第12讲 不等式的解集

第12讲 不等式的解集

       【学习目标】

1．了解不等式解集的定义，会判断是不是不等式的解集。

2．要求会解不等式，并在数轴上表示出来，针对已知解集求参数字母的值也要掌握方法。

        【基础知识】

1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

2.判断一个数是不是不等式的解集，只要把这个数代入不等式的左右两边，判断不等式是否成立

3.求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

4.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同. 

5.不等式的解集在数轴上的表示:  用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:  边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;  方向:大向右,小向左

6.已知不等式的解集求参数的值的方法，只要按正常步骤求不等式的解集，然后让解集满足已知条件即可求出参数字母的值。

 【考点剖析】

考点一：不等式的解集判断

例1．下列说法正确的是（    ）                                        

A．x=4是不等式2x＞－8的一个解    B．x=－4是不等式2x＞－8的解集

C．不等式2x＞－8的解集是x＞4     D．2x＞－8的解集是x＜－4

【答案】A

【解析】

分析：据题意只要解出不等式2x＞－8的解，再用排除法解题即可．

解：因为2x＞－8的解为x＞－4，

所以A. x=4是不等式2x＞－8的一个解，正确；

B. x=－4是不等式2x＞－8的解集，错误；

C. 不等式2x＞－8的解集是x＞4，错误；

D. 2x＞－8的解集是x＜－4，错误．

故选A．

考点二：不等式的解集在数轴上表示出来

例2．利用不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，并将解集在数轴上表示出来．

(1)3x<5x－4；

(2)x＋2≤1; 

【答案】（1）x>2；在数轴表示见解析（2）x≤－ 在数轴表示见解析

【解析】(1)两边都减去5x得：－2x<－4，

同时除以－2得x>2，数轴上表示为

．

(2)    两边同时减去2得：x≤－1，两边同时乘以得：x≤－，在数轴上表示为

．

考点三：已知不等式的解集，求参数的值

例3．已知不等式5x+a＜3的解集与－2x+5＞1的解集相同，试求a的值．                                                

【答案】a=－7

【解析】

分析：先把a当作已知条件表示出x的取值范围，再根据两不等式的解集相同得出关于a的方程，求出a的值即可．

解答：解不等式5x+a＜3得到：.

解不等式－2x+5＞1得到：x＜2．

∵不等式5x+a＜3的解集与－2x+5＞1的解集相同，

∴=2.

解得 a=－7．

        【真题演练】

1．下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是（    ）                                                 

A.5         B. 4           C.3           D. 2

2．如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（    ）           

A.  B.  C.  D.                                                                                                                                               

3．下列说法正确的是（    ）                                        

A．x=4是不等式2x＞－8的一个解    B．x=－4是不等式2x＞－8的解集

C．不等式2x＞－8的解集是x＞4     D．2x＞－8的解集是x＜－4

4.x=-1不是下列哪一个不等式的解（    ）

A．2x+1≤-3        B．2x-1≥-3       C．-2x+1≥3      D．-2x-1≤3

5.下列各数中，不是不等式2-3x＞5的解的是（    ）

A．-2             B．-3          C．-1          D．1.35

6．如果关于x的不等式（a－1）x＞a－1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（    ）

A．a≤1        B．a≥1        C．a＜1          D．a＜0

7.下列说法正确的有（    ）                                                                                                            

①4是x－3＞1的解；②不等式x－2＜0的解有无数个；③x＞5是不等式x+2＞3的解集；④x=3是不等式x+2＞1的解；⑤不等式x+2＜5有无数个正整数解．                                              

  A．1个          B．2个        C．3个      D．4个

8.写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：_________．                                   

9.当a ________ 时，不等式（a－1）x＞1的解集是x

10.某中学初中生在做练习册作业上解一个一元一次不等式时，发现不等式右边的一个数被墨迹污染看不清了，所看到的不等式是1－3x＜▇，他查看练习本后的【答案】知道，这个不等式的解集是x＞5，那么被污染的数是 __________ ．

11.定义一种新的运算：a※b=2a+b，已知关于x不等式x※k≥-1的解集在数轴上表示如图，则k= __________

12.利用不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，并将解集在数轴上表示出来．

(1)x－1＜－2.　　　　 (2)－2x≤6.

(3)3x－1>4;            (4)1－x≤3.

13.已知x=3是关于x的不等式3x的解，求a的取值范围.                                             

      【过关检测】

1．不等式x－2＜1的解集为(   )

A．x＜3　　　　　　B．x＜－1

C．x＞3　　　　　　D．x＞2

2．用不等式表示如图所示的解集正确的是(   )

A．x＞2     B．x≥2

C．x＜2     D．x≤2

3.将四个数π，，和表示在数轴上，位于图中表示的解集中的数是(    )

A．π    B．    C．    D．

4．下列哪个数是不等式2(x－1)＋3＜0的一个解(   )

A．－3　     B．－     C．    D．2

5.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1 g，则物体A的质量m(g)的取值范围在数轴上可表示为(   )

6.一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以

是(   )

A．x＋2＞0　     B．x－2＜0

C．2x≥4　      D．2－x＜0

7.如图，数轴上所表示的x的取值范围为____．

8.2____不等式2(x－1)＋5＞3x的解．(填“是”或“不是”)

9.若关于x的不等式2x－m≥1的解集如图所示，则m＝____．

10．下列数值－2，－1.5，－1，0，1，1.5，2中能使1－2x＞0成立的个数有____个．

11.若不等式ax－2＞0的解集为x＜－2，求关于y的方程ay+2=0的解.                                                                                

12.已知关于x的不等式(x－5)(ax－3a＋4)≤0.

(1)若x＝2是该不等式的解，求a的取值范围；

(2)在(1)的条件下，且x＝1不是该不等式的解，求符合题意的一个无理数a.

13.请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：

因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，

所以|x|＜3的解集是－3＜x＜3；

因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小于－3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，

所以|x|＞3的解集是x＜－3或x＞3.

解答下面的问题：

(1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为________；不等式|x|＞a(a＞0)的解集为________．

(2)解不等式|x－5|＜3.

(3)解不等式|x－3|＞5.