专题26.25 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题26.25 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共28页。

专题26.25 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【要点梳理】要点一、反比例函数的概念一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.特别说明：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．特别说明：观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较（4）反比例函数y＝中的意义①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式 1、如图，已知点A是一次函数的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．（1）求点A的坐标；（2）确定该反比例函数的表达式．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据一次函数的解析式，求出当时，的值即可得点的坐标；（2）先根据点坐标的平移变换规律得出点的坐标，再利用待定系数法即可得．解：（1）对于一次函数，当时，，解得，则点的坐标为；（2）将点向上平移2个单位后所得点，点的坐标为，设该反比例函数的表达式为，将点代入得：，则该反比例函数的表达式为．【点拨】本题考查了一次函数、点坐标的平移变换规律、利用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．求该反比例函数的解析式及的值；判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．【答案】(1)，(2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．（1）解：将点代入中，得，反比例函数的解析式为，将点代入中，得；（2）解：因为四边形是菱形，，，，，，由（1）知双曲线的解析式为；，点在双曲线上．【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．【变式2】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点．求反比例函数解析式；点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．【答案】(1) (2) 或【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限．（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A把代入得∴∴把代入反比例函数得∴∴反比例函数的解析式是；（2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为，∵，B在反比例函数图象上，∴B(2，2),令D(m,n)，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，当AB为一条对角线时，则，解得m=1，n=6，∴D(1,6)当AC为一条对角线时，则，解得m=1，n=2，∴D(1,2)当AD为一条对角线时，则，解得m=3，n=-2，∴D(3,-2)（舍去）综上所述，点D的坐标是或．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标．类型二、反比例函数的图象及性质2、如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在第________象限；在每个象限内，随的增大而________，常数的取值范围是________；（2）若此反比例函数的图象经过点，求的值．【答案】（1）故答案为四；增大；；（2）．【分析】（1）根据反比例函数的图象特点即可得；（2）将点代入反比例函数的解析式即可得.解：（1）由反比例函数的图象特点得：图象的另一支在第四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大由反比例函数的性质可得：，解得故答案为：四；增大；；（2）把代入得到：，则故m的值为.【点拨】本题考查了反比例函数的图象特点、反比例函数的性质，熟记函数的图象特点和性质是解题关键.举一反三：【变式】如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象在第二、四象限分别交于A（m，1），B（2n，-n）两点．求A，B两点坐标；根据图象，当正比例函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围．【答案】(1)A两点坐标为（-2，1），B点坐标为（2，-1）(2)x＜-2或0＜x＜2【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的性质可知A，B两点关于原点O成中心对称，据此可以得方程，解方程即可求解；（2）正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围，即为正比例函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，结合图象以及A点(-2,1)和B点(2,-1)即可求解．解：（1）由图象知A，B两点关于原点O成中心对称，故，解得，∴A点坐标为(-2,1)，B点坐标为(2,-1)；（2）正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围，即为正比例函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，根据图象以及A点(-2,1)和B点(2,-1)可知：x的取值范围为：x＜-2或0＜x＜2．【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质以及根据图象确定x取值范围、二元一次方程组等知识，注重数形结合是解答本题的关键．3、小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图，列表：下表是x与y的几组对应值，其中=　　　　；描点：根据表中各组对应值（，），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，写出该函数的两条性质：①　　　　_；②　　　　．【答案】（1）=－2，画图见分析；（2）①图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大．【分析】（1）代入求值即可；经历描点、连线形成图象；（2）依据函数的增减性，函数值的大小等方面说明性质．解：（1）把x=代入y=，得，m=；该函数的图象如下：（2）①图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大．【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握函数图象的绘制方法是画出图象的关键，求出变量之间的对应值是画图象的前提．举一反三：【变式】参照学习函数的过程方法，探究函数的图像与性质，因为，即，所以我们对比函数来探究列表：描点：在平面直角坐标系中以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示：（1）请把轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，随的增大而______；（“增大”或“减小”）②的图象是由的图象向______平移______个单位而得到的；③图象关于点______中心对称.（填点的坐标）（3）函数与直线交于点，，求的面积.【答案】（1）如图所示，见分析；（2）①增大；②上，1；③；（3）1.【分析】（1）按要求把轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来即可；（2）①观察图像可得出函数增减性；②由表格数据及图像可得出平移方式；③由图像可知对称中心；（3）将与联立求解，得到A、B两点坐标，将△AOB分为△AOC与△BOC计算面积即可.解：（1）如图所示：（2）①由图像可知：当时，随的增大而增大，故答案为增大；②由表格数据及图像可知，的图象是由的图象向上平移1个单位而得到的，故答案为上，1；③由图像可知图像关于点（0,1）中心对称.（3），解得：或∴A点坐标为（-1,3），B点坐标为（1，-1）设直线与y轴交于点C，当x=0时，y=1，所以C点坐标为（0,1），如图所示，S△AOB= S△AOC+ S△BOC===所以△AOB的面积为1.【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，描点作函数图像，掌握反比例函数的图像与性质是关键.4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC．(1)求k的值；(2)求△OAC的面积．【答案】(1)6 (2)9【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出；（2）由反比例函数解析式求出点的纵坐标，进而求出的长，再根据三角形的面积公式计算即可．（1）解：点的坐标为，点为的中点，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，；（2）解：由题意得，点的横坐标为6，点的纵坐标为：，，的面积．【点拨】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出的长度．举一反三：【变式】如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，．求k的值：点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长．【答案】(1)8 (2)【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值．（2）连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度．(1)解：根据k值的几何意义可知：(2)解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M． 四边形AMHB是矩形设，则，解得：（舍去）则【点拨】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键．类型三、反比例函数与一次函数综合5、已知一次的图象与反比例函数的图象相交．判断是否经过点．若的图象过点，且．① 求的函数表达式．② 当时，比较，的大小．【答案】(1)过(2)①；②当时，，当时，，当时，【分析】（1）根据，把点代入反比例函数，即可；（2）把点代入，得，根据，解出和的值，即可得到的表达式；根据函数图象，即可比较，的大小．解：（1）∵∴把点代入反比例函数，得∴经过点．（2）∵的图象过点∴把点代入，得又∵∴解得，∴∴的函数表达式为：如图所示：由函数图象得，当时，；当时，；当时，．【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数图象的性质，交点的综合问题．举一反三：【变式1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点．分别求出一次函数和反比例函数的解析式：根据图象，直接写出满足的的取值范围；连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积．【答案】(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为(2)x≥4或-1≤x＜0(3)【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案．解（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（4，1），∴ ，∴反比例函数解析式为 ，又点B（﹣1，n）在反比例函数上，∴ ，∴B的坐标为（-1，-4），把A（4，1），B（﹣1，-4）代入 ，得 ，解得 ，∴一次函数解析式为 ；（2）由图象及交点坐标可知：当x≥4或-1≤x＜0时，k1x+b≥﹣；（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，∵B（-1，-4），B、C关于原点对称，∴C（1，4），把x=1代入y=x-3，得y=-2，∴D（1，-2），CD=6，∴．【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．【变式2】如图，直线与双曲线相交于点，与x轴交于点C．求双曲线解析式；点P在x轴上，如果，求点P的坐标．【答案】(1)(2)（2，0）【分析】】（1）把A的坐标（2，m）代入直线y=x+2求出A的坐标，设双曲线的函数关系式为y=（k≠0），把A点的坐标代入，即可求出答案；（2）设点P的坐标为（x，0），根据两点之间距离公式即可得出关于x的方程，求出x即可．解：（1）把A的坐标（2，m）代入直线y=x+2得：m=2+2=4，∴点A的坐标为（2，4），设双曲线的函数关系式为y=（k≠0），把x=2，y=4代入k=2×4，解得：k=8，∴双曲线的解析式为y=；（2）由y=x+2，令y=0,得x=-2∴C（-2，0）设点P的坐标为（x，0），∵C（-2，0），A（2，4），PA=PC∴解得：x=2，∴点P的坐标为（2，0）．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，掌握反比例函数的性质是解题的关键．类型四、反比例函数与几何综合6、如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点顺时针旋转得．(1)画出旋转后的；(2)点的坐标是______．(3)函数为常数的图象经过点，画出该函数图象，为该函数图象上的动点，当在直线的上方且的面积为时，求点坐标．【答案】(1)见分析(2)（-2,3）(3)点坐标为【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、即可；（2）利用第二象限点的坐标特征写出点坐标；（3）先写出点的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数解析式为，过点作轴于，轴于，如图，设，利用 得到关于t的方程，然后解方程求出，从而得到点坐标．（1）解：如图，为所作；（2）由图可知；故答案为；（3），，反比例函数解析式为，函数图象如图所示：过点作轴于，轴于，如图，设，∵ ，，整理得，解得，舍去 点坐标为【点拨】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了反比例函数图象．【变式1】图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点D与原点O重合，点C在y轴正半轴上，点B在反比例函数的图象上，已知CD=2，点A坐标为．求k的值．将平行四边形沿x轴正方向平移，当A点落在反比例函数图象上时，求平移的距离．【答案】(1) 6 (2) 4【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据点A坐标为，即可求得点的坐标，代入解析式即可求得的值；（2）设平移距离为，可得，代入，即可求得的值，从而即可求解．（1）解：∵平行四边形的顶点D与原点O重合，点C在y轴正半轴上，∴轴，点A坐标为．，点B在反比例函数的图象上，（2）将平行四边形沿x轴正方向平移，A点落在反比例函数图象上，设平移距离为，则，，解得，平移的距离为4．【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】图，一次函数的图像与轴、轴分别交于，，与反比例函数的图像交于点，．分别求出两个函数的表达式；连接，，求的面积．【答案】(1)一次函数表达式为：，反比例函数表达式为：(2)（1）解：由过点C（1，2），可得m=12=2，故反比例函数表达式为：， ∴，∴D点坐标为（2，1），又由一次函数的图像过点C（1，2）和D（2，1），则，解得，故一次函数表达式为：．（2）解：如图，作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，∵C（1，2），D（2，1），∴ ，，，∴．【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及利用坐标求三角形的面积，熟练掌握反比例函数和一次函数图象的基本特点是解题的关键．类型五、反比例函数应用7、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．请写出这个反比例函数解析式；蓄电池的电压是多少？下表中的a、b、c的值分别是多少？如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？【答案】(1)I=；(2)36；(3)a=12，b=6，c=3.6；(4)用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（9，4），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）根据电压=电流×电阻即可求解；（3）将R的值分别代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成图表；（4）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．（1）解：电流I是电阻R的反比例函数，设I=，∵图象经过（9，4），∴k=4×9=36，∴I=；（2）解：蓄电池的电压是4×9=36；（3）解：当R=3时，a==12，当R=6时，b==6，当R=10时，c==3.6，∴a=12，b=6，c=3.6；（4）解：∵I≤10，I=，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．【变式1】“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：求出表中当时，m与x间的函数关系式；“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？【答案】(1)(2)基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠元【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设该基地第x天的利润为W，根据利润=（售价-成本）×数量列出W关于x的关系式，然后根据二次函数与反比例函数的性质求解即可．（1）解：由函数图象可知当时，m与x间的函数关系式满足一次函数关系式，故可设当时，m与x间的函数关系式为，∵，∴，∴当时，m与x间的函数关系式为；（2）解：设该基地第x天的利润为W，由题意得：，当时，，∵，∴当时，W最大为；当时，∵，∴随x增大而减小，即W随x增大而减小，∴当时，W最大为580，∵，∴基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠元．【点拨】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键．【变式2】某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均时间y（单位：分钟）与调试次数x（单位：次）的函数关系是（k为非0常数），调试次数x，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y及相应的k的数据如下表：如果要使表中有尽可能多的数据满足函数关系，则函数解析式为______；如果要使k与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式；要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？【答案】(1)y=+1(2)此时函数关系式为y=+1；(3)调式5次比较合适．【分析】（1）由表中的数据看出，12出现次数最多，k取12，据此可求得函数解析式；（2）根据题意得到k与其表中相应具体数据的差的平方和为w=4(x-14)2+24，再根据二次函数的性质求解即可；（3）设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，根据题意列分式方程，求解得到a=，再代入两个解析式，进一步求解即可．(1)解：要尽可能多的数据满足函数关系，由表中的数据看出，12出现次数最多，∴k取12，∴函数关系式为y=+1，故答案为：y=+1；(2)解：依题意知：k与其表中相应具体数据的差的平方和为w= (k-12)2+(k-14)2+(k-18)2+(k-12)2=4k2-112k+808=4(x-14)2+24，∴当k=14时，原式w取最小值，∴此时函数关系式为y=+1；(3)解：设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，则=60%，解得：a=，经检验是原方程的解，将y=代入 y=+1，得：=+1，解得：x=，经检验是原方程的解，将y=代入 y=+1，得：=+1，解得：x=，经检验是原方程的解，综合考虑，调式5次比较合适．【点拨】本题考查了反比例的应用，二次函数的性质，分式方程的应用，解决问题的关键是掌握图象和解析式的关系，读懂表格中的数据正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置，一、三象限；，二、四象限，一、三象限，二、四象限增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而增大x…－3－2－1123…y…－1－2m－1……-4-3-2-11234……124-4-2-1……235-3-20…R/Ω345678910I/Aa97.2b5.144.54c销售量n（株）n＝-x＋50销售单价m（元/株）当时，m＝______当时，x1234…y13874…k12141812…