考点02 方程与不等式-最新中考数学必背知识手册
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一、等式方程
整 式 方 程 | 一元一次方程 | 概念 | 只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0). |
解法 | 解法依据是等式的基本性质. 性质①：若a=b，则a±m=b±m； 性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则(d≠0). | ||
解法的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1. | |||
一元二次方程 | 概念 | （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0. | |
解法 （降次） | ① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是 | ||
配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解 | |||
公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 | |||
因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解 | |||
根的判别式 | （1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; （2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; （3）当b2-4ac<0时,方程无实数根. |
方 程 组 | 定义 | 形如和都是二元一次方程组 |
解法 | 代入法解二元一次方程组的一般步骤：
d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解. | |
加减法解二元一次方程组的一般步骤: a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数; b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; c. 解这个一元一次方程; d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解. | ||
常见 运用 题型 | 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答. | |
工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间 | ||
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息 | ||
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程 | ||
利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%. | ||
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字 |
分 式 方 程 | 定义 | 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 |
解法 | （1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程. （2）常用方法：①去分母;②换元法. （3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答. （4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答. （5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根. | |
运用 | 解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根 |
不 等 式 或 组 | 不等式的基本性质 | （1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变 （2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 （3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变 | ||||
解法 | ① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1. 在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变. | |||||
一元一次不等式组 | 定义 | 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组. | ||||
解法 | 先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。 | |||||
| 四种基本不等式组的解集 | 不等式组(a<b) | 解集 | 图示 | 口诀 | |
x≥b | 大大取大 | |||||
x≤a | 小小取小 | |||||
a≤x≤b | 大小小大中间找 | |||||
无解 | 大大小小解不了 | |||||
- 解二元一次方程组的步骤
（1）代入消元法
① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式
② 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值
⑤ 答:写出答案
（2）加减消元法
① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,
② 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值
- 解二元一次方程组的方法选择
（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法
（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法
- 分式方程验根的两种方法
（1）把求得的未知数的值代入原程进行检验，这种方法可以检验解方程时计算有无错误；
（2）把求得的未知数的值代入分式的最公分母，看最简公分式的值是否等于零，这种方法不能检查解力程过程中出现的计算错误,
4. 分式方程无解两种情形
（1）分式方程化为整式方程后所得整式方程无解，则原程无解；
（2）整式方程有解，但所求得的解经检验是增根，此时分式无解。
5. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择
（1）当b=0时，首选直接开平法
（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法
（3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法
（4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法
6. 一元二次方程根与系数关系的两类应用
（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果
（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程
7. 不解程，判断两根的符号
（1）若x1x2>0，则两根同号
① 若x1+x2>0，则两根同为正数；② 若x1+x2<0，则两根同为负数
（2）若x1x2<0，则两根异号
① 若x1+x2>0，则正数的绝对值较大；② 若x1+x2<0，则负数的绝对值较大
8. 确定不等式组解集和特殊解的方法。
（1）确定不等式组的解集，可以将各个不等式的解集在数轴表示出来。借助数轴定不等式组的解集
（2）求不等式组的特殊解，先要求出不等式组的解集，再在解集中寻求满足条件的解（口决法）。
9. 确定不等式中某个参数的范围的方法
（1）已知的不等式中含有参数m，可以先进行化简，求出不等式组的解集，然后与已知解集比较，求出m的取值范围
（2）当一元一次不等式组化简后未知数中含有参数时，可以通过比较已知解集列不等式或列为程来不确定参数的取值范围成值
（3）确定不等式中某个参数的范围时常常借助数轴，使数与形有机地结合起来，是解决此类问题的关键
易错点1：运用等式性质2时，注意除数不能为零；解方程（组）的基本思想：消元降次。
- 已知方程组，则x+y的值为（ ）
A.-3 B.0 C.2 D.3
错解：C
正解：D
分析：本题错误的原因是在解方程组的过程中出现了错误，且没有检验就计算x+y.一般做法是：先用代入法或加减法求得方程组的解，如用代入法：由①得，y＝3－2x③，把③代入②，得x＋2(3－2x)＝6，解得x＝0，把x＝0代入③，得y＝3，∴,再求x+y的值.若将两个方程相加：①＋②，得3x＋3y＝9，再方程两边同除以3，得x＋y＝3，这样可直接求得结果，计算简便且不易出错.
易错点2：解一元二次方程的有关问题时忽略二次项系数不为零的条件，在用韦达定理时忽略△≥0的条件，从而出错.
- 若关于x的一元二次方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是________.
错解：a≥﹣1
正解：a≥﹣1且a≠0
分析：错误的原因是忽略了二次项系数a≠0的条件.首先计算判别式△＝[2(a＋2)]2－4a2＝8a＋8，接下来由方程有两个实数根，得△≥0，∴8a＋8≥0，解这个不等式，得a≥﹣1，又∵二次项系数a≠0，∴实数a的取值范围是a≥﹣1且a≠0.注意，计算判别式△时要仔细，否则也易出错。
易错点3：解分式方程时，第一步去分母时易出错；忘记检验.
- 解分式方程，去分母后，得（ ）
A.3－x＝4(x－2) B.3＋x＝(x－2)
C.3(2－x)＋x(x－2)＝4 D.3-x＝4
错解：D
正解：A
赏析：错误的原因是去分母时，没有父母的项没有乘以最简公分母x－2.解分式方程的第一步去分母时有两点易出错，一是分数线既有括号又有除号的作用，二是没有分母的项漏乘最简公分母；第二步去括号时，注意括号前面是“﹣”号时，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里的每一项都要改变符号；第三步移项时，不论是从左边移到右边，还是从右边移到左边，移动的项都要改变符号；第四步合并同类项，按合并同类项法则进行；第五步系数化为1时，注意符号的处理，粗心易出错.最后别忘了检验，代入最简公分母检验即可，若是增根，应舍去。
易错点4：运用不等式性质3时，容易忘记改变不等号的方向.
- 解不等式：.
错解：去分母，得3(2－x)≥4(1＋x),
去括号，得6－3x≥4＋4x，
移项，得﹣3x－4x≥4－6，
合并同类项，得﹣7x≥﹣2，
系数化为1，得x≥.
正解：去分母，得3(2－x)≥4(1＋x),
去括号，得6－3x≥4＋4x，
移项，得﹣3x－4x≥4－6，
合并同类项，得﹣7x≥﹣2，
系数化为1，得x≤.
分析：造成出错的原因在最后一步系数化为1时，不等号方向没有改变.运用不等式的性质解不等式时，和解一元一次方程的步骤相同，但原理是用不等式的基本性质，在第一步去分母和最后一步系数化为1时会用到不等式性质3，特别是最后一步，一定要改变不等号的方向.
易错点5：求不等式（组）有解无解时忽略相等的情况.
- 若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A.a≥2 B.a＞2 C.a≤﹣2 D.a＜﹣2
错解：B
正解：A
分析：错误的原因是没有考虑界点值a＝1的情况.由给定的解（解集）确定系数的取值范围是解不等式（组）的易错点，一般方法是先解出每个不等式，如本题，解不等式①，得x＜2,解不等式②，得x＞a，再根据不等式组无解的情况——“大大小小无处找”，结合解集在数轴上的表示确定字母系数的大致范围a＞2，然后再验证各界点值是否符合条件，如本题验证a是否可以等于2，经验证a可以等于2，故正确答案是A.
易错点6：在数轴上表示不等式（组）的解集时，空心圈与实心点及方向的表示易出错.
- 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
错解：A
正解：D
分析：本题主要出错是解集的表示方法，在数轴上表示不等式（组）的解集要注意两点：一是方向：解集中不等号为大于或大于等于的，其表示方向向右，解集中不等号为小于或小于等于的其方向向左；二是空心圈与实心点：解集中不等号含等于的应用实心点表示，不含等于的应用空心圈表示.本题中，先求得不等式组的解集：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤3，再根据“大小小大中间找”的方法得出不等式组的解集为﹣1＜x≤3，∴把这个解集在数轴上表示正确的是D.
易错点7：利用函数图象求不等式（组）和方程（组）的解（解集）时找不准关键点.
- 如图，已知一次函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式2x＋b＞kx－3的解集是_______.
错解：x＜4
正解：x＞4
分析：出错的原因是不知道怎样在坐标系中由图象的位置关系来确定不等式的解集.通常以交点为界，分左右两侧观察，图象位于上方所对应的函数值较大.本题中，两个图象交于点P（4，﹣6），∴当x＝4时，两函数值相等，即2x＋b＝kx－3，当x＞4时，即交点右侧，y＝2x＋b的图象位于y＝kx－3的图象的上方，∴2x＋b＞kx－3，当x＜4时，即交点左侧，y＝2x＋b的图象位于y＝kx－3的图象的下方，∴2x＋b＜kx－3，故答案为x＞4.
易错点8：熟练掌握各种方程（组）与不等式（组）的解法及其应用.
- 解方程组：.
错解：将原方程组化简整理，得，③＋④，得4x＝2，∴x＝，把x＝代入④，得y＝，∴.
正解：将原方程组化简整理，得，由④，得x＝3－5y⑤，把⑤代入③，得5(3－5y )－11y＝﹣1，解得y＝1，把y＝1代入⑤，得x＝2，∴.
分析：本题错解的原因是化简方程①时出现了错误，但没有认真检验也是造成错解的原因. 解复杂的方程组第一步是将原方程组化简整理成一般形式，然后再考虑用代入法或加减法来解，若有未知数的系数为1或﹣1时，可用代入法来解，若有相同未知数的系数相同或互为相反数时，可用加减法来解.
易错题9：从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km，高铁开通后，高铁列车的行程约为860km，运行时间比特快列车所用的时间减少了16h。若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度。
错解：设特快列车的平均速度为xkm/h，
由题意，得，
解得x≈86.
答：特快列车的平均速度约为86km/h.
正解：设特快列车的平均速度为xkm/h，
由题意，得，
解得x＝91.
经检验，x＝91是原分式方程的解且符合题意.
答：特快列车的平均速度为91km/h.
分析：本题在解分式方程时出现了错误，且没有检验.列分式方程解应用题时，首先解方程要仔细，在去分母或化简时极易出错，同时既要检验求得的解是否是所列分式方程的解，又要检验是否符合题意.
