第10讲 不等关系
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【学习目标】
1.理解不等式的定义,并会依据不等式定义判断是不是不等式。
2.要求会列不等式,表示不等关系式常见的符号必须掌握,也必须能根据实际应用列不等式。
【基础知识】
- 不等式的定义
一般地,用符号“<”(或≤),“>”(或≥)连接的式子叫做不等式。
注意:用符号≠连接的式子也是不等式。
2.用符号表示不等关系式
3.用适当的符号表示关系
先找出不等关系式,根据不等关系式去列不等式
【考点剖析】
考点一:不等式的定义
例1.在数学表达式:(1)﹣3<0(2)3x+5>0(3)x2﹣6(4)x=﹣2(5)y≠0(6)x≥50中,不等式的个数是()
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C.
【解析】主要依据不等式的定义,用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断.
解答:解:根据不等式的定义,只要有不等符号的式子就是不等式,所以(1),(2),(5),(6)为不等式,共有4个.故选C.
点评:本题考查不等式的识别,一般地,用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别常见不等号:>、<、≤、≥、≠.
考点二:列不等式
例2.表示下列关系:
(1)x的与-5的和是非负数;
(2)y的3倍与9的差不大于-1.
【答案】见解析.
【解析】(1)根据题意得:x-5≥0;
(2)根据题意得:3y-9≤-1.
【真题演练】
1.下列各式中:①-5<7;②3y-6>0;③a=6;④2x-3y;⑤a≠2;⑥7y-6>y+2,不等式有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】数学表达式①-5<7;②3y-6>0;⑤a≠2;⑥7y-6>y+2是不等式.
2.x≥3的最小值是a,x≤-5的最大值是b,则a+b=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】D
【解析】根据题意得:a=3,b=-5,则a+b=-2.
3.用不等式表示“a的与b的和为正数”,正确的是( )
A.a+b>0 B.(a+b)>0
C.a+b≥0 D.(a+b)≥0
【答案】A
【解析】用不等式表示“a的与b的和为正数”为a+b>0.
4.数x不小于3是指( )
A.x≤3 B.x≥3
C.x>3 D.x<3
【答案】B
【解析】数x不小于3是指x≥3.
5.如果莱州市2020年6月1日最高气温是33℃,最低气温是24℃,则当天莱州市气温t(℃)的变化范围是( )
A.t>33 B.t≤33
C.24<t<33 D.24≤t≤33
【答案】D
【解析】由题意知:莱州市的最高气温是33℃,最低气温24℃,所以当天莱州市的气温t(℃)的变化范围为:24≤t≤33.
6.若a的3倍与2的差是负数,则可列出不等式____.
【答案】3a-2<0.
【解析】由题意得:3a-2<0.
7.有一种感冒止咳药品的说明书上写着:“每日用量90~120 mg(包括90 mg和120 mg),分2~3次服用.”若一次服用这种药品的剂量为a mg,则a的取值范围为____.
【答案】30≤t≤60.
【解析】由题意,当每日用量90 mg,分3次服用时,一次服用的剂量最小,为30 mg;
当每日用量120 mg,分2次服用时,一次服用的剂量最大,为60 mg.
故一次服用这种药品的剂量范围是30 mg~60 mg.
8.用适当的符号表示下列关系:
(1)x的3倍与x的2倍的和是正数;
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米;
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元;
(4)明天下雨的可能性不小于70%;
(5)小明的体重不比小刚轻.
【答案】见解析
【解析】(1)3x+2x>0;
(2)设炮弹的杀伤半径为r米,r≥300;
(3)设每件上衣为a元,每条长裤是b元,3a+4b≤268;
(4)用P表示明天下雨的可能性,P≥70%;
(5)设小明的体重为a千克,小刚的体重为b千克,a≥b.
【过关检测】
1.某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,则该市气温t(℃)的变化范围是( )
A.t>33 B.t≤24 C.24<t<33 D.24≤t≤33
【答案】D
【解析】解:由题意,某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,说明其它时间的气温介于两者之间,∴该市气温t(℃)的变化范围是:24≤t≤33;故选D.
点评:此题主要考查不等式的性质及现实生活中的简单应用,比较简单.
2.一种牛奶包装盒标明“净重300g,蛋白质含量≥2.9%”.那么其蛋白质含量为( )
A.2.9%及以上 B.8.7g C.8.7g及以上 D.不足8.7g
【答案】C
【解析】
因为蛋白质含量≥2.9%,所以其最低含量为2.9%,计算300×2.9%即可得到蛋白质含量.解答:解:根据净重300g,蛋白质含量≥2.9%,得蛋白质含量≥300×2.9%=8.7.故选C.
点评:理解大于等于的含义,判断出蛋白质含量的最小值,再进行计算.
3.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足( )
A.﹣8<x<8 B.x<﹣8或x>8 C.x<8 D.x>8
【答案】A.
【解析】根据到原点的距离小于8,即绝对值小于8.显然是介于﹣8和8之间.解答:解:依题意得:|x|<8
∴﹣8<x<8选A
点评:本题考查的是数轴的对称性,在数轴上以原点为中心,两边关于原点对称.
4.若m是非负数,则用不等式表示正确的是( )
A.m<0 B.m>0 C.m≤0 D.m≥0
【答案】D.
【解析】解:非负数即正数或0,即>或等于0的数,则m≥0.故选D.点评:本题主要考查了非负数的定义.
5.下列不等关系一定正确的是()
A.|a|>0 B.﹣x2<0 C.(x+1)2≥0 D.a2>0
【答案】C.
【解析】
考点:不等式的定义;非负数的性质:偶次方.分析:根据绝对值及完全平方式的性质求解.解答:解:A、|a|≥0,错误;B、﹣x2≤0,错误;C、(x+1)2≥0,正确;D、a2
≥0,错误,故选C.
点评:本题考查了不等式的定义及非负数的性质,属于基础题比较简单.
6.把一些书分给几名同学,若每人分11本,则有剩余,若( ),依题意,设有x名同学,可列不等式7(x+4)>11x.( )
A.每人分7本,则剩余4本
B.每人分7本,则剩余的书可多分给4个人
C.每人分4本,则剩余7本
D.其中一个人分7本,则其他同学每人可分4本
【答案】B.
【解析】由不等式7(x+4)>11x可得,把一些书分给几名同学,若每人分7本,则可多分4个人;若每人分11本,则有剩余.
7.①-2<0;②2x>3;③2≠3;④2x2-1;⑤x≠-5中是不等式的有____(填序号).
【答案】①,②,③,⑤
【解析】由不等式的定义可知①,②,③,⑤是不等式.
8.一罐饮料净重500克,罐上标注脂肪含量≤0.5%,则这罐饮料中脂肪含量最多_________克.
【答案】2.5
【解析】求出这罐饮料中脂肪含量是0.5%时,脂肪的含量即可得到.解答:解:500×0.5%=2.5(克).故答案是:2.5.
点评:本题考查了不等式,理解脂肪含量≤0.5%的含义是关键.
9.某日最低气温为零下6℃,记为﹣6℃,最高气温为零上2℃,则这日气温x(℃)的取值范围是_________.
【答案】﹣6≤x≤2.
【解析】根据最低气温与最高气温的值列出关于x的不等式即可.解答:解:∵某日最低气温为零下6℃,记为﹣6℃,最高气温为零上2℃,∴这日气温x(℃)的取值范围是:﹣6≤x≤2.故答案为:﹣6≤x≤2.
点评:本题考查的是不等式的定义,即凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.
10.k的值大于﹣1且不大于3,则用不等式表示k的取值范围是_________.(使用形如a≤x≤b的类似式子填空.)
【答案】﹣1<k≤3.
【解析】根据不大于意思是小于或等于以及大于的意思列出不等式即可.解答:解:根据题意,得﹣1<k≤3.故填﹣1<k≤3.
点评:此题考查了不等式的定义,解题时要读懂题意,抓住关键词语,弄清不等关系,才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
11.用适当的不等式表示下列数量关系:
(1)x与-6的和大于2;
(2)x的2倍与5的差是负数;
(3)5a与6b的差是非正数
(4)x的4倍小于3
【答案】见解析.
【解析】(1)根据题意得:x-6>2;
(2)由题意得:2x-5<0;
(3)由题意得:5a-6b≤0.
(4)由题意得:4x<3.
12.(素养提升题)阅读下面的材料:
小明在学习了不等式的知识后,发现如下正确结论:
若A-B>0,则A>B;若A-B=0,则A=B;若A-B<0,则A<B.
下面是小明利用这个结论解决问题的过程:试比较与2-的大小.
解:∵-(2-)=-2+=2-2>0,
∴________2-.
回答下面的问题:
(1)请完成小明的解题过程;
(2)试比较2(x2-3xy+4y2)-3与3x2-6xy+8y2-2的大小(写出相应的解答过程).
【答案】(1)> (2)2(x2-3xy+4y2)-3<3x2-6xy+8y2-2. 过程见解析
【解析】(1)根据题意可知:若A-B>0,则A>B,
∵-(2-)>0,∴>2-.
(2)2(x2-3xy+4y2)-3-(3x2-6xy+8y2-2)
=2x2-6xy+8y2-3-3x2+6xy-8y2+2
=-x2-1.
∵-x2-1<0,
∴2(x2-3xy+4y2)-3-(3x2-6xy+8y2-2)<0.
∴2(x2-3xy+4y2)-3<3x2-6xy+8y2-2.
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