2023衡阳八中高二上学期期末考试数学含答案

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衡阳市八中2021级高二上期期末考试数 学  试 题命题人：周正午  审题人：罗欢注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．设集合，，则（    ）A． B． C． D． 2．已知复数的共轭复数，则复数的虚部为（    ）A． B． C．1 D． 3．已知向量均为单位向量，且，则（    ）A．2 B． C．4 D． 4．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ）A． B． C．2 D．4 5．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（    ）A．1:1 B．2:1 C．2:3 D．3:2 6．设，，，则（    ）A． B．C． D． 7．已知函数），若在（0，π）上有2个极大值，则的取值范围是（    ）A．[，） B．[，] C．（，] D．（，] 8．在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（    ）A．B．与共线的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是 10．已知函数，则（    ）A．是的极小值点 B．有两个极值点C．的极小值为 D．在上的最大值为 11．设等比数列的公比为，其前和项和，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）A． B．C．是数列中的最大项 D． 12．公元前 300 年前后， 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著， 书中描述： 把一条线段分割为两部分， 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为， 与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中， 正确的有（    ）A． B．C． D．若， 则恒成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有__________种不同的情况.（用数字作答） 14．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________． 15．已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是__________. 16．已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知分别为内角的对边，且(1)求角；(2)若的面积为，求的值.    18．( 12分）在数列中,,,设.（1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.     19．( 12分）在三棱锥中，，，，分别为，的中点，，，分别为，，的中点，平面，与平面所成的角为．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值． 20．( 12分）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.    21．( 12分）已知点为椭圆C：上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5．(1)求C的标准方程；(2)过点的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），AM，BN与y轴分别交于点G，H，记，分别为，（点O为坐标原点）的面积，证明：为定值．    22．( 12分）已知函数．(1)当时，讨论的单调性(2)设为的两个不同零点，证明：当时，．