人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例当堂达标检测题

专题27.37 相似三角形几何模型-双垂线等角（基础篇）

（专项练习）

一、单选题

1．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（       ）

A．

B．

C．

D．

2．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（　　）

A．AB：AC B．BC：AC

C．AB：BC D．AC：AB

3．如图，在中，，交于点D，交于点E，则图中与相似的三角形有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板饶点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ）

A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断

5．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　　）

A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．

6．如图，在△ABC与△ADE中， ，添加下列条件，不能得到△ABC与△ADE相似的是(　　)

A． B． C． D．

7．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

8．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（       ）

A．11 B．12 C．13 D．14

9．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

10．如图，在中，，，是的中点，在上取一点，使∽，则的长是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．

12．如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．

13．如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．

14．如图，若，则．

15．如图，，请补充—个条件：___________，使（只写一个答案即可）．

16．如图，点是四边形的对角线上一点，且．从图中找出对相似三角形，它们是________．

17．如图，在和中，，，则的度数为_____．

18．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．

19．直角坐标系中的四个点：，，，，则______（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．

20．如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为________；当时，为________．（用含的式子表示）

三、解答题

21．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：

（1）；（2）．

22．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． 求证：△ABC∽△DEC.

23．综合与实践

问题情境：在Rt中，，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．

(1)操作发现：如图①，当时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．

①的度数为______；

②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；

(2)探究证明：如图2，当时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．

①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；

②若，在点D的运动过程中，当的形状为等腰三角形时，直接写出此时的面积．

24．（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP        DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；

（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．

①如图2，若PQ＝5，求AP长．

②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为        ．

25．如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于M．

(1)求证：△BOE≌△COF；(2)当BE＝1时，求OB•OM的值．

26．（1）如图，RtABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；

（2）如图2，RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．

①求证：DF•DA＝DB•DE；

②求EF的最小值．

参考答案

1．B

【分析】

根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解.

解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴△ADC∽△CDB∽△ACB

∴AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，

故，A正确，B错误；

∵△ADC∽△CDB

∴

∴，,C,D选项正确；

故选B.

【点拨】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.

2．A

【分析】

利用旋转的性质得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，则可判断△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断．

解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，

∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，

∴△ABB′∽△ACC′，

∴．

故选A．

【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

3．D

【分析】

根据相似三角形的判定定理，利用已知条件判定相似的三角形．

解：∵DE⊥BC，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠A＝∠EDC＝∠BCD

∴△CAD∽△DCE∽△BDE∽△BCD∽△ABC

∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．

有四个，分别是△DCE，△ACD，△CDE，△CBD，．

故选D．

【点拨】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，是证明相似的关键．

4．A

【分析】

根据已知条件可得出，，再结合三角形的内角和定理可得出，从而可判定两三角形一定相似．

解：由已知条件可得，，

∵，

∴，

∵，

∴，

继而可得出，

∴．

故选：A．

【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．

5．C

【分析】

利用等边三角形的性质可得再利用公共角可得答案．

解： △ABC与△BDE都是等边三角形，

故选C．

【点拨】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．

6．B

解：A选项：∵∠E=∠C，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；

B选项：∵∠B与∠D不是AE、DE以及AC、BC的夹角，∴不能证明△ADE∽△ABC；

C选项：∵，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；

D选项：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，又∵∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC.

故选B.

点睛：相似三角形的判定：（1）有两个对应角相等的三角形相似；

（2）有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则这两个三角形相似.

7．A

【分析】

根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．

解：①不能，

∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠B+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠DAC，

∴无法证明△ABC是直角三角形；

②能，

∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠B=∠DAC，

∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=∠B+∠BAD=90°；

∴△ABC是直角三角形；

③能，

∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△CAD，

∴∠B=∠DAC，

由②得△ABC是直角三角形；

④能，

∵AB2=BD•BC，

∴，

又∠ABD=∠CBA，

∴△ABD∽△CBA，

∴△ABC一定是直角三角形．

综上，②③④都能判定△ABC是直角三角形，共有3个．

故选：A．

【点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是通过计算角相等和边成比例，判断出两个三角形是否相似，进而判断出是否为直角．

8．C

【分析】

由是Rt△斜边上的高，可得∠ADC=∠BDC=90°，可证△ACD∽△CBD，可得，求出AD,再求AB．

解：∵是Rt△斜边上的高，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠A=∠BCD，

∴△ACD∽△CBD，

∴，

∴，

∴AD=9，

∴AB=AD+BD=9+4=13．

故选择：C．

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相似三角形性质．

9．A

【分析】

先证明，列出，进而即可求解．

解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，

∴∠ADC=∠C=90°，

又∵∠A=∠A，

∴，

∴，即：，

∴AC=4（负值舍去），

故选A．

【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．

10．A

【分析】

是的中点可求得，根据三角形相似的性质可得，可得的长即可求解．

解：∵是的中点，，

∴，

又∵∽，

，即，

解得，

，

故选：A．

【点拨】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．

11．∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一）

【分析】

再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．

解：∵∠1＝∠2

∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2

∴∠BAC＝∠DAE

又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）

∴△ABC∽△ADE．

故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE（答案不唯一）．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键．

12．∠D=∠B（答案不唯一）

【分析】

根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．

解：∵∠DAB=∠CAE

∴∠DAE=∠BAC

∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时△ABC∽△ADE．

故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．

13．∠DAE=∠BAC（不唯一）

【分析】

根据相似三角形的判定定理解答即可．

解：根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．

故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”是解答本题的关键．

14．DE

【分析】

结合相似三角形的性质即可求解

解：

（相似三角形对应边成比例）

故答案是：DE

【点拨】本题主要考察相似三角形的性质，属于基础理解题，难度不大．解题的关键是掌握相似三角形的性质和相似三角形顶点的对应关系．注意：在相似三角形中，用相似符号（）连接的两个三角形，则相同位置的顶点是对应顶点．

15．∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE（填一个即可）．

【分析】

根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．

解：∵∠DAB=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC，

∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．

故答案为：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE(填一个即可)．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

16．

【分析】

根据三角形内角和，由∠BAC=∠BDC得到∠ABD=∠ACD，再利用等量加等量和相等，由∠BAC=∠DAE得到∠CAD=∠BAE，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可判断△AEB∽△ADC，利用相似的性质得=，利用比例性质得=，加上∠BAC=∠DAE，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判断△ADE～△ACB．

解：如图：∵∠BAC=∠BDC，

而∠1=∠2，

∴∠ABD=∠ACD，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠3=∠DAE+∠3，即∠CAD=∠BAE，

∴△AEB∽△ADC，

∴=，

∴=，

∵∠BAC=∠DAE，

∴△ADE～△ACB．

故答案为△AEB∽△ADC；△ADE～△ACB．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．熟练掌握判定定理是解题关键.

17．40°##40度

【分析】

由可得，根据即可求解；

解：∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

故答案为：40°．

【点拨】本题主要考查相似三角形的性质及证明，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

18．

【分析】

证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．

解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△BCD∽△BAC，

∴＝，即＝，

∴,

∵

∴BC＝，

故答案为：．

【点拨】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．

19．＝

【分析】

分别根据两点间的距离公式求出各条线段的长度，再判断△AOB和△COD是否相似即可解答；

解：OA=，OB=，

AB= ，

OC=，OD= ，

CD= ；

∴

∴

∴△AOB∽△COD，

∴∠AOB＝∠COD，

故答案为：=.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉并灵活应用相似三角形的判定以及性质解决问题．

20．     ,    

如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．

解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，

∴∠OHP=∠OGQ=90°．

∵∠ACB=90°，

∴四边形HCGO为矩形，

∴∠HOG=90°，

∴∠HOP=∠GOQ，

∴△PHO∽△QGO，

∴．

∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，

∴AH=x，OG=x．

在Rt△AHO中，由勾股定理，得

OH=x，

∴，

∴=．

故答案为．

21．（1）见分析；（2）见分析

【分析】

（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．

（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．

证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC．

（2）∵CD是斜边AB上的高，

∴∠BDC＝90°，

∴∠BDC＝∠ACB＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△CBD∽△ABC．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．

22．见分析

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出△ABC∽△DEC.

解：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，

∴.

∴.

∵DE∥AC.

∴.

∴.

∵，CE⊥CD，

∴ .

∴△ABC∽△DEC.

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题关键是找出证明三角形相似的条件.

23．(1)①，②，证明见分析(2)①，证明见分析；②或或8

【分析】

（1）①②证明，即可求解；

（2）①证明，即可求解；②根据，可得当△CBE是等腰三角形时，△ACD也是等腰三角形，且，然后分三种情况讨论：若AC=CD=2，若AD=AC=2，若AD=CD，即可求解．

(1)解：①∵，

∴∠CAD=∠ABC，

∵，

∴∠CAD=∠ABC=45°，

∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

②，理由如下：

∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴．

(2)解：①．理由如下：

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②由①得：，

∴当△CBE是等腰三角形时，△ACD也是等腰三角形，且，

如图，过点C作CP⊥AB于点P，

∵AC=2，BC=2AC，

∴BC=4，

∴，

∵，

∴，

∴，

若AC=CD=2，此时AD=2AP=，

∴，

∴；

若AD=AC=2，

，

∴；

若AD=CD，

如图，若AD=CD，设AD=CD=x，则，

∵，

∴，

解得：

即，

∴，

∴；

综上所述，当的形状为等腰三角形时，的面积为或或8；

【点拨】本题主要考查了图形的旋转，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握图形的旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．

24．（1）＝；（2）①1，②

【分析】

（1）先证明△ADP≌△CDQ，即可求解；

（2）①先证明△ADP∽△CDQ，可得＝＝＝ ，设AP＝x，则CQ＝2x，

再由勾股定理，即可求解；

②过点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F，根据△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，＝＝＝ ，从而得到∠BPE=∠Q，再由角平分线的性质定理可得BE=BF，进而证得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，从而得到，再由勾股定理，即可求解．

解：（1）在正方形ABCD中，

∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，

∵∠PDQ=90°，

∴∠PDQ=∠ADC=90°，

∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，

∴∠ADP=∠CDQ，

∴△ADP≌△CDQ，

∴DP=DQ；

故答案为∶=

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．

∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，

∴∠ADP＝∠CDQ．

又∵∠A＝∠DCQ＝90°．

∴△ADP∽△CDQ，

∴＝＝＝ ，

设AP＝x，则CQ＝2x，

∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．

由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，

代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，

解得x＝1，即AP＝1．

∴AP的长为1．

②如图，过点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F，

由①得：△ADP∽△CDQ，

∴∠APD=∠Q，＝＝＝ ，

∴CQ=2AP，

∵∠APD=∠BPE，

∴∠BPE=∠Q，

∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，

∴BE=BF，

∵∠E=∠BFQ=90°，

∴△BEP≌△BFQ，

∴BP=BQ，

设AP=m，则BQ=BP=4-m，CQ=2m，

∴2+2m=4-m，解得：，

即，

∴

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

25．(1)见分析(2)5

【分析】

（1）由“ASA”可证△BOE≌△COF；

（2）通过证明△EOM∽△BOE，可得OE2=OB•OM，由等腰直角三角形的性质可求解．

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=CO=BO=DO，AC⊥BD，∠ABD=∠ACB=45°，

∴∠BOC=∠EOF=90°，

∴∠EOB=∠FOC，

在△BOE和△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA）；

(2)∵△BOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴∠OEF=45°，

∴∠ABO=∠OEF，

又∵∠BOE=∠BOE，

∴△EOM∽△BOE，

∴，

∴OE2=OB•OM，

如图，过点O作OH⊥AB于H，

∵正方形ABCD的周长为16，

∴AB=4，

∵OA=OB，∠AOB=90°，OH⊥AB，

∴AH=BH=2=OH，

∵BE=1，

∴HE=1，

∴OE2=OH2+HE2=5，

∴OB•OM=5．

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．

26．（1）见分析；（2）①见分析；②

【分析】

（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠BDF，从而得到△BDF≌△ADE，即可求证；

（2）①先证得∠BDF＝∠ADE，∠B＝∠DAE，可证得△BDF∽△ADE，即可求证；

②连接EF，根据勾股定理可得BC5，根据三角形的面积可得AD，从而得到DC，再由△ADB∽△CAB，可得，再根据，可得到，从而得到△EDF∽△CAB，进而得到EF，可得到当DE最小时，EF取最小值，即可求解．

证明：（1）如图1，连接AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAE＝45°，

∵∠ADB＝∠EDF＝90°，

∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠ADE＝∠BDF，

在△BDF和△ADE中，

，

∴△BDF≌△ADE（ASA），

∴DE＝DF；

（2）①证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADB＝∠EDF，

∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，

∵∠BAD+∠DAE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，

∴∠B＝∠DAE，

∴△BDF∽△ADE，

∴，

∴DF•DA＝DB•DE；

②解：如图2，连接EF，

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，

则BC5，

∴AD，

由勾股定理得：DC，

∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB=90°，

∴△ADB∽△CAB，

∴，

∴，

由①可知，，

∴，

∵∠EDF＝∠CAB＝90°，

∴△EDF∽△CAB，

∴，即，

∴EF，

当DE最小时，EF取最小值，

当DE⊥AC时，DE最小，此时，DE，

∴EF的最小值为：．

【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．