2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级（下）开学数学试卷

这是一份2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级（下）开学数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
4．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，4
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．OM＝ACB．MB＝MOC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
7．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（ ）
A．15°B．35°C．45°D．55°
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18B．18C．36D．36
10．（3分）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）
A．8B．12C．16D．32
11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（ ）
A．5B．6C．D．8
12．（3分）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
13．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 ．
14．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简：|a﹣5|+|a﹣2|的结果为 ．
15．（3分）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为 cm．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为 ．
17．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为 cm．
18．（3分）如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝8，顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是 ．
三、解答题（共6分）
19．（6分）计算题：﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣3|+（）﹣1+．
20．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
21．（8分）分解因式：
（1）2xy2+4xy+2x；
（2）a2（a﹣b）﹣（a﹣b）．
22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上的E点，求CD的长．
23．（6分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
24．（8分）已知，如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F，求证：四边形ACDF是平行四边形．
25．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？并证明你的猜想．
26．（8分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
27．（10分）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，共36分）
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
3﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤3且x≠1，
在数轴上表示如图，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
4．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，4
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．OM＝ACB．MB＝MOC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（ ）
A．15°B．35°C．45°D．55°
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出AD＝AE，∠DAE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠AED，然后根据∠BED＝∠AEB﹣∠AED列式计算即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
所以，∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，
所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】根据三角形的中位线定理可得，EH平行且等于CD的一半，FG平行且等于CD的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到EH和FG平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又因为EF等于AB的一半且AB＝CD，所以得到所证四边形的邻边EH与EF相等，所以四边形EFGH为菱形．
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，
∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH＝CD；同理FG∥CD且FG＝CD，同理可得EF＝AB，
则EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AB＝CD，所以EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18B．18C．36D．36
【分析】根据菱形的对角线平分对角求出∠ABC＝60°，过点A作AE⊥BC于E，可得∠BAE＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE＝3，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，如图：，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∵AE⊥BC，
∴AE＝3，
∴菱形ABCD的面积是＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键．
10．（3分）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）
A．8B．12C．16D．32
【分析】由菱形的性质可知AC⊥BD，2OD•AO＝28①，进而可利用勾股定理得到OD2+OA2＝36②，结合①②两式化简即可得到OD+OA的值．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，
∵面积为28，
∴AC•BD＝2OD•AO＝28 ①
∵菱形的边长为6，
∴OD2+OA2＝36 ②，
由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．
∴OD+AO＝8，
∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及菱形面积公式的运用，解题的关键是利用整体思想求出OD•OA的值，题目的综合性较强，对学生的计算能力要求较高．
11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（ ）
A．5B．6C．D．8
【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE＝BQ+QE＝＝5，
∴△BEQ周长的最小值＝DE+BE＝5+1＝6．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
12．（3分）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
13．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简：|a﹣5|+|a﹣2|的结果为 3 ．
【分析】根据图示，可得：2＜a＜5，据此求出化简|a﹣5|+|a﹣2|的结果为多少即可．
【解答】解：根据图示，可得：2＜a＜5，
∴|a﹣5|+|a﹣2|
＝﹣（a﹣5）+（a﹣2）
＝﹣a+5+a﹣2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
15．（3分）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为 4.8 cm．
【分析】直接利用勾股定理得出菱形的边长，再利用菱形的面积求法得出答案．
【解答】解：∵菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，
∴菱形的边长为：＝5（cm），
设菱形的高为：xcm，则5x＝×6×8，
解得：x＝4.8．
故答案为：4.8．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出菱形的边长是解题关键．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为 30° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，得出∠BAD＝180°﹣∠D＝80°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE＝70°，即可得出∠EBC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣∠D＝80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝80°÷2＝40°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°；
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
17．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为 （6﹣） cm．
【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．
根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，
所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝﹣2．
则FC＝4﹣x＝6﹣．
故答案为：（6﹣）．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
18．（3分）如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝8，顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是 9 ．
【分析】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE＝5，OE＝4，再根据OC≤CE+OE＝9，即可得到点C到原点O距离的最大值是9．
【解答】解：如图，取AD的中点E，连接OE，CE，OC，
∵∠AOD＝90°，
∴Rt△AOD中，OE＝AD＝4，
又∵∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，DE＝4，
∴Rt△CDE中，CE＝＝5，
又∵OC≤CE+OE＝9，
∴OC的最大值为9，
即点C到原点O距离的最大值是9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题（共6分）
19．（6分）计算题：﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣3|+（）﹣1+．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣（3﹣）+2+2
＝2﹣1﹣3++2+2
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）分解因式：
（1）2xy2+4xy+2x；
（2）a2（a﹣b）﹣（a﹣b）．
【分析】（1）直接提取公因式2x，进而利用完全平方公式分解因式；
（2）直接提取公因式（a﹣b），进而利用平方差公式分解因式．
【解答】解：（1）2xy2+4xy+2x
＝2x（y2+2y+1）
＝2x（y+1）2；
（2）a2（a﹣b）﹣（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2﹣1）
＝（a﹣b）（a+1）（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上的E点，求CD的长．
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
由折叠可得AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△DBE中，42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3．
∴CD＝3．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
23．（6分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价＝总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得：3•＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
24．（8分）已知，如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F，求证：四边形ACDF是平行四边形．
【分析】由矩形的性质得出DC∥BF，又由DF∥AC，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和平行四边形的判定解答．
25．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？并证明你的猜想．
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB＝90°，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形．
【解答】解：四边形EFGH是矩形．
证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，
∴∠GAB＝∠BAD，∠GBA＝∠ABC，
∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝90°，
即∠AGB＝90°，
同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，
∴四边形EFGH是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．
26．（8分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．
【解答】（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．
【点评】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
27．（10分）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE＝OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；
（2）设AF＝CF＝a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；
（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴AO＝OC，AC⊥EF，
在△AEO和△CFO中
∵，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：设AF＝acm，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF＝acm，
∵BC＝8cm，
∴BF＝（8﹣a）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，
a＝5，
即AF＝5cm；
（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，
只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，
P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，
Q的速度是：4÷8＝0.5，
即Q的速度是0.5cm/s；
②分为三种情况：第一、P在AF上，
∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，
∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；
第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，
∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），
∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），
t＝，
第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；
即t＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用，用了方程思想，分类讨论思想．
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