第14讲 一元一次不等式与一次函数

第14讲 一元一次不等式与一次函数

       【学习目标】

1．能够利用观察一次函数图象直接求出不等式的解。

2．有关一元一次不等式与一次函数的实际应用方案问题，必须熟练掌握。

        【基础知识】

1. 一元一次不等式与一次函数的关系

  如果函数的解析式已知，求不等式时，可以直接当作不等式求解，也可以直接通过观察函数图象求解。

如果函数的解析式未知，求不等式时，只能通过观察函数图象求解。

两个一次函数函数值比大小时，函数图象在上面的函数值大，函数图象在下面的函数值小。

2. 一次函数与一元一次不等式的实际应用

一般根据实际应用题可以求出2个一次函数，然后让2个函数值比大小，相等、大于或小于，从而找到最优方案。

 【考点剖析】

考点一：利用一次函数求解不等式

例1．如图所示，直线l1：y＝x＋6与直线l2：y＝－x－2交于点P(－2，3)，不等式x＋6＞－x－2的解集是(  )

A．x＞－2     B．x≥－2

C．x＜－2     D．x≤－2

【答案】A

【解析】当x＞－2时，x＋6＞－x－2，所以不等式x＋6＞－x－2的解集是x＞－2.

考点二：一元一次不等式与一次函数的应用

例2．某游泳馆推出了两种收费方式．

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).

(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；

(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．

【答案】(1))y1＝30x＋200；y2＝40x.   (2)x>20

【解析】(1)y1＝30x＋200；y2＝40x.

(2)由y1<y2得：30x＋200<40x

解得：x>20，∴当x>20时选择方式一比方式二省钱

        【真题演练】

1．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（　　）

A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1

【答案】C

解：如图所示：不等式kx+b＞1的解集为：x＞1．

2．如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（　　）

A．x＞ B．x＜ C．x＞﹣ D．x＜﹣

【答案】B

解：∵直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），

∴观察图像得出：当x＜时，3x﹣2＜kx+b，

∴不等式3x﹣2＜kx+b的解集为x＜．

3．如图，一次函数（为常数，且）的图像经过点，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵当x=-3时，kx+b=2，

且y随x的增大而减小，

∴不等式的解集，

4.如图，射线反映了某棉业有限公司的加工销售收入与销售量的之间的函数关系，射线反映了该公司的加工成本与销售量之间的关系，当该公司盈利时，销售量应为（ ）

A．大于 B．等于 C．小于 D．大于

【答案】D

解：设的解析式为，将代入可得

，即，

设的解析式为，将代入可得

，，

当当该公司盈利时，

，

解得，

故选：D．

5.已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为_____．

【答案】

解：∵一次函数y=kx+b的图象过（-6，0），

∴0=-6k+b，

∴b=6k，

∴3kx-2b=3kx-12k＞0，

∵函数图象经过第二、三、四象限，

∴k＜0，

∴x-4＜0，

解得：x＜4．

故答案为：x＜4．

6．如图，平面直角坐标系xoy中，直线y1＝k1x＋b1的图像与直线y2＝k2x＋b2的图像相交于点（－1，－3），当y1＜y2时，实数x的取值范围为__________．

【答案】x＜－1

7.如图，直线与直线交于点，则不等式的解集为__________．

【答案】

8.已知直线过和，则关于的不等式的解集是______．

【答案】

解：由题意可得：

∴ k=2，b=-2，

∴原不等式即为2x-2<0，

解之可得：x<1，

9.如图，一次函数的图像与轴交于点；一次函数的图像与轴交于点，且经过点，两函数图像交于点．

（1）求，，的值；

（2）根据图象，直接写出的解集．

解：（1）点在直线上

，

解得；

点、在直线上

，

解得：；

（2）由图象可得，不等式组的解集为．

10.某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费25元，另收2 000的设计费；乙公司提出：每份材料收费35，不收设计费．

(1)请用含x代数式分别表示甲乙两家公司制作宣传材料的费用；

(2)试比较哪家公司更优惠？说明理由．

【解析】(1)设甲公司制作宣传材料的费用为y甲(元)，乙公司制作宣传材料的费用为y乙(元)，制作宣传材料的份数为x(份)，

依题意得y甲＝25x＋2 000；y乙＝35x.

(2)当y甲＞y乙时，即25x＋2 000＞35x，

解得：x＜200；

当y甲＝y乙时，即25x＋2 000＝35x，

解得：x＝200；

当y甲＜y乙时，即25x＋2 000＜35x，

解得：x＞200.

∴当0＜x＜200时，选择乙公司更优惠；

当x＝200时，选择两公司费用一样多；

当x＞200时，选择甲公司更优惠．

      【过关检测】

1．如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－2，4)，则不等式kx＋b＞4的解集是(   )

A．x＜－2     B．x＞－2

C．x＜0      D．x＞0

【答案】B

【解析】由图象可得：当x＞－2时，kx＋b＞4，所以不等式kx＋b＞4的解集为x＞－2.

2．如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为(   )

A．x＞     B．x＜

C．x＞3      D．x＜3

【答案】B

【解析】∵一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，∴b＝3，

令y＝－2x＋3中y＝0，则－2x＋3＝0，解得：x＝.

∴点B(,0),观察函数图象，发现：

当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式－2x＋b＞0的解集为x＜.

3.若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b＞1的解集为(   )

A．x＜0     B．x＞0     C．x＜1     D．x＞1

【答案】D

【解析】如图所示：不等式kx＋b＞1的解集为：x＞1.

4．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx＋b≥3的解集为(   )

A．x＞－1      B．x＜－1

C．x≥3       D．x≥－1

【答案】D

【解析】观察图象知：当x≥－1时，kx＋b≥3.

5.如图，直线y＝kx－b与横轴、纵轴的交点分别是(m，0)，(0，n)，则关于x的不等式kx－b≥0的解集为(   )

A．x≥m     B．x≤m

C．x≥n     D．x≤n

【答案】A

【解析】∵要求kx－b≥0的解集，

∴从图象上可以看出当y＞0时，x≥m.

6.如图，直线y＝kx＋b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为___．

【答案】x＜4.

【解析】∵直线y＝kx＋b与直线y＝2交于点A(4，2)，

∴x＜4时，y＜2，

∴关于x的不等式kx＋b＜2的解集为x＜4.

7.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为____.

【答案】x≤1.

【解析】点P(m，3)代入y＝x＋2，

∴m＝1，∴P(1，3).

结合图象可知x＋2≤ax＋c的解集为x≤1.

8.一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax＋b≥kx的解集为___．

【答案】x≥－1.

【解析】从图象可看出当x≥－1，直线y＝ax＋b的图象在直线y＝kx的上方，不等式ax＋b≥kx的解集为x≥－1.

9．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：

①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2.其中正确的结论是____．(只填序号)

【答案】①④⑤.

【解析】∵一次函数y1＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故①正确，③错误；

∵一次函数y2＝x＋a的图象经过第一、三、四象限，

∴a＜0，故②错误；

∵一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的交点的横坐标为3，∴关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3，故④正确；

由图象可知，当x＞3时，y1＜y2，故⑤正确；

故正确的结论是①④⑤.

10．在坐标系中作出函数y＝2x＋6的图象，利用图象解答下列问题：

(1)求方程2x＋6＝0的解；

(2)求不等式2x＋6＞－2的解集；

(3)若2≤y≤6，求x的取值范围．

【解析】如图，

(1)当x＝－3时，y＝0，所以方程2x＋6＝0的解为x＝－3；

(2)当x＞－4时，y＞－2，所以不等式2x＋6＞－2的解集为x＞－4；

(3)当－2≤x≤0时，2≤y≤6，所以若2≤y≤6，x的取值范围是－2≤x≤0.

11.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．

(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？

(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【解析】(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，

根据题意得80x＋60(17－x)＝1 220，

解得x＝10，所以17－x＝17－10＝7，

答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．

(2)设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(17－a)棵，

由题意得17－a<a，解得a>，

所需费用为80a＋60(17－a)＝20a＋1 020(元)，

费用最省需a取最小整数9，

此时17－a＝17－9＝8，

此时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元).

答：购买9棵A种树苗，8棵B种树苗的费用最省，此方案所需费用为1 200元．

12.如图，一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1

（1）求AB的函数表达式；

（2）若点D在y轴负半轴，且满足，求点D的坐标；

（3）若，请直接写出x的取值范围．

【详解】

（1）当x=1时，y=3x=3，

∴点C（1,3），

∵直线y=kx+b经过点A(-1,5)，C（1,3），

∴，解得，

故AB的函数表达式为y=-x+4；

（2）∵y=-x+4与x轴交于点B，∴B（4,0），

∴===6，

∵=，∴=2,

∴==2，

∴OD=4，

故D（0，-4）；

（3）根据图像，得x＞1.