题型05 数列（真题回顾+押题预测）-【考前突围密训】最新高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测05  数列

  数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．　　 　

(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．

②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．　　　　　　　　　　　　　

(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．

②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(4)前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．

2.常用结论：

已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．

(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.

(2)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.

若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．

“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

常用结论

4．记住等比数列的几个常用结论

(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。

一．选择题（共4小题）

1．（2021•北京）已知{an}是各项为整数的递增数列，且a1≥3，若a1+a2+a3+…+an＝100，则n的最大值为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

2．（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（　　）

A．an＝2n﹣5 B．an＝3n﹣10 C．Sn＝2n2﹣8n D．Snn2﹣2n

3．（2021•甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

4．（2021•甲卷）等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则（　　）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 

C．甲是乙的充要条件 

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

二．多选题（共1小题）

（多选）5．（压轴）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a0•20+a1•21+…+ak﹣1•2k﹣1+ak•2k，其中ai∈{0，1}，记ω（n）＝a0+a1+…+ak，则（　　）

A．ω（2n）＝ω（n） B．ω（2n+3）＝ω（n）+1 

C．ω（8n+5）＝ω（4n+3） D．ω（2n﹣1）＝n

三．填空题（共1小题）

6．（压轴）（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　   　；如果对折n次，那么Sk＝　   　dm2．

四．解答题（共5小题）

7．（2021•新高考Ⅱ）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．

8．（2021•乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2．

（1）证明：数列{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式．

9．（2021•甲卷）记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列．

10．（2021•乙卷）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn，已知a1，3a2，9a3成等差数列．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn．

11．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，an+1

（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

（2）求{an}的前20项和．

☆☆单选题☆☆

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝（　　）

A．2 B． C．3 D．4

2．记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S11＝a5a6，则（　　）

A．an＝3n B．an＝2n+1 C．an＝4n﹣1 D．an＝8n﹣5

3．各项均为正数的等比数列{an}满足log2a1+log2a2+⋯+log2a10＝10，则a5a6＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3＝8，S3＝24，则公比q＝（　　）

A． B． C．或1 D．或1

5．在正项等比数列{an}中，a1＝2，a2+4是a1，a3的等差中项，则a4＝（　　）

A．16 B．27 C．32 D．54

6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝2S3+4，则a7+a8+a9的最小值为（　　）

A．12 B．16 C．20 D．24

☆☆多选题☆☆

（多选）7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则（　　）

A．若S5＞S9，则S15＞0 

B．若S5＝S9，则S7是Sn中最大的项 

C．若S6＞S7，则S7＞S8 

D．若S6＞S7，则S5＞S6

（多选）8．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．设第n月月底小王手中有现款为an，则下列论述正确的有（　　）（参考数据：1.211＝7.5，1.212＝9）

A．a1＝12000 

B．an+1＝1.2an﹣1000 

C．2020年小王的年利润为40000元 

D．两年后，小王手中现款达41万

☆☆填空题☆☆

9．已知数列{an}的首项a1，an+1＝1，则a2021＝　   　．

10．已知数列{an}满足且a2+a4+a6＝7，则log2（a5+a7+a9）＝　   　．

11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝10，S6＝20，则S9＝　   　．

12．已知数列{an}满足，且前8项和为761，则a1＝　   　．

☆☆解答题☆☆

13．已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10，且a1，a2，a4是等比数列{bn}的前3项．

（1）求an，bn；

（2）设的前n项和Sn．

14．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an﹣1+a2﹣2（n≥2）．

（1）证明：{an+1}为等比数列；

（2）求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an+n2﹣1，数列{bn}为等比数列，公比为q，且S5＝qS2+3，a2＝5b1．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，n∈N+．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝log4an，记数列的前n项和为Tn，求T2021．

17．已知数列{an}的前n项和Sn满足1（n≥2，n∈N），且a1＝1．

（1）求数列的通项公式{an}；

（2）记bn，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn成立的n的最小值．

18．已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn．且Sn为an与的等差中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn，求{bn}的前n项和Tn．