∠DAE＝60°，如图，取EC的中点F，连接DF，BF，DE.∵△BEC和△DEC均为正三角形，∴EC⊥BF，EC⊥DF.又BF∩DF＝F，BF，DF⊂平面BFD，∴EC⊥平面BFD.∵AD∥EC，∴AD⊥平面BFD.∵BD⊂平面BFD，∴AD⊥BD.(2)解　以F为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC⊥平面BFD知，z轴在平面BFD内．∵BF⊥EC，DF⊥EC，∴∠BFD为平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角，∴∠BFD＝120°，∴∠BFz＝30°.易知BF＝，∴点B的横坐标为－，点B的竖坐标为.则D(，0，0)，E(0，1，0)，A(，2，0)，B，故＝(－，－1，0)，＝，＝(0，－2，0).设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴得令x＝1，得y＝0，z＝，∴平面ABD的一个法向量为n＝(1，0，)，∴cos 〈，n〉＝＝＝－.∵直线AE与平面ABD所成角为锐角，∴直线AE与平面ABD所成角的正弦值为.15．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0).(1)求证： CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．(1)证明　如图所示，取CD中点E，连接BE.∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又BE∥AD，∴CD⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面ADD1A1，∴CD⊥平面ADD1A1.(2)解　以D为坐标原点，，，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，取y＝2，可得平面AB1C的一个法向量为n＝(3，2，－6k).设AA1与平面AB1C所成角为θ，，解得k＝1或k＝－1(舍去).故k的值为1.