资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩13页未读，
继续阅读
所属成套资源：2023八年级数学上册尖子生同步培优题典 北师大专题
成套系列资料，整套一键下载
北师大版八年级上册7 二次根式随堂练习题
展开
这是一份北师大版八年级上册7 二次根式随堂练习题，文件包含专题211二次根式的应用重难点培优老师版docx、专题211二次根式的应用重难点培优学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.11二次根式的应用（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2020秋•金牛区校级月考）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P=12（a+b+c），则有下列面积公式：
S=P(P-a)(P-b)(P-c)（海伦公式）；
S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2]（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．
【解析】（1）P=12×（5+6+7）＝9，
S=P(P-a)(P-b)(P-c)=9×4×3×2=66；
S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2]=14[302-(25+36-492)2]=14×36×24=66；
（2）P﹣a=12（5+6+7）-5=12（6+7-5），
同理P﹣b=12（5-6+7），
P﹣c=12（5+6-7），
所以，S2=12（6+7+5）×12（6+7-5）×12[5-（6-7）][5+（6-7）]
=116×（8+242）（﹣8+242）
=116×（168﹣64），
=132．
S=262．
S=14[30-(5+6-72)2]=14(30-4)=262
2．（2019秋•玉田县期末）已知长方形的长为a，宽为b，且a=3212，b=1248．
（1）求长方形的周长；
（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．
【分析】（1）直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案．
【解析】（1）∵a=3212=33，b=1248=23，
∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（33+23）=103；
（2）设正方形的边长为x，则有x2＝ab，
∴x=ab=33×23=18=32，
∴正方形的周长是4x＝122．
3．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出32和2范围，根据题意解答．
【解析】（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为32dm和42dm，
∴剩余木料的面积为（42-32）×32=6（dm2）；
（2）4＜32＜4.5，1＜2＜2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，
故答案为：2．
4．（2019春•武昌区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为239x、6x4、2x1x．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【解析】（1）周长=239x+6x4+2x1x=2x+3x+2x=7x．
（2）当x＝4时，周长＝7×4=14．（答案不唯一）．
5．（2020秋•普宁市期中）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S=p(p-a)(p-b)(p-c)（其中a，b，c为三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当a=5，b＝3，c＝25时．
（1）直接写出p的化简结果为 3+352 ．
（2）写出计算S值的过程．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p即可；
（2）把p的值代入S计算即可得解．
【解析】（1）∵a=5，b＝3，c＝25，
∴p=a+b+c2
=5+3+252
=3+352；
故答案为：3+352；
（2）S=p(p-a)(p-b)(p-c)
=3+352×(3+352-5)(3+352-3)(3+352-25)
=9×(9-5)(5-1)16
=9
＝3．
6．（2020秋•太原期中）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v=gd计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度980m处发生海啸，求其行进速度．
【分析】直接根据已知数据代入，化简得出答案．
【解析】由题意可得：g＝9.8m/s2，d＝980m，
则v=gd=9.8×980=98（m/s），
答：海啸的行进速度为98m/s．
7．（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=12（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解析】（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=12(12-7)(12-8)(12-9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC⋅h1=12BC⋅h2=125，
∴h1=2458=35，h2=2457，
∴h1+h2=35+2457=4557．
8．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=h5（不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【分析】（1）将h＝50代入t1=h5进行计算即可；将h＝100代入t2=h5进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；
（3）将t＝1.5代入公式t=h5进行计算即可．
【解析】（1）当h＝50时，t1=505=10（秒）；
当h＝100时，t2=1005=20=25（秒）；
（2）∵t2t1=2510=2，
∴t2是t1的2倍．
（3）当t＝1.5时，1.5=h5，
解得h＝11.25，
∴下落的高度是11.25米．
9．（2019春•颍泉区校级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知p=a+b+c2=9
所以S=p(p-a)(p-b)(p-c)=9(9-7)(9-5)(9-6)=66
∴△ABC的面积为66；
（2）∵S=12ch1=12bh2＝66
∴12×6h1=12×5h2＝66
∴h1＝26，h2=1256
∴h1+h2=2256．
10．（2021春•天河区校级月考）若矩形的长a=6+5，宽b=6-5．
（1）求矩形的面积和周长；
（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解析】（1）∵矩形的长a=6+5，宽b=6-5．
∴矩形的面积为：（6+5）（6-5）
＝6﹣5
＝1；
矩形的周长为：2（6+5+6-5）＝46；
（2）a2+b2﹣20+2ab
＝（a+b）2﹣20
＝（6+5+6-5）2﹣20
＝（26）2﹣20
＝24﹣20
＝4．
11．（2021春•城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1，h2和h3的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知p=a+b+c2=9，
所以S=p(p-a)(p-b)(p-c)=9×(9-8)×(9-4)×(9-6)=315，
∴△ABC的面积为315；
（2）∵S=12ch1=12bh2=12ah3＝315，
∴12×6h1=12×4h2=12×8h3＝315，
∴h1=15，h2=3152，h3=3415，
∴h1+h2+h3=13154．
12．（2019春•临渭区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为243m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(14+1)m，宽为(14-1)m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解析】（1）长方形ABCD的周长＝2（243+128）＝2（93+82）＝183+162（m），
答：长方形ABCD的周长是183+162（m），
（2）购买地砖需要花费＝5[243×128-(14+1)(14-1)]
＝5[726-（14﹣1）]
＝5（726-13）
＝3606-65（元）；
答：购买地砖需要花费（3606-65）元；
13．（2021春•无为市月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=h5（不考虑风速的影响）．
（1）求从40米高空抛物到落地时间；
（2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；
（3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度（单位：焦耳），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能）
【分析】（1）把40米代入公式即可，
（2）把80米代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论．
（3）求出h，代入动能计算公式即可求出．
【解析】（1）由题意知h＝40米，
t=h5=405=8=22（s），
（2）不正确，
理由如下：当h2＝80m时，t2=805=16=4（s），
∵4≠2×22，
∴不正确，
（3）当t＝6s时，6=h5，h＝180m，
鸡蛋产生的动能＝10×0.05×180＝90（焦耳），
启示：严禁高空抛物．
14．（2019秋•梁平区期末）张亮同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时，试求a+a2-2a+1的值”，其中■是被墨水弄污的，张亮同学所求得的答案为12．
（1）请你计算当a＝5时，代数式a+a2-2a+1的值；
（2）是否存在数a，使得a+a2-2a+1的值为12；
（3）请直接判断张亮同学的答案是否正确．
【分析】（1）直接将a＝5代入可得结论；
（2）因为原式＝a+|a﹣1|，所以此题应该从a≥1，a＜1两种情况考虑；
（3）根据（2）中的结论发现：a为任何实数时，原式都不可能等于12，所以张亮同学的答案不正确．
【解析】（1）当a＝5时，原式＝5+(a-1)2=5+(5-1)2=9；
（2）不存在，理由是：
原式＝a+(a-1)2=a+|a﹣1|，
当a≥1时，原式＝a+a﹣1＝2a﹣1=12，
∴a=34（舍），
当a＜1时，原式＝a+1﹣a＝1≠12，
∴不存在数a，使得a+a2-2a+1的值为12；
（3）由（2）可知：张亮同学的答案不正确．
15．（2019春•江岸区校级月考）已知如图，在锐角△ABC中，已知AB＝c，AC＝b，BC＝a．
（1）求BC边上的高h；
（2）证明：S△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=12（a+b+c）．
【分析】（1）设BD＝x，根据勾股定理列方程可表示x的长，从而计算h的长；
（2）直接将p=12（a+b+c）整体代入变形后可得结论．
【解析】（1）设BD＝x，则CD＝a﹣x，
∴c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，
∴x=c2-b2+a22a，
∴h=c2-x2
=c2-(c2-b2+a22a)2
=(a+b+c)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)2a．
（2）令p=12（a+b+c），则h=2p(2p-2b)(2p-2a)(2p-2c)2a=2p(p-b)(p-a)(p-c)a，
∴S△ABC=12ah
=12•a•2p(p-b)(p-a)(p-c)a
=p(p-a)(p-b)(p-c)．
16．（2020秋•同安区期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝4．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
【分析】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦﹣﹣秦九韶公式计算△ABC的面积；
（2）利用面积法求AD的长．
【解析】（1）∵a＝5，b＝3，c＝4，
∴p=5+3+42=6，
∴△ABC的面积S=6(6-5)(6-3)(6-4)=6；
（2）如图，∵△ABC的面积=12BC•AD，
∴12×5×AD＝6，
∴AD=125．
17．（2019春•思明区校级期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？
【分析】从题意可知，剩余部分的长方形的长边为18bm，短边为32-18=2dm，由估算18，2的大小，做出判断即可．
【解析】剩余部分的长为18dm，宽为32-18=2dm，
∵2＜1.5，
∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，
∵4.2＜18＜4.3，
4.2÷1.5≈2，
因此只能截出2块，
答：最多能截出2块．
18．（2021春•巴南区期中）某区组织环卫工作人员开展草坪种植，若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为343m、宽为224m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：结果保留整数，2≈1.41）．
【分析】（1）根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．
（2）根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【解析】（1）2（343+224）＝2（77+414）＝（147+814）m．
（2）343×224=77×414=1962≈276.36m2，
160×276.36＝44217.6元．
19．（2020春•曾都区期末）阅读下列材料，解答后面的问题：
我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2]⋯①（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：S=p(p-a)(p-b)(p-c)⋯②（其中p=a+b+c2）．
（1）若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积S；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．
【分析】（1）代入计算即可；
（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘14，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．
【解析】（1）由公式①，得S=14[32×52-(32+52-622)2]=214．
由②，得p=3+5+62=7，故S=7×(7-3)×(7-5)×(7-6)=214．
（2）14[a2b2﹣（a2+b2-c22）2]
=116[c2﹣（a﹣b）2][（a+b）2﹣c2]，
=116（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），
=116（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴14[a2b2-(a2+b2-c22)2]=p(p-a)(p-b)(p-c)．
20．（2021春•亭湖区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13-1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解析】（1）长方形ABCD的周长＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米），
答：长方形ABCD的周长是163+142（米），
（2）通道的面积=(83×98)-(13+1)(13-1)
＝566-（13﹣1）
＝566-12（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（566-12）＝3366-72（元）．
答：购买地砖需要花费3366-72元；
21．（2020春•博白县期末）已知长方形的长a=1232，宽b=1318．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【分析】首先化简a=1232=22，b=1318=2．
（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解析】a=1232=22，b=1318=2．
（1）长方形的周长＝（22+2）×2＝62；
（2）正方形的周长＝422×2=8，
∵62=72.8=64，
∵72＞64
∴62＞8．
22．（2020春•瑶海区期末）著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为15[（1+52）n﹣（1-52）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为15[（1+52）8﹣（1-52）8]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．
【分析】（1）把n＝1代入式子化简求得答案即可．
（2）把n＝2代入式子化简求得答案即可．
【解析】（1）第1个数，当n＝1时，
15（ 1+52-1-52）=15×5=1；
（2）第2个数，当n＝2时，
15[（ 1+52）2﹣（ 1-52）2]
=15（ 1+52+1-52）（ 1+52-1-52）
=15×1×5=1．
23．（2020春•红旗区校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题．
一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为224cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为490cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了40cm（提示：圆柱的体积＝πr2h，其中，r为底面的半径，h为高，π取3）
（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；
（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径．
【分析】（1）直接利用长方体体积公式得出答案；
（2）直接利用圆柱体体积公式求出圆柱形玻璃容器的底面的半径．
【解析】（1）由题意可得：
224×224×40=44810（cm3）．
答：从塑料容器中倒出的水的体积为44810cm3；
（2）设圆柱形玻璃容器的底面的半径为r，根据题意可得：
π×r2×490=44810，
解得：r=833．
答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为833cm．
24．（2020秋•新蔡县期中）已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a-48|+（b-32）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值．
【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；
（2）根据勾股定理逆定理可解答．
【解析】（1）因为线段a，b满足|a-48|+（b-32）2＝0．
所以a＝43，b=42；
（2）因为a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，
所以c=(48)2+(32)2=45或(48)2-(32)2=4．
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.11二次根式的应用（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2020秋•金牛区校级月考）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P=12（a+b+c），则有下列面积公式：
S=P(P-a)(P-b)(P-c)（海伦公式）；
S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2]（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．
【解析】（1）P=12×（5+6+7）＝9，
S=P(P-a)(P-b)(P-c)=9×4×3×2=66；
S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2]=14[302-(25+36-492)2]=14×36×24=66；
（2）P﹣a=12（5+6+7）-5=12（6+7-5），
同理P﹣b=12（5-6+7），
P﹣c=12（5+6-7），
所以，S2=12（6+7+5）×12（6+7-5）×12[5-（6-7）][5+（6-7）]
=116×（8+242）（﹣8+242）
=116×（168﹣64），
=132．
S=262．
S=14[30-(5+6-72)2]=14(30-4)=262
2．（2019秋•玉田县期末）已知长方形的长为a，宽为b，且a=3212，b=1248．
（1）求长方形的周长；
（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．
【分析】（1）直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案．
【解析】（1）∵a=3212=33，b=1248=23，
∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（33+23）=103；
（2）设正方形的边长为x，则有x2＝ab，
∴x=ab=33×23=18=32，
∴正方形的周长是4x＝122．
3．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出32和2范围，根据题意解答．
【解析】（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为32dm和42dm，
∴剩余木料的面积为（42-32）×32=6（dm2）；
（2）4＜32＜4.5，1＜2＜2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，
故答案为：2．
4．（2019春•武昌区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为239x、6x4、2x1x．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【解析】（1）周长=239x+6x4+2x1x=2x+3x+2x=7x．
（2）当x＝4时，周长＝7×4=14．（答案不唯一）．
5．（2020秋•普宁市期中）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S=p(p-a)(p-b)(p-c)（其中a，b，c为三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当a=5，b＝3，c＝25时．
（1）直接写出p的化简结果为 3+352 ．
（2）写出计算S值的过程．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p即可；
（2）把p的值代入S计算即可得解．
【解析】（1）∵a=5，b＝3，c＝25，
∴p=a+b+c2
=5+3+252
=3+352；
故答案为：3+352；
（2）S=p(p-a)(p-b)(p-c)
=3+352×(3+352-5)(3+352-3)(3+352-25)
=9×(9-5)(5-1)16
=9
＝3．
6．（2020秋•太原期中）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v=gd计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度980m处发生海啸，求其行进速度．
【分析】直接根据已知数据代入，化简得出答案．
【解析】由题意可得：g＝9.8m/s2，d＝980m，
则v=gd=9.8×980=98（m/s），
答：海啸的行进速度为98m/s．
7．（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=12（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解析】（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=12(12-7)(12-8)(12-9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC⋅h1=12BC⋅h2=125，
∴h1=2458=35，h2=2457，
∴h1+h2=35+2457=4557．
8．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=h5（不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【分析】（1）将h＝50代入t1=h5进行计算即可；将h＝100代入t2=h5进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；
（3）将t＝1.5代入公式t=h5进行计算即可．
【解析】（1）当h＝50时，t1=505=10（秒）；
当h＝100时，t2=1005=20=25（秒）；
（2）∵t2t1=2510=2，
∴t2是t1的2倍．
（3）当t＝1.5时，1.5=h5，
解得h＝11.25，
∴下落的高度是11.25米．
9．（2019春•颍泉区校级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知p=a+b+c2=9
所以S=p(p-a)(p-b)(p-c)=9(9-7)(9-5)(9-6)=66
∴△ABC的面积为66；
（2）∵S=12ch1=12bh2＝66
∴12×6h1=12×5h2＝66
∴h1＝26，h2=1256
∴h1+h2=2256．
10．（2021春•天河区校级月考）若矩形的长a=6+5，宽b=6-5．
（1）求矩形的面积和周长；
（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解析】（1）∵矩形的长a=6+5，宽b=6-5．
∴矩形的面积为：（6+5）（6-5）
＝6﹣5
＝1；
矩形的周长为：2（6+5+6-5）＝46；
（2）a2+b2﹣20+2ab
＝（a+b）2﹣20
＝（6+5+6-5）2﹣20
＝（26）2﹣20
＝24﹣20
＝4．
11．（2021春•城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1，h2和h3的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知p=a+b+c2=9，
所以S=p(p-a)(p-b)(p-c)=9×(9-8)×(9-4)×(9-6)=315，
∴△ABC的面积为315；
（2）∵S=12ch1=12bh2=12ah3＝315，
∴12×6h1=12×4h2=12×8h3＝315，
∴h1=15，h2=3152，h3=3415，
∴h1+h2+h3=13154．
12．（2019春•临渭区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为243m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(14+1)m，宽为(14-1)m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解析】（1）长方形ABCD的周长＝2（243+128）＝2（93+82）＝183+162（m），
答：长方形ABCD的周长是183+162（m），
（2）购买地砖需要花费＝5[243×128-(14+1)(14-1)]
＝5[726-（14﹣1）]
＝5（726-13）
＝3606-65（元）；
答：购买地砖需要花费（3606-65）元；
13．（2021春•无为市月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=h5（不考虑风速的影响）．
（1）求从40米高空抛物到落地时间；
（2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；
（3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度（单位：焦耳），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能）
【分析】（1）把40米代入公式即可，
（2）把80米代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论．
（3）求出h，代入动能计算公式即可求出．
【解析】（1）由题意知h＝40米，
t=h5=405=8=22（s），
（2）不正确，
理由如下：当h2＝80m时，t2=805=16=4（s），
∵4≠2×22，
∴不正确，
（3）当t＝6s时，6=h5，h＝180m，
鸡蛋产生的动能＝10×0.05×180＝90（焦耳），
启示：严禁高空抛物．
14．（2019秋•梁平区期末）张亮同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时，试求a+a2-2a+1的值”，其中■是被墨水弄污的，张亮同学所求得的答案为12．
（1）请你计算当a＝5时，代数式a+a2-2a+1的值；
（2）是否存在数a，使得a+a2-2a+1的值为12；
（3）请直接判断张亮同学的答案是否正确．
【分析】（1）直接将a＝5代入可得结论；
（2）因为原式＝a+|a﹣1|，所以此题应该从a≥1，a＜1两种情况考虑；
（3）根据（2）中的结论发现：a为任何实数时，原式都不可能等于12，所以张亮同学的答案不正确．
【解析】（1）当a＝5时，原式＝5+(a-1)2=5+(5-1)2=9；
（2）不存在，理由是：
原式＝a+(a-1)2=a+|a﹣1|，
当a≥1时，原式＝a+a﹣1＝2a﹣1=12，
∴a=34（舍），
当a＜1时，原式＝a+1﹣a＝1≠12，
∴不存在数a，使得a+a2-2a+1的值为12；
（3）由（2）可知：张亮同学的答案不正确．
15．（2019春•江岸区校级月考）已知如图，在锐角△ABC中，已知AB＝c，AC＝b，BC＝a．
（1）求BC边上的高h；
（2）证明：S△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=12（a+b+c）．
【分析】（1）设BD＝x，根据勾股定理列方程可表示x的长，从而计算h的长；
（2）直接将p=12（a+b+c）整体代入变形后可得结论．
【解析】（1）设BD＝x，则CD＝a﹣x，
∴c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，
∴x=c2-b2+a22a，
∴h=c2-x2
=c2-(c2-b2+a22a)2
=(a+b+c)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)2a．
（2）令p=12（a+b+c），则h=2p(2p-2b)(2p-2a)(2p-2c)2a=2p(p-b)(p-a)(p-c)a，
∴S△ABC=12ah
=12•a•2p(p-b)(p-a)(p-c)a
=p(p-a)(p-b)(p-c)．
16．（2020秋•同安区期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝4．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
【分析】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦﹣﹣秦九韶公式计算△ABC的面积；
（2）利用面积法求AD的长．
【解析】（1）∵a＝5，b＝3，c＝4，
∴p=5+3+42=6，
∴△ABC的面积S=6(6-5)(6-3)(6-4)=6；
（2）如图，∵△ABC的面积=12BC•AD，
∴12×5×AD＝6，
∴AD=125．
17．（2019春•思明区校级期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？
【分析】从题意可知，剩余部分的长方形的长边为18bm，短边为32-18=2dm，由估算18，2的大小，做出判断即可．
【解析】剩余部分的长为18dm，宽为32-18=2dm，
∵2＜1.5，
∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，
∵4.2＜18＜4.3，
4.2÷1.5≈2，
因此只能截出2块，
答：最多能截出2块．
18．（2021春•巴南区期中）某区组织环卫工作人员开展草坪种植，若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为343m、宽为224m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：结果保留整数，2≈1.41）．
【分析】（1）根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．
（2）根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【解析】（1）2（343+224）＝2（77+414）＝（147+814）m．
（2）343×224=77×414=1962≈276.36m2，
160×276.36＝44217.6元．
19．（2020春•曾都区期末）阅读下列材料，解答后面的问题：
我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2]⋯①（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：S=p(p-a)(p-b)(p-c)⋯②（其中p=a+b+c2）．
（1）若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积S；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．
【分析】（1）代入计算即可；
（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘14，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．
【解析】（1）由公式①，得S=14[32×52-(32+52-622)2]=214．
由②，得p=3+5+62=7，故S=7×(7-3)×(7-5)×(7-6)=214．
（2）14[a2b2﹣（a2+b2-c22）2]
=116[c2﹣（a﹣b）2][（a+b）2﹣c2]，
=116（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），
=116（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴14[a2b2-(a2+b2-c22)2]=p(p-a)(p-b)(p-c)．
20．（2021春•亭湖区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13-1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解析】（1）长方形ABCD的周长＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米），
答：长方形ABCD的周长是163+142（米），
（2）通道的面积=(83×98)-(13+1)(13-1)
＝566-（13﹣1）
＝566-12（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（566-12）＝3366-72（元）．
答：购买地砖需要花费3366-72元；
21．（2020春•博白县期末）已知长方形的长a=1232，宽b=1318．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【分析】首先化简a=1232=22，b=1318=2．
（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解析】a=1232=22，b=1318=2．
（1）长方形的周长＝（22+2）×2＝62；
（2）正方形的周长＝422×2=8，
∵62=72.8=64，
∵72＞64
∴62＞8．
22．（2020春•瑶海区期末）著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为15[（1+52）n﹣（1-52）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为15[（1+52）8﹣（1-52）8]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．
【分析】（1）把n＝1代入式子化简求得答案即可．
（2）把n＝2代入式子化简求得答案即可．
【解析】（1）第1个数，当n＝1时，
15（ 1+52-1-52）=15×5=1；
（2）第2个数，当n＝2时，
15[（ 1+52）2﹣（ 1-52）2]
=15（ 1+52+1-52）（ 1+52-1-52）
=15×1×5=1．
23．（2020春•红旗区校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题．
一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为224cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为490cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了40cm（提示：圆柱的体积＝πr2h，其中，r为底面的半径，h为高，π取3）
（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；
（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径．
【分析】（1）直接利用长方体体积公式得出答案；
（2）直接利用圆柱体体积公式求出圆柱形玻璃容器的底面的半径．
【解析】（1）由题意可得：
224×224×40=44810（cm3）．
答：从塑料容器中倒出的水的体积为44810cm3；
（2）设圆柱形玻璃容器的底面的半径为r，根据题意可得：
π×r2×490=44810，
解得：r=833．
答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为833cm．
24．（2020秋•新蔡县期中）已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a-48|+（b-32）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值．
【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；
（2）根据勾股定理逆定理可解答．
【解析】（1）因为线段a，b满足|a-48|+（b-32）2＝0．
所以a＝43，b=42；
（2）因为a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，
所以c=(48)2+(32)2=45或(48)2-(32)2=4．
相关试卷
北师大版八年级上册7 二次根式一课一练： 这是一份北师大版八年级上册7 二次根式一课一练，文件包含专题212二次根式混合运算大题专练重难点培优老师版docx、专题212二次根式混合运算大题专练重难点培优学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
北师大版八年级上册第二章 实数7 二次根式巩固练习： 这是一份北师大版八年级上册第二章 实数7 二次根式巩固练习，文件包含专题210二次根式的化简求值大题专练重难点培优老师版docx、专题210二次根式的化简求值大题专练重难点培优学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
苏科版第12章 二次根式综合与测试复习练习题： 这是一份苏科版第12章 二次根式综合与测试复习练习题，文件包含专题127二次根式材料阅读探究大题专题重难点培优-2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典解析版苏科版docx、专题127二次根式材料阅读探究大题专题重难点培优-2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
