九年级下册27.1 图形的相似精练

专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）

一、单选题

1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（APPB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（    ）

A． B． C． D．

2．已知点是线段的黄金分割点，且，，则长是（     ）

A． B． C． D．

3．把米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）

A． B． C． D．

4．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（  ）

A． B． C． D．

5．下列说法正确的是（　　）

A．每条线段有且仅有一个黄金分割点

B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍

C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC

D．以上说法都不对

6．下列说法正确的是（　　）

A．每一条线段有且只有一个黄金分割点

B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍

C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项

D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618

7．下列命题正确的是（    ）

A．任意两个等腰三角形一定相似

B．任意两个正方形一定相似

C．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么

D．相似图形就是位似图形

8．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（  ）

A． B． C． D．

9．已知点把线段分成两条线段、，且，下列说法错误的是（ ）

A．如果，那么线段被点黄金分割

B．如果，那么线段被点黄金分割

C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比

D．是黄金比的近似值

10．等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上的一点，AD=BD，则以下结论中正确的有（　　）

①△BCD是等腰三角形；②点D是线段AC的黄金分割点；③△BCD∽△ABC；④BD平分∠ABC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，下列结论：

①△ABD，△BCD都是等腰三角形；

②AD=BD=BC；

③BC2=CD•CA；

④D是AC的黄金分割点

其中正确的是（  ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题

12．在线段上，点把线分成两条线段和，若，则点叫做线段的黄金分割点．若点是线段的黄金分割点（），当时，的长是__________．

13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．

14．把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.

15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若数，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）

16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC=          .

17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．

18．已知线段，点是线段的黄金分割点（），那么线段______.（结果保留根号）

19．已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段＝ ___；＝______．

20．黄金分割比是，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 　　　　　　．

21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．

22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．

三、解答题

23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？

24．已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点.

25．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求: 的值；

（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．

26．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为　　（填一个实数）：

（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．

求证：点E是线段AB的黄金分割点．

27．某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到)米． (，结果精确到)．

28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．

(1)证明：ΔABE≌ΔCAD．

(2)若CE=CP，求证∠CPD=∠PBD．

(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.

参考答案

1．A

【分析】

根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．

【详解】

解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），

∴AP=AB，

∵AB的长度为8cm，

∴AP=×8=（cm），

∴BP=AB-AP=8-（）=．

故选：A．

【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB．

2．C

【分析】

利用黄金分割比的定义即可求解.

【详解】

由黄金分割比的定义可知

∴

故选C

【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.

3．A

【分析】

根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.

【详解】

解: 较短的线段长=2 (1-)

=2-+1=3-.

故选A.

【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值 () 是解题的关键.

4．A

【分析】

根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度．

【详解】

解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且，
则．
故选：A．

【点拨】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．

5．B

【分析】

根据黄金分割的定义分别进行解答即可．

【详解】

A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；

B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；

C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．

故选B．

【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

6．D

【分析】

根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.

【详解】

解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；
B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；
C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；
D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；
故选D．

【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键．

7．B

【分析】

根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项．

【详解】

解：A、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误；

B、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；

C、如果C点是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么，故原命题错误；

D、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误；

故选B．

【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键．

8．C

【分析】

根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．

【详解】

解：根据黄金比的比值，，

则，

…

依此类推，则线段，

故选C．

【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．

9．C

【解析】

【分析】

根据黄金分割的定义判断即可.

【详解】

根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;
C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.
所以C选项是正确的.

【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.

10．D

【详解】

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=（180°-36°）=72°，∵AD=BD，∴∠DBA=∠A=36°，∴∠BDC=2∠A=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BCD为等腰三角形，所以①正确；∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC，∴BD平分∠ABC，所以④正确；∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ABC，所以③正确；∴BD：AC=CD：BD，而AD=BD，∴AD：AC=CD：AD，∴点D是线段AC的黄金分割点，所以②正确．故选D.

11．D

【解析】

试题分析：在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．

解：如图，∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，

∴AD=BD，

∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，

∴BC=BD，

∴△ABD，△BCD都是等腰三角形，故①正确；

∴BC=BD=AD，故②正确；

∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

∴，

即BC2=CD•AC，故③正确；

∵AD=BD=BC，

∴AD2=AC•CD=（AD+CD）•CD，

∴AD=CD，

∴D是AC的黄金分割点．故④正确，

故选D．

考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．

12．

【分析】

根据若点是线段的黄金分割点（），则 =计算即可．

【详解】

当PM＞PN时，PM=MN=，
故答案为：．

【点拨】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．

13．6.2

【分析】

黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．

【详解】

由题意知AC:AB=BC:AC，

∴AC:AB≈0.618，

∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)

故答案为6.2.

【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.

14．米

【解析】

【分析】

把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．

【详解】

解：∵将长度为2米的线段进行黄金分割，
∴较长的线段==（米），

故答案为：米.

【点拨】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解的关键．

15．0.62

【分析】

把黄金分割比例按要求进行计算即可．

【详解】

解：∵（称为黄金分割比例），，

∴≈≈0.62，

故答案为：0.62．

【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．

16．

【解析】

17．cm．

【解析】

根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．

解：较长线段的长=×4=（2）cm．
故答案为（2）cm．

18．

【分析】

根据黄金比值为计算即可.

【详解】

解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）

∴

故答案为：.

【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.

19．cm    cm   

【分析】

根据黄金分割的概念得到较长线段PA=AB，则PB=AB-PA=AB，然后把AB=2cm代入计算即可．

【详解】

解：∵P是AB的黄金分割点，

∴较长线段PA=AB，

∴PB=AB-PA=AB，

而AB=2cm，

∴PA=cm，PB=cm．

故答案为：cm；cm．

【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．

20．0.6180

【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．

所以0.61803398…≈0.6180

21．

【分析】

根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC＝AB，代入数据即可得出AC的值．

【详解】

解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，

且AC＜BC，BC为较长线段；

则BC＝10×＝5﹣5．

故答案为：．

【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

22．﹣5

【解析】

∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，

∴AP=AB，

∵AB=10cm，

∴AP=.

故答案为．

点睛：若点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则AP2=BP·AB，即AP=AB.

23．C、D是黄金分割点.

【解析】

【分析】

根据题意求出AC与AB的关系，计算出AD与AB的关系，根据黄金比值进行判断即可．

【详解】

解：C、D是黄金分割点，

∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，

∴AC＝AB，

AD＝AC+CD＝AB+(﹣2)AB＝AB，

∴D是AB的黄金分割点，

同理C也是AB的黄金分割点．

【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.

24．见解析

【解析】

试题分析：先求得AM=，即可得到，结论得证。

∵MN=1，AN=

∴AM=

∵

∴点A是MN的黄金分割点

考点：本题考查了黄金分割

点评：解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的。

25．（1）;（2）6.

【分析】

（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.

(2)根据黄金比值是计算即可．

【详解】

（1）∵

即

化简得x2+x=5

∴=-x2-x+4=-5+4=-1

（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，

∴BC＝AB=2()cm,

则AC＝4−2（）＝6.

【点拨】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.

26．（1）；（2）见解析

【分析】

（1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；

（2）设BC=a，根据题意用a表示出AB、AC，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．

【详解】

解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1﹣x，

根据题意得，，

解得，（舍去），

故，

故答案为：；

（2）设BC=a，则AB=2a，

则AC=a，

由题意得，CD=BC=a，

∴AE=AD=a﹣a，

BE=AB﹣AE=3a﹣a，

∴=，=，

∴=，即点E是线段AB的黄金分割点．

【点评】

本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．

27．

【分析】

设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可．

【详解】

解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．
依题意，得

解得（不合题意，舍去）．

经检验，是原方程的根．

雕像下部设计的高度应该为：1.236m

故答案为：1.236m

【点拨】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．

28．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可证明ΔABE≌ΔCAD；

（2）设则由等边对等角可得可得以及，故；

（3）可证可得，故由于可得，根据黄金分割点可证点是的黄金分割点；

【详解】

证明：

(1) ∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，

在ΔABE与ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，

∴△AEB≌△CDA；

（2）由（1）知，

则，

设，

则，

∵，

∴，

∴，

又，

∴；

（3）在和中，

，，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴点是的黄金分割点；

【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键