初中人教版26.1.2 反比例函数的图象和性质学案设计

专题26.4 反比例函数的图象和性质（知识讲解）

【学习目标】

1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．

2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．

3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．

【要点梳理】

【知识点一】 反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

特别说明：

（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

【知识点二】画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

【知识点三】反比例函数的图象的位置

反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．

【知识点四】反比例函数图象的增减性

（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；

（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；

特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

【典型例题】

类型一、描点法画反比例函数的图象

1． 在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.

【分析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．

解：列表如下：

描点、连线，如图所示.

【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象，列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．

举一反三：

【变式】画出反比例函数与的图象．

【分析】先列表、描点，再画图象．

解：列表表示几组x与y的对应值（填空）：

描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数与的图象．

【点拨】此题考查画反比例函数的图象，掌握画函数图象的步骤：列表、描点、连线是解题的关键．

类型二、已知反比例函数图象求解析式

2．把下列函数的解析式与其图象对应起来．

（1）；（2）；（3）；（4）．

A．     B．     

C．     D．

【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D

【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论．

解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B；

（2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A；

（3）的图象在二，四象限，对应着图象C；

（4）的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D．

【点拨】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式．

【答案】反比例函数的解析式为y＝－.

【分析】根据平移及AB的长度求出点B坐标即可得答案.

解：∵将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，

∴OA=2，

∵AB//y轴，AB=，

∴B点坐标为：（-2，），

把B（-2，），代入y＝中，得到k＝－3，

∴反比例函数的解析式为y＝－.

【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据平移及AB的长度求出B点坐标是解题关键.

类型三、由双曲线对称性求点的坐标

3． 如图，与的直径为2，反比例函数的图像与两圆分别交于点A，B，C，D，求图中阴影部分的面积．

【答案】

【分析】根据反比例函数的图像是中心对称图形，那么阴影部分的面积可看作半径为1的半圆的面积．

解：由题意得：图中阴影部分的面积为．

【点拨】本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是根据所给的图形的对称性得到阴影部分的面积为一个半圆的面积．

举一反三：

【变式】已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y=的函数图像：

(1)  如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；

(2)  如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）

【答案】(1)点A'是该函数图像第三象限上的点，理由见分析

(2)见分析

【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，过点作轴于点N，先求出点A的坐标，再证明，得出，即可得出结论；

（2）连接BO、CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点、点，连接，连接DO并延长，交于点，即可得到点点．

解：（1）点A'是该函数图像第三象限上的点，理由如下：

过点A作AM⊥x轴于点M，过点作轴于点N，

点A是反比例函数y=的图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），

，即，

，

，

，

，

，

，

点A'是该函数图像第三象限上的点；

（2）

连接BO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点，连接CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点，连接，连接DO并延长，交于点，

此时，点即为所求．

【点拨】本题考查了反比例函数的图像上的点的坐标特征，关于原点对称点的特点即作图，掌握知识点是解题的关键．

类型四、由双曲线位置求参数取值范围

4． 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，正比例函数图象经过第一、三象限，求k的整数值．

【答案】1

【分析】根据反比例函数和正比例函数的性质可得，解出即可求解．

解：根据题意，得

，

解这个不等式组，得，

∴k的整数值为1．

【点拨】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的性质，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图是反比例函数y＝的图象的一支．根据图象解决下列问题：

(1)  求m的取值范围；

(2)  若点A（m-3，b1）和点B（m-4，b2）是该反比例函数图象上的两点，请你判断b1与b2的大小关系，并说明理由．

【答案】(1)(2)，理由见分析

【分析】（1）由图象可知，，计算求解即可；

（2）判断，的大小，根据反比例函数性质：当时，随着的增大而减小，进行大小比较即可．

（1）解：由图象可知，，

解得，

∴的取值范围为．

（2）解：．

理由如下：

∵，

∴，

由反比例函数的图象与性质可知，当时，随着的增大而减小，

∴．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．

类型五、判断反比例函数的增减性

5． 已知点都在反比例函数的图象上，且，比较与的大小．

【答案】当；当时，；当时，．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，然后分类讨论：当x1＞x2＞0或x1<x2<0，易得y1＜y2；当x2<0< x1，可判断y1＞y2．

解：∵点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数的图象上，

∴y1=，y2=，

当x1＞x2＞0或x1<x2<0，则y1＜y2；

当x2<0< x1，则y1＞y2．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

举一反三：

【变式】已知点都在反比例函数的图象上，比较与的大小．

【答案】

【分析】把四个点的坐标代入分别求出y1，y2，y3与y4的值，然后比较大小即可．

解：∵点（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）都在反比例函数的图象上，

∴y1=，y2=1，y3=-1，y4=-，

∴y3＜y4＜y1＜y2．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

类型六、由反比例函数判定其位置

6． 我们已经学习过反比例函数y=的图像和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数的图像和性质进行探索，并解决下列问题：

（1）该函数的图像大致是(　　)

A．　B．C．　　D．

（2）写出该函数两条不同类型的性质：

①　　　　；       ②　　　　．   （3）写出不等式－＋4＞0的解集．

【答案】（1）C；（2）答案不唯一，写出两条即可，如：在第三象限内，y随x的增大而增小；在第四象限内，y随x的增大而减大；函数图像关于y轴成轴对称图形；（3）x＜－或x＞．

【分析】（1）对于函数的图象，无论x取非零实数时，y的值总小于零，可得图象；

（2）可以从函数的增减性方面进行说明，也可以从函数图象位于的象限说明；函数图象关于y轴成轴对称图形；

（3）先求出y=-4时x的值，再根据图形确定不等式 的解集．

解：（1）∵函数，

∴函数的图象是：C

故答案为：C．

（2）答案不唯一，写出两条即可，

如：在第三象限内，y随x的增大而增小，

在第四象限内，y随x的增大而减大，

函数图像关于y轴成轴对称图形；

（3）当y=-4时， ，

解得：，

根据函数的图象和性质得，不等式的解集是：或．

【点拨】本题考查函数的意义以及反比例函数的图象和性质，特别注意利用图象得出性质，再利用性质解决问题．

举一反三：

【变式】已知，反比例函数图象经过点   

（1）求这个反比例函数的解析式；

（2）这个函数的图象位于哪些象限？

（3）随的增大如何变化？

（4）点是否在这个函数图象上？

【答案】（1）（2）一、三象限（3）在每个象限内随的增大而减小（4）点在这个函数图象上

【分析】(1) 设出解析式, 把点的坐标代入即可;

(2) 根据比例系数的符号进行判断;

(3) 根据比例系数, 应说出在每个象限内的情况;

(4) 看此点的横纵坐标的积是否等于反比例函数的比例系数, 进行判断.

解：（1）设反比例函数的解析式为．

∵点在函数的图象上，

∴，

解得．

∴反比例函数的解析式为．

（2）∵，

∴这个函数的图象位于一、三象限．

（3）∵，

∴在每个象限内随的增大而减小．

（4）∵，

∴该点在这个函数图象上．

【点拨】本题考查了运用待定系数法确定函数的解析式, 以及反比例函数的图象的性质.

类型七、由反比例函数增减性求参数

7．已知反比例函数，当时，随的增大而减小，求正整数的值．

【答案】m=1

【分析】根据反比例函数的性质解答即可．

解：∵对于反比例函数，

当时，随的增大而减小，

∴，

解得：，

∵m为正整数，

∴m=1．

【点拨】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．

举一反三：

【变式】已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求的取值范围．

【答案】＜3

【分析】根据反比函数图像在每个象限内y的值随x的值增大而减小，可知范围，进行求解即可．

解：由题意得：，

解得，

∴，

则＜3．

【点拨】本题主要考查了反比例函数图像的性质，熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．

类型八、由反比例函数求函数值或自变量取值范围

8．如图是反比例函数的图像的一支，根据图像回答下列问题：

（1） 图像的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？

（2）在这个函数图像的任取点A（x1,y1）和点B（x2,y2），若x1>x2，则y1和y2的大小关系如何？

【答案】(1)另一支位于第三象限，

(2)当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2；当x1＞0>x2，y1>y2

【分析】（1）根据图像的对称性即可得；

（2）根据图像的性质，分情况讨论：①当x1＞x2>0或0>x1＞x2，②当x1＞0>x2，即可得．

解：(1) 由图像在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限，

∵图像在第一、三象限，

∴m﹣5＞0，解得m＞5；

（2）①当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2，

②当x1＞0>x2，y1>y2，

综上，当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2，当x1＞0>x2，y1>y2．

【点拨】本题考查了函数的图像，解题的关键是掌握函数的图像．

举一反三：

【变式】已知点A（4，m）在反比例函数y＝的图象上．

（1）求m的值；

（2）当4＜x＜8时，求y的取值范围．

【答案】（1）m=1；（2）当4＜x＜8时，＜y＜1

【分析】（1）将点A（4，m）的坐标代入反比例函数的解析式，可以求得m；

（2）在第一象限里y随x的增大而减少，所以当x=4时，y有最大值，当x=8时，y有最小值．

解：（1）将点A（4，m）代入上得，

解得

（2）因为 在第一象限里y随x的增大而减少，

所以当x=4时，y有最大值1，

当x=8时，y有最小值，

所以＜y＜1

【点拨】本题综合考查了反比例的解析式及其图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉相关性质．