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高中数学3.2 函数的基本性质精品第2课时教案
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这是一份高中数学3.2 函数的基本性质精品第2课时教案，共10页。教案主要包含了素养目标，通法提炼，变式训练1，变式训练2，变式训练3，变式训练4等内容，欢迎下载使用。
第三章函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
【素养目标】
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；
2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．
【重点】
利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．
【难点】
运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题．
第二课时函数奇偶性的应用
要点整合夯基础
基础知识
知识点一函数奇偶性的性质
1．奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝_0_或__-1_(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝__0__或__1__(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有_________，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么_____.
思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？
提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．
思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？
提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点二函数奇偶性与单调性的联系
由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用
思考3：设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是__________.
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
典例讲练破题型
题型探究
类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式
【例1】(1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2015，则f(－3)＝________.
(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
【解析】(1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．
又g(3)＝f(3)－3＝2015－3＝2012，
所以g(－3)＝－g(3)，
即f(－3)－3＝－2012，解得f(－3)＝－2009.
法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2015＝－2009.
(2)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.
又f(x)是奇函数，且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
∴
【通法提炼】
(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f(x)与f(－x)的关系求f(x).
(2)本题中是求x∈R时的函数解析式，不要忘记x＝0的特殊情况.
【变式训练1】(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( B )
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则x<0时，f(x)＝______.
【解析】(1)∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②
由①＋②得g(1)＝3，故选B.
(2)设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用
命题视角1：比较大小
【例2】若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则与的大小关系是( C )
A． B．
C． D．
【解析】因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以.
【通法提炼】
奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.
【变式训练2】已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( D )
A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
【解析】
由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图象的对称轴为x＝8.
不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)f(10)．故选D.
命题视角2：解不等式
【例3】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)
【通法提炼】
解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)
A. B.
C. D.
【解析】因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象(如图)由f(2x－1)<得－<2x－1<.解得.
命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用
【例4】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)成立．
(1)求f(1)的值．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
(3)若f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x＋1)＋f(－6)≤3.
【解析】(1)令x1＝x2＝1得，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，则f(－1)＝0，
令x1＝－1，x2＝x，∴f(－x)＝f(x)，
又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数．
(3)∵f(4)＝1，又f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴f(16)＋f(4)＝f(16×4)＝f(64)，
∴f(64)＝f(4)＋f(4)＋f(4)，∴f(64)＝3.
∴f(3x＋1)＋f(－6)≤3等价于f(－6(3x＋1))≤3，
∴f(|－6(3x＋1)|)≤f(64)，∴
解得x∈.
【通法提炼】
对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f(x)与f(－x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.
【变式训练4】已知定义在(－1,1)上的奇函数是增函数，且.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
【解析】(1)因为是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0.
又因为，则.
所以.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0
1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是( C )
A．b
又∵，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴，即a
A．3x－1 B．3x＋1
C．－3x－1 D．－3x＋1
【解析】设x>0，则－x<0.
∴f(－x)＝－3x－1.
又∵f(x)是偶函数，
∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.
3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( D )
A．f(0)f(3)
C．f(2)>f(0) D．f(－1)
∴f(－1)＝f(1)．
又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)．
4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是_____________．
【解析】∵f(a－1)＋f(1)>0，
∴f(a－1)>－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴f(a－1)>f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.
5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．
【解析】∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，
∴f(3a－10)<－f(4－2a)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，
∴f(3a－10)
故a的取值范围为(6，＋∞)．
课时作业
A组素养自测
1．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( A )
A．－2 B．0
C．1 D．2
【解析】因为x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.
又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A．
2．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( A )
A．4 B．0
C．2m D．－m＋4
【解析】由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·55＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.
所以f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．
3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于( A )
A．x＋x4 B．－x－x4
C．－x＋x4 D．x－x4
【解析】当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)．
则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，x∈(0，＋∞)．
从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝x＋x4.故选A．
4．偶函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则有( A )
A．f(－π)>f>f(－1)
B．f>f(－1)>f(－π)
C．f(－π)>f(－1)>f
D．f(－1)>f(－π)>f
【解析】由题意，得f(－π)＝f(π)，f(－1)＝f(1)．又函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且1<<π，所以f(1)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
【解析】由f(x)是偶函数，得f(x)的图象关于y轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B．
6．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式的解集为( B )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
【解析】∵f(x)为偶函数，∴，∴xf(x)>0，∴或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．故选B．
7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为f(x)＝x＋2.
【解析】由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝－.
【解析】∵x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，
∴f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m，
又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，
由f(2)＝3f(－1)知，5＋2m＝－6－3m，∴m＝－.
9．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是[－3，－2)∪(2,3]．
【解析】∵函数f(x)为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f(x)在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．
10．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)求f(－1)的值；
(2)求当x<0时函数的解析式；
(3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
【解析】(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1.
(2)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－1.
又因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝－1＝－－1.
(3)证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0
所以f(x2)－f(x1)<0.
所以f(x1)>f(x2)．
因此f(x)＝－1在(0，＋∞)上是减函数．
11．已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
【解析】(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，
∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明：设0
＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0，
即f(x2)－f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)
(3)由(1)知f(x)是偶函数，
则有f＝f，
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
则f>f.∴f>f.
B组素养提升
12．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是( A )
①3个交点的横坐标之和为0；②3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；③f(0)＝0；④f(0)的值与函数解析式有关．
A．①③ B．①④
C．②④ D．②③
【解析】由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0,0)是函数与x轴的交点，则(－x0,0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而①③正确．
13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( B )
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
【解析】由已知，可得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(2＋3.5)＝－[－f(3.5)]＝f(3.5)＝f(2＋1.5)＝－f(1.5)＝－f(2－0.5)＝－[－f(－0.5)]＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
14．奇函数f(x)满足：①f(x)在(0，＋∞)内单调递增；②f(1)＝0.则不等式x·f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【解析】∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数，f(1)＝0.
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(－1)＝0.
当x>0时，f(x)>0
即f(x)>f(1)，∴x>1，
当x<0时，f(x)<0，
即f(x)
15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示．
(1)写出函数f(x)，x∈R的增区间；
(2)求函数f(x)，x∈R的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2，x∈[1,2]，求函数g(x)的最小值．
【解析】(1)f(x)的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)设x>0，则－x<0，
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
∴f(x)＝
(3)由(2)知g(x)＝x2－(2＋2a)x＋2，x∈[1,2]，其图象的对称轴为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(x)min＝g(1)＝1－2a；
当1
综上，g(x)min＝
课堂小结
本课堂需掌握的三个问题：
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
第三章函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
【素养目标】
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；
2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．
【重点】
利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．
【难点】
运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题．
第二课时函数奇偶性的应用
要点整合夯基础
基础知识
知识点一函数奇偶性的性质
1．奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝_0_或__-1_(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝__0__或__1__(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有_________，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么_____.
思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？
提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．
思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？
提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点二函数奇偶性与单调性的联系
由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用
思考3：设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是__________.
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
典例讲练破题型
题型探究
类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式
【例1】(1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2015，则f(－3)＝________.
(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
【解析】(1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．
又g(3)＝f(3)－3＝2015－3＝2012，
所以g(－3)＝－g(3)，
即f(－3)－3＝－2012，解得f(－3)＝－2009.
法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2015＝－2009.
(2)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.
又f(x)是奇函数，且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
∴
【通法提炼】
(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f(x)与f(－x)的关系求f(x).
(2)本题中是求x∈R时的函数解析式，不要忘记x＝0的特殊情况.
【变式训练1】(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( B )
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则x<0时，f(x)＝______.
【解析】(1)∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②
由①＋②得g(1)＝3，故选B.
(2)设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用
命题视角1：比较大小
【例2】若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则与的大小关系是( C )
A． B．
C． D．
【解析】因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以.
【通法提炼】
奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.
【变式训练2】已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( D )
A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
【解析】
由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图象的对称轴为x＝8.
不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)
命题视角2：解不等式
【例3】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)
【通法提炼】
解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)
A. B.
C. D.
【解析】因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象(如图)由f(2x－1)<得－<2x－1<.解得.
命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用
【例4】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)成立．
(1)求f(1)的值．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
(3)若f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x＋1)＋f(－6)≤3.
【解析】(1)令x1＝x2＝1得，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，则f(－1)＝0，
令x1＝－1，x2＝x，∴f(－x)＝f(x)，
又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数．
(3)∵f(4)＝1，又f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴f(16)＋f(4)＝f(16×4)＝f(64)，
∴f(64)＝f(4)＋f(4)＋f(4)，∴f(64)＝3.
∴f(3x＋1)＋f(－6)≤3等价于f(－6(3x＋1))≤3，
∴f(|－6(3x＋1)|)≤f(64)，∴
解得x∈.
【通法提炼】
对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f(x)与f(－x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.
【变式训练4】已知定义在(－1,1)上的奇函数是增函数，且.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
【解析】(1)因为是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0.
又因为，则.
所以.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0
1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是( C )
A．b
又∵，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴，即a
A．3x－1 B．3x＋1
C．－3x－1 D．－3x＋1
【解析】设x>0，则－x<0.
∴f(－x)＝－3x－1.
又∵f(x)是偶函数，
∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.
3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( D )
A．f(0)
C．f(2)>f(0) D．f(－1)
∴f(－1)＝f(1)．
又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)．
4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是_____________．
【解析】∵f(a－1)＋f(1)>0，
∴f(a－1)>－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴f(a－1)>f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.
5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．
【解析】∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，
∴f(3a－10)<－f(4－2a)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，
∴f(3a－10)
故a的取值范围为(6，＋∞)．
课时作业
A组素养自测
1．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( A )
A．－2 B．0
C．1 D．2
【解析】因为x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.
又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A．
2．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( A )
A．4 B．0
C．2m D．－m＋4
【解析】由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·55＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.
所以f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．
3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于( A )
A．x＋x4 B．－x－x4
C．－x＋x4 D．x－x4
【解析】当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)．
则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，x∈(0，＋∞)．
从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝x＋x4.故选A．
4．偶函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则有( A )
A．f(－π)>f>f(－1)
B．f>f(－1)>f(－π)
C．f(－π)>f(－1)>f
D．f(－1)>f(－π)>f
【解析】由题意，得f(－π)＝f(π)，f(－1)＝f(1)．又函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且1<<π，所以f(1)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
【解析】由f(x)是偶函数，得f(x)的图象关于y轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B．
6．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式的解集为( B )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
【解析】∵f(x)为偶函数，∴，∴xf(x)>0，∴或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．故选B．
7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为f(x)＝x＋2.
【解析】由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝－.
【解析】∵x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，
∴f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m，
又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，
由f(2)＝3f(－1)知，5＋2m＝－6－3m，∴m＝－.
9．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是[－3，－2)∪(2,3]．
【解析】∵函数f(x)为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f(x)在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．
10．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)求f(－1)的值；
(2)求当x<0时函数的解析式；
(3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
【解析】(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1.
(2)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－1.
又因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝－1＝－－1.
(3)证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0
所以f(x2)－f(x1)<0.
所以f(x1)>f(x2)．
因此f(x)＝－1在(0，＋∞)上是减函数．
11．已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
【解析】(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，
∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明：设0
＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0，
即f(x2)－f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)
(3)由(1)知f(x)是偶函数，
则有f＝f，
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
则f>f.∴f>f.
B组素养提升
12．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是( A )
①3个交点的横坐标之和为0；②3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；③f(0)＝0；④f(0)的值与函数解析式有关．
A．①③ B．①④
C．②④ D．②③
【解析】由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0,0)是函数与x轴的交点，则(－x0,0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而①③正确．
13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( B )
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
【解析】由已知，可得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(2＋3.5)＝－[－f(3.5)]＝f(3.5)＝f(2＋1.5)＝－f(1.5)＝－f(2－0.5)＝－[－f(－0.5)]＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
14．奇函数f(x)满足：①f(x)在(0，＋∞)内单调递增；②f(1)＝0.则不等式x·f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【解析】∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数，f(1)＝0.
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(－1)＝0.
当x>0时，f(x)>0
即f(x)>f(1)，∴x>1，
当x<0时，f(x)<0，
即f(x)
15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示．
(1)写出函数f(x)，x∈R的增区间；
(2)求函数f(x)，x∈R的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2，x∈[1,2]，求函数g(x)的最小值．
【解析】(1)f(x)的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)设x>0，则－x<0，
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
∴f(x)＝
(3)由(2)知g(x)＝x2－(2＋2a)x＋2，x∈[1,2]，其图象的对称轴为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(x)min＝g(1)＝1－2a；
当1
综上，g(x)min＝
课堂小结
本课堂需掌握的三个问题：
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
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