广东省广州市广州大学附属中学零班2022--2023学年九年级上学期数学期末试卷

广东省广州市广州大学附属中学零班2022--2023学年九年级上学期数学期末试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（  ）

A． B．C． D．

3．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为（　　）

A． B． C． D．

4．已知点是直线与双曲线（为常数）一支的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．

5．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④

7．如图，中，，，，则阴影部分的面积是(   )

A． B． C． D．

8．关于x的一元二次方程有两个实数根， ，则k的值（  ）

A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2

二、填空题

9．如图，已知是等腰三角形，点D在AC边上，将绕点A逆时针旋转45°得到，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则的度数是_____．

10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限．

11．如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为__________.

12．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2﹣x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是____．

三、解答题

13．如图，在中，，，，动点P从A出发，沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点同时出发，以每秒4个单位的速度在线段上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P，Q两点同时停止运动．以为边作正方形（P，Q，E，F按逆时针排序），以为边在上方作正方形．

(1)求的面积．

(2)设点P运动时间为t，正方形的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

(3)请求出当t为何值时，正方形的某个顶点（点Q除外）落在直线上．

14．在平面直角坐标系中，点A（1，0），已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．

（1）当抛物线经过点A时．

①求顶点P的坐标；

②设直线l：y=3x+1与抛物线交于B、C两点，抛物线上的点M的横坐标为n（﹣1≤n≤3），过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若MQ=d，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围．

（2）无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．

参考答案

1．A

【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，积的乘方，逐项判断即可求解．

【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；

B、，故本选项错误，不符合题意；

C、，故本选项错误，不符合题意；

D、，故本选项错误，不符合题意；

故选：A

【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

2．B

【分析】根据题意得到矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应，其图象在第一象限；于是得到结论．

【详解】∵根据题意矩形面积（定值），

∴y是x的反比例函数，．

故选B．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．

3．C

【分析】根据相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的性质得到答案.

【详解】∵，，

∴，

∴，即，

解得，的面积为，

∴的面积为：，

故选C．

【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.

4．D

【分析】易求得点的坐标，代入（为常数）即可求出．

【详解】由题意，可知点的横坐标是，由点在正比例函数的图象上，

点的坐标为或，

又点在反比例函数（为常数）的图象上，

，即，

故选D．

【点睛】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题．先由正比例函数解析式求点的坐标是解题关键．

5．A

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可

【详解】，

方程两边同乘以，得

，

移项及合并同类项，得

，

分式方程的解是非正数，，

，

解得，，

故选A．

【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值

6．B

【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．

【详解】解∵1．

又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．

故选B．

【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．

7．A

【分析】连接、，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

作，

∵，

∴，

∴经过圆心，

∴，

∴，

∴，，

∴ π，

故选A．

【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确是解题的关键．

8．D

【详解】解：由根与系数的关系，得：

＝k－1，，

由，得：

，

即，

所以，，

化简，得：，

解得：k＝±2，

因为关于x的一元二次方程有两个实数根，

所以，△＝＝>0，

k＝－2不符合，

所以，k＝2

故选D．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．

9．22.5°

【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，即可求的度数．

【详解】∵将绕点A逆时针旋转45°得到，

∴，

∴，

∴

故答案为22.5°

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

10．四．

【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．

【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得：且．

∴，，

∴点在第四象限．

故答案为四．

【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．

11．.

【分析】设，根据题意，，，即可得出，，解得，由，，求得、，然后根据三角形面积公式得到进行求解即可.

【详解】设，

∵，

∴，，

∴，

∵双曲线经过矩形的顶点，

∴，

∴，

∵双曲线经过点，

∴

∴双曲线，

∴，，

∴，，

∴，

故答案为.

【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．

12．1≤a＜或a≤−2

【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a的取值范围．

【详解】解：∵抛物线y＝ax2−x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，

∴令x＋＝ax2−x＋1，则2ax2−3x＋1＝0，

∴△＝9−8a＞0，

∴a＜，

①a＜0时，

此时函数的对称轴在y轴左侧，

当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，

将点A的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，

解得a＝−2，

故a≤−2

②当a＞0时，

此时函数的对称轴在y轴右侧，

当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，

将点B的坐标代入抛物线表达式得：a−1＋1＝1，

解得a＝1，

即：a≥1

∴1≤a＜

综上所述：1≤a＜或a≤−2．

故答案是：1≤a＜或a≤−2．

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

13．(1)12；

(2)S存在最小值，；

(3)t的值为或1或．

【分析】（1）过点B作于点M，求得的长度，即可得的面积；

（2）过点P作于点N，利用( 1 )中的结论和勾股定理得到，所以由正方形的面积公式得到S关于t的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；

（3）分类讨论求解，当点E在边上、点F在边上、点P边时，利用等腰直角三角形性质可求对应的的值．

【详解】（1）解：过B作于M，如图∶

在中，

∵， ，

∴，，

∵，

∴的面积为；

（2）解：S存在最小值，过点P作于点N，

由题意得，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴时，；

（3）解：①当点E在边上时，过P作于N，过E作于R，如图∶

由（2）得，，

∵四边形和四边形都是正方形，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

解得；

②当点F在边上时，如图∶

∵四边形和四边形都是正方形，

∴E在上，P在上，

在中，

∵，

∴，

∴，

∴，解得；

③当P在上，过P作于W，如下图，

由题意得，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∴，

综上所述，t的值为或1或．

【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及锐角三角函数、三角形面积、面积最大值、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是分类画出图形，列出关于t的方程解决问题．

14．（1）①点P（﹣，﹣）；②1≤n≤3；（2）抛物线的表达式为：y=x2﹣4x+8或或y=x2+4x﹣8或．

【分析】（1）①将点A的坐标代入抛物线表达式可得m值，再根据抛物线表达式确定顶点P的坐标即可；

②画出函数图象，联立抛物线与直线表达式可得点B、C坐标，易知点M的横坐标为n（﹣1≤n≤3）时，图象对应的是BC之间的部分，设点M（n，n2+n﹣2），点Q（n，3n+1），可得d与n的关系式，可知其对称轴为n=1，根据d的增减性可确定n的取值范围；

（2）点P的坐标为：（﹣m，﹣m2﹣2m），由点A、H的坐标知，AH=，tanα=4；点P存在在AH左右两侧的情况，①当点P在AH右侧时，过点M作MR⊥AH于点R，设RM=4x=RH，则AR=x，根据AH=AR+RH可得x值，易知点M坐标，由点H、M坐标可得直线HM表达式，将点P坐标代入即可求出m值；②当点P在AH左侧时，同理求出点M坐标及直线HM的表达式，将点P坐标代入即可求出m值.

【详解】解：（1）①将点A（1，0）代入y=x2+mx﹣2m得，

解得

所以抛物线的表达式为y=x2+x﹣2，

点P（﹣，﹣）；

②函数图象如图1所示，

联立抛物线与直线表达式

得：

解得x=﹣1或3，

当x=﹣1时，，

当时，

所以点B、C的坐标分别为：（﹣1，﹣2）、（3，10），

故M的横坐标为n（﹣1≤n≤3）时，图象对应的是BC之间的部分，

设点M（n，n2+n﹣2），点Q（n，3n+1），

d=QM=3n+1﹣n2﹣n+2=﹣n2+2n+3，函数的对称轴为：n=1，

当d随n的增大而减少，n≥1，而﹣1≤n≤3，

故1≤n≤3．

（2）点P的坐标为：（﹣m，﹣m2﹣2m），

由点A、H的坐标知，AH=，tanα=4；点P存在在AH左右两侧的情况，如图2所示；

①当点P在AH右侧时，如图，

过点M作MR⊥AH于点R，∠AHP=45°，tanα=4，

设：RM=4x=RH，则AR=x，

则AH=AR+RH=5x=，解得：x=，

则AM=x=，则点M（，0）；

由H、M的坐标得直线HM的表达式为：y=﹣x+，

将点P的坐标代入上式并整理得：3m2+34m+88=0，解得：m=﹣4或﹣；

②当点P在AH左侧时，如图，

同理可得：点M（5，0），

则直线HM的表达式为：y=x+，

将点P的坐标代入上式并整理得：7m2+48m+80=0，

解得：m=4或；

综上，抛物线的表达式为：y=x2﹣4x+8或y=x2﹣x+或y=x2+4x﹣8或y=x2+x﹣．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的解析式、顶点坐标及与x轴的交点坐标、对称轴，解一元二次方程，一次函数的解析式、解直角三角形，灵活利用函数解析式及其图象的性质是解题的关键.解题过程中注意分类讨论.