初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例同步达标检测题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例同步达标检测题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题27.33 相似三角形几何模型-一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（       ）A． B． C． D．2．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，，AB＝6，DE＝2，DF＝3，则BE的长是（       ）A．12 B．15 C． D．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（       ）A． B． C．2 D．34．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝3，AE＝2，∠AED＝∠B，则AD的长为（       ）A． B． C． D．5．如图，在中，，点是边上一点，且，下列说法错误的是（       ）A． B．C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（　　）A．3 B．4 C．5 D．5.57．如图，在等边三角形ABC中，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则ΔABC的边长为（       ）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为(       ) A． B． C． D．9．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（          ）A．4 B． C． D．510．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面米，同时量得米，米，则旗杆高度为（       ）A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米二、填空题11．如图，在矩形中，是上的点，点在上，要使与相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．12．如图，在边长为a的正方形中，E、F分别为边BC和CD上的动点，当点E和点F运动时， AE和EF保持垂直．则①△ABE∽△FCE;②当BE=a时、梯形ABCF的面积最大；③当点E运动到BC中点时Rt ABE∽Rt△AEF;④当Rt ABE∽Rt△AEF时cos∠AFE=其中正确结论的序号是   ．13．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为________．14．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则______．15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为______．16．如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，（1）写出和∠CDE相等的角：______；（2）若AB＝3，BD＝1，则CE长为______．17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=3，AE=4，DE=1.2，则EF=_____．18．如图，是等边三角形的边上一点，且：：，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且：的值为______．19．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为______．20．如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC的中点，则线段ED'的长为 _____．三、解答题21．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．  22．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．(1) 求证：△ABP∽△PCD；(2) 若PC=2，求CD的长．   23．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．(1) 证明：；(2) 若，，求AB的长．  24．如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：．  25．在矩形ABCD中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．    26．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：．                       参考答案：1．B【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，∵P为BC中点，∴BP=PC=AB=3，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，∵∠B=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠EPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴，即，∴，∴DE=CD-CE=，故选：B．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键．2．C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．解：∵，∴，∴，∴，∵矩形ABCD中，∠A=90°，∴，故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解．3．B【分析】先证明△BPD∽△CDQ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BPD+∠BDP=180°-∠B=120°，∵∠PDQ=60°，∴∠BDP+∠CDQ=120°，∴∠BPD=∠CDQ，∵∠B=∠C=60°，∴△BPD∽△CDQ，∴，∴，∴2BP2-8BP+3a=0，∵满足条件的点P有且只有一个，∴方程2BP2-8BP+3a=0有两个相等的实数根，∴△=82-4×2×3a=0，∴a=．故选：B．【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．4．C【分析】由等边对等角可得∠B=∠C，即得出∠C=∠AED．再结合题意易证△EAD∼△CAE，即得出，代入数据即可求出AD的长．解：根据题意可知AB=AC=3，∴∠B=∠C，∵∠B=∠AED，∴∠C=∠AED，又∵∠EAD=∠CAE，∴△EAD∼△CAE，∴，即，解得：,故选C．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．5．D【分析】根据和，可证得△ABD∽△DCE，△ADE∽△ACD，再逐项判断即可求解．解：∵，∴∠B=∠C，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，故C正确，不符合题意；∴，∴，故A正确，不符合题意；∵，∴∠B=∠C，∵，∴∠ADE=∠C，∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，故B正确，不符合题意；∴，∠AED=∠ADC，∵点是边上一点，∴AC不一定等于CD，∴∠ADC不一定等于∠DAC，∴∠AED不一定等于∠DAC，∴AD不一定等于DE，故D错误，符合题意；故选：D．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．6．A【分析】由等边对等角可得，即得出．再结合题意易证，即得出，代入数据即可求出AD的长．解：根据题意可知，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，即，解得：．故选A【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．7．A【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出，代入求出即可．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴∵，CP=BC-BP=x-1，BP=1，∴解得：AB=3．故选A．【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．8．A【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8，由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴，∴，故选A．【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．9．B【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3∴EF= 如图：过G作GH⊥DE垂足为H，∵DE⊥EF，EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形∴HG=EF=∵矩形ABCD∴∠A=∠B=90°∴∠AED+∠ADE=90°∵DE⊥EF∴∠AED+∠BEF=90°∴∠BEF=∠ADE又∵∠A=∠B=90°∴△EBF∽△DAE同理：△DAE∽△GHD∴△EBF∽△GHD∴,即,解得DG=. 故选B.【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.10．A【分析】由平面镜反射可得： 再证明再利用相似三角形的性质可得答案.解：由平面镜反射可得： 米，米，米， 解得：，经检验：符合题意， 旗杆高度为7.5米.故选A【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.11．或∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC（任填一个即可）【分析】根据相似三角形的判定解答即可．解：∵矩形ABCD，∴∠ABE＝∠ECF＝90，∴添加∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF，∴△ABE∽△ECF，故答案为：∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF．【点拨】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．12．①②③解：①证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，又∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，而∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，故①正确② 解 ：∵Rt△ABE∽Rt△ECF，∴AB：EC=BE：CF，又∵AB=a，设BE=x，则CE=a﹣x，∴a：（a﹣x）=x：CF，∴CF=，∴∴当时，取得最大值．故②正确③当点E运动到BC中点时，BE=EC=在直角三角形ABE中，由勾股定理解得又由Rt△ABE∽Rt△ECF可知即解得CF=，EF=所以在直角三角形AEF中，由勾股定理得在直角三角形ABE和直角三角形AEF中，∴Rt ABE与Rt△AEF相似．故③正确④由③可知当Rt ABE∽Rt△AEF时,点E是BC的中点∴∴．故④错误考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是本题的关键13．①②③【分析】容易证明①△ABE∽△ECF；利用①可得，可得③AE⊥EF；且可得可证得②△ABE∽△AEF，而所以④不正确．解：∵E为BC中点，CF:CD=1:4，∴ 且∠B=∠C，∴△ABE∽△ECF，∴①正确；∴∠BAE=∠FEC,且 ∴ ∴ ∴AE⊥EF，∴③正确；由①可得 ∴,且 ∴△ABE∽△AEF，∴②正确；∵ ∴ ∴△ADF和△ECF不相似，∴④不正确，综上可知正确的为：①②③，故答案为①②③.【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.14．2【分析】垂直平分，得出，利用，在中利用勾股定理求得的长，再证明，利用相似比求得的长度，进而求得的长度．解：设，则垂直平分在中，又∵E是中点∴解得又∵故答案为：2．【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．15．或【分析】设BE=x，当∽△ECF时，即，当∽△FCE时，即，解方程即可．解：设BE=x，当∽△ECF时，即整理得，解得，经检验都符合题意，当∽△FCE时，即，解得．经检验符合题意，故答案为或．【点拨】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．16．     ∠BAD     【分析】(1) 根据△ABC是等边三角形,得到∠B=∠C= 60°， AB= BC；又因为∠ADC=∠B+∠BAD，∠EDC+∠ADE= ∠B+∠BAD就得到∠EDC=∠BAD(2) 因为∠EDC=∠BAD，∠C=∠B得到△ABD~△DCE，得到 ，即可求出EC；(1) 证明: ∵△ABC是等边三角形,∠B=∠C= 60°， AB= BC；又∵∠ADC=∠B+∠BAD∠EDC+∠ADE= ∠B+∠BAD又∵∠ADE=∠B=60°∴∠EDC=∠BAD所以和∠CDE相等的角为：∠BAD故答案为：∠BAD(2) ∵∠EDC=∠BAD∴∠C=∠B△ABD~△DCE， 又 解得：EC=故答案为： ；【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD~△DCE是解答此题的关键．17．2【分析】由勾股定理，求出BE=5，由△ABE∽△DEF，得=，进而求出EF的长．解：在矩形ABCD中∠A=90°∵AB=3，AE=4∴BE===5∵△ABE∽△DEF∴=∴=解得EF=2故答案为：2．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．18．【分析】设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．解：设AD＝k，则DB＝2k，∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由△CEF折叠得到△DEF，得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED与△BDF的相似比为4：5，∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．故答案为：．【点拨】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．19．【分析】结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解．解：四边形为矩形，，，，，，，，，，是的中点，，，，，解得，．故选：．【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．20．【分析】根据折叠的性质可得，，设，则，由线段中点可得，在中，利用勾股定理可得，，利用相似三角形的判定定理及性质可得，，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．解：将长方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A落在BC边上点处，∴，，设，则，∵是BC的中点，∴，在中，，即，解得：，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：【点拨】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．21．见分析【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG．【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．22．(1)见分析(2)CD的长为【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长．（1）证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，∴，∴CD=．答：CD的长为．【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．23．(1)见分析(2)【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．解：(1)∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．(2)∵△ADB∽△AED，∴，∵AE=3，AD=5，∴，∴．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．见分析【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【点拨】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．25．(1)(2)【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=90°，再由折叠的性质可得．可证得∽．即可求解；（2）过点E作交AD于H，由折叠的性质可得，从而得到．然后设，则，由勾股定理可得，从而得到．再证得∽，即可求解．(1)解：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°， ∴，由折叠性质得：，∴，∴．∵，∴∽．∴．(2)解：过点E作交AD于H，∵，∴．∵由折叠性质得，∠DPE=∠A=90°，∴，∴．设，则，∵E是AB的中点，∴，∵AE2+AH2=EH2，∴，解得：，即，∴．∵，∴∠HEP=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°，∵∠A=∠B=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，∴∽，∴，即，解得，∴BF的长为．【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．(1)DE，AE；(2)AC．证明见详解．【分析】（1）根据，得出AC=DE，BC=AE即可；（2）过D作DE⊥直线l于E，先证△MCA≌△AGN（AAS），得出AC=NG，由（1）知，得出AC=DE，再证△NGP≌△DEP（AAS）即可．(1)解：∵，∴AC=DE，BC=AE，故答案为DE，AE；(2)证明：过D作DE⊥直线l于E，∵，∴∠CAM+∠NAG=90°，∵BM⊥l，∴∠MCA=90°，∴∠M+∠CAM=90°，∴∠M=∠NAG，∵，∴∠AGN=90°，在△MCA和△AGN中，，∴△MCA≌△AGN（AAS），∴AC=NG，由（1）知，∴AC=DE，∴NG=DE，在△NGP和△DEP中，，∴△NGP≌△DEP（AAS）∴NP=DP，故答案为AC．【点拨】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．