专题27.45 《相似》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

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专题27.45《相似》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．若，则下列等式成立的是（    ）A． B． C． D．2．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（    ）A． B． C． D．3．如图，在中，，点D为的中点，∥交于点E，连接，若，，则的长为（    ）A．12 B．20 C．24 D．264．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（    ）A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．：15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（    ）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBAC． D．6．如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（   ）A． B．8 C． D．107．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（  ）A． B． C． D．8．如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=6，直线与BC、AD、AC分别相交于E、F、P点，且AF=2，∠BEF=60o，则AP长为（   ）A． B． C． D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则的值为（　　）A． B． C． D．10．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点的坐标为(   )A． B． C．或 D．或二、填空题11．已知：，则 的值是_______.12．把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为_______．14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．15．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．16．如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______．17．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．18．如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为_______．三、解答题19．已知a，b，c为的三边，且，.(1) 求a，b，c的值；(2) 判断的形状.20．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到．如图，AD平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且．（1）求证：．（2）若，求BD的长．22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1) 求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．24．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．参考答案1．D【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．解：A.由，可得，不符合题意；B.由，可得，不符合题意；C.由，可得，不符合题意；D.由，可得，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．2．B【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB；∴AP＝2×＝ ．故选：B．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．3．C【分析】根据题意可知为的中位线，根据等腰三角形的性质可得，勾股定理解即可求解．解：点D为的中点，，∥，，，，，，，在中，，故选C．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，勾股定理，求得是中点是解题的关键．4．D【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y=y：，解得x：y= ．故选：D．【点拨】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．5．D【分析】根据作图可知是的角平分线，，根据证明，可得，，根据面积法可得，可得即可判断D选项正确，其他选项无法证明．解：根据作图可知是的角平分线，，，在与中，，，，，，，，，即．A,B,C选项无法证明．故选：D．【点拨】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．6．B【分析】过作垂足分别为由角平分线的性质可得：利用，可以求得 进而求得，利用面积公式列方程求解即可．解：如图，过作垂足分别为 平分 ，设 ，， （负根舍去） 故选：B．【点拨】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．7．B【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故选：B．【点拨】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．8．D【分析】过点F做FH垂直CB，垂足为H，根据计算出，再得出，根据可以得到，再根据勾股定理计算出AC，从而计算出AP的长度．解：过点F做FH垂直CB，垂足为H，∵ABCD为矩形，，∴四边形ABHF是矩形，∴， ∵，，∴，∴，∴，∵ ∴，∵，∴，∴ ，∵，∴，故选：D．【点拨】本题考查矩形的性质、勾股定理和相似三角形的性质，解题的关键是根据计算出EH，从而计算出CE．9．A【分析】由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝k，AD＝AF+FD＝，再利用相似三角形性质即可解决问题．解：由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝k，AD＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DGF，∵∠AFE＝∠GFD，∴△ABF∽△DFG，且∠AFE＝∠GBC，∴△BCG为等腰三角形，即BC＝CG＝AD＝，∵△GFD为等腰三角形，即FD＝GD，∴CD＝CG﹣DG＝，AB∥CD，，∴△ABE∽△CGE，∴．故选：A．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．10．D【分析】分点在y轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出与的长度即可解：如图所示，∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴ 当时；当时，，∴，，∴，，∵与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴ ，，∴，，当点在y轴右侧时，，∴点B的对应点的坐标为；当点在y轴左侧时，，∴点B的对应点的坐标为；综上，点B的对应点的坐标为或．故选D．【点拨】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．11．【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0),故：，故答案：.【点拨】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.12．【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.解：连接CE，设CD=2x，在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，∴∠D=60º，AD=4x，AC=，BC==x，AB=x，∵点E为AD的中点，∴CE=AE=DE==2x，∴ΔCED为等边三角形，∴∠CED=60º，∵∠BAD=∠BAF+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴，在ΔBAE中，∵∠BAF=∠CAD=30º∴AF平分∠BAE，∴，∴，∴，故答案为：.【点拨】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.13．（8，6）或（－16，－6）解：试题分析：直线y=x+1与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣2，0），B（0，1），已知△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，所以==，即可求得O′B′=3，AO′=6，所以B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；位似变换.14．5.5解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，40cm=0.4m，20cm=0.2m，即，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m故答案为：5.5m【点拨】考点：相似三角形15．或【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；由相似三角形的性质列比例式求解即可．解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴，①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴，∴，∴x=，∴AQ=．②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△BQP∽△BCA，∴，∴，∴y=．综上所述，满足条件的AQ的值为或．【点拨】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．16．4【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．解：又设，则．，化简得，整理得，所以当时，y有最大值为4．故答案为4．【点拨】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．17．【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长解：在正方形中，∠BAD=∠D =，∴∠BAM+∠FAM=在Rt中，∵由折叠的性质可得∴AB=BG，∠FBA=∠FBG∴BF垂直平分AG，∴AM=MG，∠AMB=∴∠BAM+∠ABM=∴∠ABM=∠FAM∴∴ ，∴∴AM=,   ∴AG=∴GE=13-【点拨】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键18．16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案．解：在正方形中，，∵绕点逆时针旋转到，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：16．【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．19．（1），，；（2）是直角三角形.【分析】（1）解此类含等比式的题目，解题关键是能否想到设出比例系数k，从而通过解方程组来得到a、b、c和k的值.（2）判断△ABC的形状，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角形，通过计算来判断出a，b，c三者之间的关系.解：（1）∵，∴.设，则解得又∵，∴，解得.∴，，.(2)∵，∴是直角三角形.【点拨】此题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用“设k法”.20．路灯的高CD的长约为6.1m【分析】根据，，，得到，从而得到，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．解：设长为m，，，，，，m，，，即，解得：．经检验，是原方程的解，且符合题意，路灯高的长约为6.1m【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．21．（1）证明见分析；（2）6．【分析】（1）根据AD平分，，，可得，，利用，易证，即有；（2）根据，，可得，即是等腰直角三角形，得到，利用，根据平行线的性质有，即有：．解：（1）∵AD平分，，，∴，，又∵，∴， ∴（2）∵∴又∵，∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴,即有：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，平行线分线段成比例等知识，熟悉相关性质是解题的关键．22．（1）证明见分析（2）证明见分析（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．解：(1)证明：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中, ∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD，∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.23．（1）证明见分析；（2）证明见分析．【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB•AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（1）15°；（2）；（3）【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．解：（1）∵矩形，∴，由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，∴，∴，∴（2）由题意可得，，∴∴∴，∴∴，由勾股定理得，∴，∴；（3）过点作于点．∴又∵∴．∴．∵，即∴，又∵BM平分，，∴NG=AN，∴，∴整理得：．【点拨】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题