第10讲 不等关系

第10讲 不等关系

       【学习目标】

1．理解不等式的定义，并会依据不等式定义判断是不是不等式。

2．要求会列不等式，表示不等关系式常见的符号必须掌握，也必须能根据实际应用列不等式。

        【基础知识】

1. 不等式的定义

一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做不等式。

注意：用符号≠连接的式子也是不等式。

2.用符号表示不等关系式

3.用适当的符号表示关系 

先找出不等关系式，根据不等关系式去列不等式

 【考点剖析】

考点一：不等式的定义

例1．在数学表达式：（1）﹣3＜0（2）3x+5＞0（3）x2﹣6（4）x=﹣2（5）y≠0（6）x≥50中，不等式的个数是（）

A．2个           B．3个             C．4个                D．5个

【答案】C．

【解析】主要依据不等式的定义,用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．

解答：解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（5），（6）为不等式，共有4个．故选C．

点评：本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．

考点二：列不等式

例2．表示下列关系：

(1)x的与－5的和是非负数；

(2)y的3倍与9的差不大于－1.

【答案】见解析．

【解析】(1)根据题意得：x－5≥0；

(2)根据题意得：3y－9≤－1.

        【真题演练】

1．下列各式中：①－5＜7；②3y－6＞0；③a＝6；④2x－3y；⑤a≠2；⑥7y－6＞y＋2，不等式有(    )

A．2个    B．3个　

C．4个    D．5个

【答案】C

【解析】数学表达式①－5＜7；②3y－6＞0；⑤a≠2；⑥7y－6＞y＋2是不等式．

2．x≥3的最小值是a，x≤－5的最大值是b，则a＋b＝(  )

A．1    B．－1    C．2    D．－2

【答案】D

【解析】根据题意得：a＝3，b＝－5，则a＋b＝－2.

3．用不等式表示“a的与b的和为正数”，正确的是(   )

A．a＋b＞0    B．(a＋b)>0

C．a＋b≥0　    D．(a＋b)≥0

【答案】A

【解析】用不等式表示“a的与b的和为正数”为a＋b＞0.

4.数x不小于3是指(  )

A．x≤3        B．x≥3

C．x＞3       D．x＜3

【答案】B

【解析】数x不小于3是指x≥3.

5.如果莱州市2020年6月1日最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天莱州市气温t(℃)的变化范围是(   )

A．t＞33       B．t≤33

C．24＜t＜33      D．24≤t≤33

【答案】D

【解析】由题意知：莱州市的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天莱州市的气温t(℃)的变化范围为：24≤t≤33.

6．若a的3倍与2的差是负数，则可列出不等式____．

【答案】3a－2＜0.

【解析】由题意得：3a－2＜0.

7.有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120 mg(包括90 mg和120 mg)，分2～3次服用．”若一次服用这种药品的剂量为a mg，则a的取值范围为____．

【答案】30≤t≤60.

【解析】由题意，当每日用量90 mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小，为30 mg；

当每日用量120 mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大，为60 mg.

故一次服用这种药品的剂量范围是30 mg～60 mg.

8.用适当的符号表示下列关系：

(1)x的3倍与x的2倍的和是正数；

(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；

(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；

(4)明天下雨的可能性不小于70%；

(5)小明的体重不比小刚轻．

【答案】见解析

【解析】(1)3x＋2x＞0；

(2)设炮弹的杀伤半径为r米，r≥300；

(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，3a＋4b≤268；

(4)用P表示明天下雨的可能性，P≥70%；

(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，a≥b.

      【过关检测】

1．某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（  ）

A．t＞33          B．t≤24           C．24＜t＜33           D．24≤t≤33

【答案】D

【解析】解：由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间，∴该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33；故选D．

点评：此题主要考查不等式的性质及现实生活中的简单应用，比较简单．

2．一种牛奶包装盒标明“净重300g，蛋白质含量≥2.9%”．那么其蛋白质含量为（ ）

A．2.9%及以上     B．8.7g            C．8.7g及以上          D．不足8.7g

【答案】C

【解析】

因为蛋白质含量≥2.9%，所以其最低含量为2.9%，计算300×2.9%即可得到蛋白质含量．解答：解：根据净重300g，蛋白质含量≥2.9%，得蛋白质含量≥300×2.9%=8.7．故选C．

点评：理解大于等于的含义，判断出蛋白质含量的最小值，再进行计算．

3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（ ）

A．﹣8＜x＜8      B．x＜﹣8或x＞8   C．x＜8                D．x＞8

【答案】A．

【解析】根据到原点的距离小于8，即绝对值小于8．显然是介于﹣8和8之间．解答：解：依题意得：|x|＜8

∴﹣8＜x＜8选A

点评：本题考查的是数轴的对称性，在数轴上以原点为中心，两边关于原点对称．

4．若m是非负数，则用不等式表示正确的是（ ）

A．m＜0          B．m＞0            C．m≤0               D．m≥0

【答案】D．

【解析】解：非负数即正数或0，即＞或等于0的数，则m≥0．故选D．点评：本题主要考查了非负数的定义．

5.下列不等关系一定正确的是（）

A．|a|＞0         B．﹣x2＜0          C．（x+1）2≥0         D．a2＞0

【答案】C．

【解析】

考点：不等式的定义；非负数的性质：偶次方．分析：根据绝对值及完全平方式的性质求解．解答：解：A、|a|≥0，错误；B、﹣x2≤0，错误；C、（x+1）2≥0，正确；D、a2

≥0，错误，故选C．

点评：本题考查了不等式的定义及非负数的性质，属于基础题比较简单．

6.把一些书分给几名同学，若每人分11本，则有剩余，若(　　)，依题意，设有x名同学，可列不等式7(x＋4)＞11x.(    )

A．每人分7本，则剩余4本　

B．每人分7本，则剩余的书可多分给4个人

C．每人分4本，则剩余7本　

D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分4本

【答案】B．

【解析】由不等式7(x＋4)＞11x可得，把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分4个人；若每人分11本，则有剩余．

7.①－2＜0；②2x＞3；③2≠3；④2x2－1；⑤x≠－5中是不等式的有____(填序号).

【答案】①，②，③，⑤

【解析】由不等式的定义可知①，②，③，⑤是不等式．

8.一罐饮料净重500克，罐上标注脂肪含量≤0.5%，则这罐饮料中脂肪含量最多_________克．

【答案】2.5

【解析】求出这罐饮料中脂肪含量是0.5%时，脂肪的含量即可得到．解答：解：500×0.5%=2.5（克）．故答案是：2.5．

点评：本题考查了不等式，理解脂肪含量≤0.5%的含义是关键．

9．某日最低气温为零下6℃，记为﹣6℃，最高气温为零上2℃，则这日气温x（℃）的取值范围是_________．

【答案】﹣6≤x≤2．

【解析】根据最低气温与最高气温的值列出关于x的不等式即可．解答：解：∵某日最低气温为零下6℃，记为﹣6℃，最高气温为零上2℃，∴这日气温x（℃）的取值范围是：﹣6≤x≤2．故答案为：﹣6≤x≤2．

点评：本题考查的是不等式的定义，即凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．

10.k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_________．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）

【答案】﹣1＜k≤3．

【解析】根据不大于意思是小于或等于以及大于的意思列出不等式即可．解答：解：根据题意，得﹣1＜k≤3．故填﹣1＜k≤3．

点评：此题考查了不等式的定义，解题时要读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．

11．用适当的不等式表示下列数量关系：

(1)x与－6的和大于2；

(2)x的2倍与5的差是负数；

（3）5a与6b的差是非正数

（4）x的4倍小于3

【答案】见解析．

【解析】(1)根据题意得：x－6＞2；

(2)由题意得：2x－5＜0；

（3）由题意得：5a－6b≤0.

（4）由题意得：4x＜3.

12.(素养提升题)阅读下面的材料：

小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：

若A－B＞0，则A＞B；若A－B＝0，则A＝B；若A－B＜0，则A＜B.

下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与2－的大小．

解：∵－(2－)＝－2＋＝2－2＞0，

∴________2－.

回答下面的问题：

(1)请完成小明的解题过程；

(2)试比较2(x2－3xy＋4y2)－3与3x2－6xy＋8y2－2的大小(写出相应的解答过程).

【答案】（1）＞       （2）2(x2－3xy＋4y2)－3＜3x2－6xy＋8y2－2.   过程见解析

【解析】(1)根据题意可知：若A－B＞0，则A＞B，

∵－(2－)＞0，∴＞2－.

(2)2(x2－3xy＋4y2)－3－(3x2－6xy＋8y2－2)

＝2x2－6xy＋8y2－3－3x2＋6xy－8y2＋2

＝－x2－1.

∵－x2－1＜0，

∴2(x2－3xy＋4y2)－3－(3x2－6xy＋8y2－2)＜0.

∴2(x2－3xy＋4y2)－3＜3x2－6xy＋8y2－2.