初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例同步练习题

专题27.31 相似三角形几何模型-X型图（巩固篇）

（专项练习）

一、单选题

1．如图所示，、相交于点，连接，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（          ）

A． B． C． D．

2．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．如图，与相交于点，．若，则为（ ）

A． B． C． D．

4．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　）

A．甲与丙相似，乙与丁相似            B．甲与丙相似，乙与丁不相似

C．甲与丙不相似，乙与丁相似          D．甲与丙不相似，乙与丁不相似

5．在梯形中，，，，两腰延长线交于点，过作的平行线，交、延长线于、，等于（ ）

A． B． C． D．

6．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）

A． B． C． D．

7．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，，则（　　）

A． B． C． D．

8．如图，在口ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么SΔBEF：SΔBCF=（          ）

A．1：6 B．1：4 C．1：3 D．1：2

9．如图，AB//CD，AD与BC交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则CD的长度不可能为(          )

A．5              B．7             C．9             D．11

10．如图，矩形中，，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．

12．如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有_____对．

13．如图，在中，点D，E分别是AB，BC上的点，且，AE，CD相交于点F，若，则=________.

14．如图，在中，两条DA中线BE，CD相交于点O，则和的周长之比是________.

15．如图，正方形的面积为2，是的中点，则图中阴影部分的面积是______.

16．如图，AC、BD相交于点O，分别联结AB、DC，如果，，，，那么______．

17．如图，梯形ABCD中，，且AD：：3，对角线AC，BD交于点O，那么：：______．

18．如图在矩形ABCD 中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为_______．

19．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB=6，则AG=_____．

20．如图，已知AB∥CD，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC交AB于点E，E为AB中点，交AC于点F，则=_____．

三、解答题

21．如图，//，于点O，，，，求的长．

22．如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知．

（1）求证：；

（2）若ABCD为平行四边形，，，求FD的长度．

23．探究：如图①，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点M．求证：．

应用：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD相交于点M，连结AC．若ME＝3，则AC的长为　   　．

24．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．

问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若         （填序号）

求证：．

25．如图，在中，，，CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点（不与点C，点D重合），连接BE，作与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．

(1) 求证：；(2) 求证：；(3) 求的值．

26．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．

(1) 求证：△DMN∽△BCN；

(2) 求BD的长；

(3) 若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．

参考答案

1．D

【分析】

要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，而对应边所夹的角则必是其相等的角，否则不能得到其相似．

解：由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，

所以题中选项A、B、C均符合题意，

而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似．

故选D．

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定问题，能够熟练掌握．

2．C

【分析】

根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．

解：由题意得：，，，，，

∵∠A=30°，∠ACB=90°

∴∠B=60°

∵

∴是等边三角形

∴

∴，∠，

∴∥BC

∵∠ACB=90°

∴

∴与相似的三角形有、△ABC、、

所以有4个

故选：C

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．

3．D

【分析】

由AD∥BC可证明△ADE∽△CBE，再由相似三角形的性质就可以得出结论.

解：∵AD∥BC.

∴△ADE∽△CBE，

，

∵AE:EC=1:2

，

故选D.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方的运用．解答本题求出两三角形相似是关健.

4．A

【分析】

利用已知条件得到即，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．

解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，

即，

而∠AOB＝∠COD，

∴△AOB∽△COD，

∵，

∴，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴△AOC∽△BOD．

故选：A．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．

5．B

【分析】

根据已知可求得△MCD∽△MAB，从而求出BM：BD的值，又由△BCD∽△BEM，从而根据相似三角形的边对应边成比例求得EM的值，进而求得EF的值．

解：∵AB∥CD，

∴△MDC∽△MBA，

∴MC：MA=CD：AB=b：a，

∴BM：BD=a：（a-b）．

在△BEM中，∵DC∥FM，∴BD：BM=CD：EM，

∴EM= =   ，

同理，EM=FM，所以EF=，

故选B.

【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.

6．A

【分析】

由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长.

解：∵，∠BDE=∠ADC，

∴△BDE∽△ACD，

∴DC：BD=AD：DE，

∵，，AB=AD+BD，

∴AD=4，BD=6，

∴DC== = ，

故选A.

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键.

7．C

【分析】

由于平行线之间的距离处处相等，则根据三角形面积公式得到,再证明△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得到利用比例的性质得到，然后根据三角形面积公式求解．

解：∵AD∥BC，

∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离相等，

∴

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴

故选:C．

【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

8．D

【分析】

证明△EBF∽△CDF，得到EF:CF=BE:CD=1:2，△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，由此即可求解．

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BECD，

∴∠BEC=∠DCF，∠EBF=∠CDF，

∴△EBF∽△CDF，

∴，

△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，

∴，

故选：D．

【点拨】本题考查相似三角形的判定及性质，本题的关键是能根据平行四边形的性质得到△EBF∽△CDF，进而求出对应边之比，然后再根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比求解．

9．D

【分析】

由AB//CD可得，根据相似三角形对应边成比例列式可得CO的长，再根据三角形三边关系进行判断即可．

解：∵AB∥CD，

∴

∴；

∵AO=2，DO=4，BO=3，

∴，解得：CO=6，

当CD=5时，能构成三角形，故不符合题意；

当CD=7时，能构成三角形，故不符合题意；

当CD=9时，能构成三角形，故不符合题意；

当CD=11时，不能构成三角形，故符合题意；

故选：D．

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识．掌握相似三角形对应边成比例列式可得CO的长是解题的关键．

10．C

【分析】

根据矩形的性质可求BD，，从而得到QC，由勾股定理即可求解；

解：∵在矩形中，，，

∴

∵AB∥CD，

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

故选：C．

【点拨】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．

11．.

【分析】

根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．

解：∵∠AEC＝∠BED，

∴当时，△BDE∽△ACE，

即

∴CE＝

故答案为．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．

12．3

【分析】

根据平行线法进行判断．

解：∵AB∥CD，

∴△AEO∽△CFO，△BEO∽△DFO，△ABO∽△CDO，共有3对．

故答案是：3．

【点拨】考查相似三角形的判定，解题的关键是利用了平行线判定三角形相似..

13．1：16

【分析】

由三角形的面积关系得出BE：CE=1：3，得出BE：BC=1：4，由平行线得出DE：AC=BE：BC=1：4，△DEF∽△AFC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．

解：∵S△BDE：S△DEC=1：3，

∴BE：CE=1：3，

∴BE：BC=1：4，

∵DE∥AC，

∴DE：AC=BE：BC=1：4，

∴△DEF∽△CAF，

∴.

故答案为1：16．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的面积关系；熟练掌握相似三角形的判定，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．

14．1:2

【分析】

根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．

解：∵CD，BE是的两条中线，

∴DE是的中位线，

∴，，可得，

∴的周长：的周长.

【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

15．

【分析】

根据正方形的性质可得到△AMG∽△CDG，根据相似三角形的边对应边成比例，求得GH，GF的长，从而即可求得阴影部分的面积．

解：如图，过点G作HF⊥AB．

∵AM∥CD，∴∠DCG=∠GAM，∠CDG=∠GMA，∴△AMG∽△CDG，∴AM：DC=GH：GF=1：2，HF=AD ．

设HF=AD=a，∴GH，GF，AM=，DC=a， ，∴阴影部分的面积=S正方形ABCD﹣S△AMG﹣S△CDG﹣S△MBC====．

故答案为．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．

16．3

【分析】

由，得到∽DCO，然后列出方程求出OC的长．

解：，，

∽DCO，

，

，

．

故答案为3．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确找出三角形相似列出方程是解题的关键．

17．1：9：3

【分析】

先根据AD∥BC,可判定△AOD∽△COB, 由于AD：BC=1：3,可得OD：OB=AD：BC=1：3,根据等高的两个三角形,两个三角形的面积比等于对应的底边之比,可得S△AOD：S△AOB=1：3,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方倍可得S△AOD：S△BOC=1：9.

解：∵梯形ABCD中,AD∥BC,

∴△AOD∽△COB,

∵AD：BC=1：3,

∴OD：OB=AD：BC=1：3,

∴S△AOD：S△AOB=1：3,

∴S△AOD：S△BOC=1：9,

∴S△AOD：S△BOC：S△AOB =1：9：3,

故答案为:1:9:3.

【点拨】本题主要考查三角形的面积比,解决本题的关键是要掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方倍,非相似三角形,在等高的情况下,两三角形的面积比等于对应的底边之比.

18．cm

分析：EF是BD的垂直平分线，则OB＝OD，进而可以判定△BOF≌△DOE，得OE＝OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的长，根据FO即可求EF的长．

解：∵EF是BD的垂直平分线，

∴OB＝OD，

∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，

∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，

∵∠OBF＝∠ABD，

∴△BOF∽△BAD

∴＝，

∵BD＝＝10cm，

∴BO＝5cm，

∴FO＝5×cm＝cm，

∴EF＝2FO＝cm．

故答案为：cm．

【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BD的长是解题的关键．

19．2

解：过E作EM∥AB与GC交于点M，如图所示：

∴△EMF≌△DGF，

∴EM=GD，

∵DE是中位线，

∴CE=AC，

又∵EM∥AG，

∴△CME∽△CGA，

∴EM：AG=CE：AC=1：2，

又∵EM=GD，

∴AG：GD=2：1．

∵AB=6，

∴AD=3，

∴AG=.

故答案为2.

20．3

解：∵DE∥BC，E为AB中点，∴F是AC的中点，∴AF=FC，EF=BC，

∵DE∥BC，AB∥CD，∴四边形EBCD是平行四边形，

∴ED=BC，∴FD=EF=BC，

∵ED∥BC，∴△DFO∽△BCO，

∴==，∴==，即=3．

故答案为3．

21．

【分析】

先证，得出，即，把已知线段长度代入即可求得OC长，再用勾股定理求解即可．

解：，

∴．

∴，即

∴．

解得．

∵于点O，

∴∠COD=90°，

由勾股定理得．

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用相似三角形的性质求出OC长是解题的关键．

22．（1）见详解；（2）4

【分析】

（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论；

（2）先证明AD∥BE，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解．

（1）证明：∵，∠AFD=∠EFC，

∴；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BE，AB＝CD＝6，

∴AF：EF＝DF：CF，

又∵EF＝2AF，

∴DF：CF＝1：2，即DF＝DC＝4．

【点拨】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．

23．证明见分析     AC=9

【分析】

(1)根据四边形ABCD是平行四边形，从而得到线段间的位置关系，利用三角形相似即可解答.

(2)根据点E、F分别为AB、BC的中点，求出四边形BCDE为平行四边形，再利用中位线即可解答.

探究：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠EBM＝∠ADM，∠BEM＝∠DAM，

∴△EBM∽△ADM，

∴＝．

∵点E为BC的中点，

∴EB＝BC＝AD，

∴＝，

∴＝．

应用：解：∵AB∥CD，AB＝2CD，点E为AB的中点，

∴BE＝AB＝CD，

∴四边形BCDE为平行四边形．

又∵点F为BC的中点，

∴＝．

∵ME＝3，

∴EF＝ME+MF＝3+＝．

∵点E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF为△BAC的中位线，

∴AC＝2EF＝9．

故答案为9．

【点拨】本题是复杂多边形的综合考察，掌握平行四边形判定定理，中位线等知识是解答本题的关键.

24．①，证明见分析或②，证明见分析．

【分析】

若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似．

解：选择条件①的证明为：

∵，

∴，

又∵，

∴；

选择条件②的证明为：

∵，

∴．

【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．

25．(1)见分析(2)见分析(3)

【分析】

(1)得出∠FCG=∠BEG=90°，∠CGF=∠EGB，则结论得证；

(2)证明△CGE∽△FGB即可；

(3)过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H，证明△FEH≌△EBD（AAS），得出FH=ED，则CH=FH，得出CF=DE，则得出答案．

(1)证明：∵，

∴

又∵

∴

(2)解：由(1)得，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

即

(3)解：过点作交的延长线于点，如下图所示，

由(2)知，∠EFB=45°，EF⊥BE，

∴是等腰直角三角形，

∴

∵，

∴

在和中

∴（AAS），

∴，

∵，，

∴，

∴

在中，，

∴，

∴.

【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．

26．(1)见分析(2)6(3)5

【分析】

（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，从而证明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN；

（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；

（3）根据△MND∽△CNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD-S△MND求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△DMN∽△BCN；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，OB=OD＝BD，∵△DMN∽△BCN，∴，∵M为AD中点，∴AD=2DM，∴BC=2DM，∴BN=2DN，设OB=OD=x，∴BD=2x，∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，∴x+1=2（x-1），解得：x=3，∴BD=2x=6，∴BD的长为6；

（3）解：∵△MND∽△CNB，∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，∵△DCN的面积为2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4，∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6，∴S四边形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5，∴四边形ABNM的面积为5．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键．