初中数学5 三角函数的应用课时训练

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题1.5三角函数的应用—俯角仰角问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•十堰一模）如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点，在同一水平面上）．为了测量，两地之间的距离，一架直升飞机从地出发，垂直上升900米到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

【分析】由题意知，，米，由可知，据此计算可得．

【解析】由题意知，，米，

，

（米，

故选：．

2．（2021•双阳区一模）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的处测得楼顶的仰角为，则楼房的高为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

【分析】根据三角函数的定义即可得到答案．

【解析】在中，，，米，

（米，

答：楼房的高为米．

故选：．

3．（2021•鹿城区校级二模）小艺同学在数学实践活动中测量树的高度，如图，她站在处看树顶端的仰角为，眼睛到地面的距离为1.6米，点到树的距离为7米，则树的高为　　（已知，，

A．4.9米 B．5.8米 C．6.5米 D．7.2米

【分析】过作于，则米，米，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解析】过作于，

则米，米，

在中，，

（米，

（米，

答：树的高为6.5米，

故选：．

4．（2021•海港区模拟）如图，要得到从点观测点的俯角，可以测量　　

A． B． C． D．

【分析】根据俯角的定义直接回答即可．

【解析】从点观测点的俯角即从点观测点的仰角，即．

故选：．

5．（2021•宁波模拟）如图，天封塔是宁波港城的重要建筑物．小王在高台上的点处测得塔底点的俯角为，塔顶点的仰角为，已知塔高，则此时测量点与塔的水平距离为　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用直角三角形的边角关系，用含有的代数式表示、，再根据，列方程求解即可．

【解析】设，

在中有，，

在中有，，

又，

，

，

即，

故选：．

6．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为　　（参考数据：，，，，结果保留整数）

A． B． C． D．

【分析】首先分析图形：根据题意得两个直角三角形、，通过解这两个直角三角形求得、的长度，进而可解即可求出答案．

【解析】由题意得：，，，，

在中，

，

，

在中，

，

，

．

故选：．

7．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是　　

A． B． C． D．

【分析】过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．

【解析】过作于，于，

，，

斜坡的斜面坡度，

，

设，，

，

，

，，

，

，

，

，

故选：．

8．（2020•肥城市四模）如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，的长为，则树的高度是　　．

A．10 B．15 C． D．

【分析】先根据，得出，故可得出，再由可知，由可得出，故，所以，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

【解析】在中，

，，

，

．

，，

，．

，

，

，

，

．

故选：．

9．（2021•九龙坡区校级模拟）重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点处测得七佛塔顶部处的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了5.2米到达点，此时测得七佛塔顶部的仰角为，七佛塔所在平台高度为0.8米，则七佛塔的高约为　　米．（参考数据：，，

A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24

【分析】根据题意可得，，，，根据，，可得，，设，垂足为，在中，，根据锐角三角函数即可求出的大约高度．

【解析】根据题意可知：

，，

，

，米，

米，米，

设，垂足为，

在中，，

，

又，

，

，

解得（米，

答：碧津塔的高约为21.6米．

故选：．

10．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为　　米．（参考数据：，，

A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2

【分析】根据题意可得四边形是矩形，再利用的正切可得的长度，根据坡度可得的长度，最后由勾股定理可得答案．

【解析】由题意可得：四边形是矩形，

米，

中，，

米，

米，

的坡度为，

，，

米．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021•梅州模拟）如图，数学学习小组要测量一棵树的高度，一名小组成员站在距离树10米的点处，测得树的顶部的仰角为．已知测角仪的架高米，则这棵树的高度约为 　7.7　米．（结果保留一位小数，参考数据：，，

【分析】在中，求出，再利用矩形的性质得到米，由此即可解决问题．

【解析】如图，由题意得，四边形是矩形，米，

在中，米，，

，

（米．

（米．

答：这棵树的高度约为7.7米．

故答案为：7.7．

12．（2021•开福区校级二模）如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角为，荷塘另一端点与点，在同一直线上，已知楼房米，米，则荷塘的宽为 　　米．

【分析】根据已知条件转化为直角三角形中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出，根据可得出答案．

【解析】由题意知，，，米，

，

（米，

米，

（米．

答：荷塘的宽为米，

故答案为：．

13．（2021•开江县模拟）我校兴趣小组同学为测量校外的一栋电梯高层的楼高，从校前广场的处测得该座建筑物顶点的仰角为，沿着向上走到米处的点．再测得顶点的仰角为，已知的坡度：，、、、在同一平面内，则高楼的高度为 　60米　（参考数据；，，

【分析】作交的延长线于，根据坡度的概念分别求出、，根据正切的定义求出．

【解析】作交的延长线于，

设米，

的坡度：，

米，

由勾股定理得，，即，

解得，（负值舍去），

则米，米，

设米，则米，

米，

，

，

，

在中，，

则，

解得，，

高楼的高度为60米，

故答案为：60米．

14．（2021春•沙河口区期末）如图，从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角，求船离灯塔的水平距离的长度是 　71　米（参考数据：，，结果取整数）．

【分析】由含角的直角三角形的性质得（米，再由勾股定理即可求解．

【解析】由题意得：，，米，

（米，

（米，

故答案为：71．

15．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点处时，与平台中心点的水平距离为15米，测得塔顶点的仰角为，塔底点的俯角为，则电视塔的高度为 　　米．

【分析】由三角函数的定义求出和的长，即可得出答案．

【解析】在中，米，，

（米，

在中，米，，

（米，

（米，

故答案为：．

16．河的对岸有一电线杆，从点测得电线杆顶端的仰角为，前进，到处测得电线杆顶端的仰角为（如图），则电线杆的高度为　　．（结果用含有、，的代数式表示）

【分析】根据锐角三角函数列式计算即可．

【解析】在中，，，

，

在中，，

，

，

．

故答案为：．

17．（2020春•新泰市期中）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌，小明在斜坡上处测得标识牌顶部的仰角为，沿斜坡走下来，在地面处测得标识牌底部的仰角为，已知斜坡的坡角为，米．则标识牌的高度是　　米．

【分析】过点作于点，于点，根据题意可得，，，四边形是矩形，再根据三角函数即可求得标识牌的高度．

【解析】如图，过点作于点，于点，

根据题意可知：

，

，

，，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

（米．

所以标识牌的高度是米．

故答案为：．

18．（2020•太和县模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为50米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为　　米（结果保留根号）．

【分析】过点作于，过点作于，可得四边形，是矩形，在中，根据三角函数求得，在中，根据三角函数求得，再根据线段的和差关系即可求解．

【解析】过点作于，过点作于，

则四边形，是矩形，

，，

为的中点，

，

由已知得：，．

在中，米，

米，

在中，米，

（米．

答：2号楼的高度为米．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021•辽宁模拟）如图，甲乙两名同学在万达广场上观测商场墙上的大屏幕，点是甲同学的眼睛，测得屏幕下端处的仰角为，然后他正对屏幕方向前进了6米到达处，又测得该屏幕上端处的仰角为，继续向前行走到墙壁的下端，乙同学负责测量，测得米，请你计算出该屏幕的高度．（结果保留根号）

【分析】易得，利用的正切值即可求得长，进而可求得长，减去长即为广告屏幕上端与下端之间的距离．

【解析】在中，，，

米，

在中，米，

，

米，

（米．

答：该屏幕的高度为米．

20．（2021•雁塔区校级模拟）如图，大楼高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶测得雕像顶点的仰角为，此人从楼底向雕像水平方向前进2米到达点，在处测得点的仰角为．已知雕像底座的高是8米，求雕像的高．（参考数据：，，，，计算结果精确到．

【分析】过点作于，根据矩形的性质和三角形函数值得出，进而解答即可．

【解析】如图，过点作于，设，

四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

，即，

，

解得：，

（米，

答：雕像的高为12米．

21．（2021•宛城区二模）如图，为了测量河对岸古塔的高度，在坡度的斜坡底处测得古塔顶端的仰角为，沿斜坡上行26米到达处，测得古塔顶端的仰角为（已知、、、在同一竖直平面内），求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，

【分析】过作于，于，则，，先由坡度的定义和勾股定理求出米，米，再由锐角三角函数定义求出，设米，则米，米，米，然后由锐角三角函数求出的值，即可解决问题．

【解析】过作于，于，如图所示：

则，，

的坡度，

，

设米，则米，

由勾股定理得：，

解得：，

米，米，

，，

，

，

设米，则米，米，米，

在中，，

，

，

解得：，

（米，

答：古塔的高度约为49.4米．

22．（2021•高新区校级三模）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点处测得塔帽的仰角为，在点的正下方23米处的点处测得塔帽的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，

【分析】连接，先证四边形是矩形，得，米，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，设米，则米，米，由得出方程，解得：，即可求解．

【解析】连接，如图所示：

由题意得：，，，米，

，

四边形是矩形，

，米，

，

，

在中，，

，

设米，则米，米，

，

，

解得：，

（米，

答：塔帽与地面的距离的高度约为40.6米．

23．（2021•胶州市一模）2020年6月23日，北斗卫星最后一颗全球组网卫星发射成功．运载火箭从地面处（忽略发射塔高度）竖直向上发射，当运载火箭到达点处时，地面处的雷达站测得处仰角为，．10秒后，运载火箭直线上升到达点处，此时地面处一观测点测得处的仰角为，已知点，，在同一条直线上，并且，两处相距，求运载火箭从处到处时的平均速度（单位：．

（参考数值：，，，，，

【分析】在两个直角三角形中求出、，进而计算出，最后求出速度即可．

【解析】由题意得，，，，，

在中，

，，

，，

，

在中，，

，

，

火箭的速度为，

答：运载火箭从处到处时的平均速度约为．

24．（2021•漳浦县模拟）某中学到天福石雕园开展研学实践活动，在参观了“民族英雄郑成功”雕像后．小颖想测量“民族英雄郑成功”雕像的高度，如图，她在雕像前处用测倾器测得顶端的仰角为，底端的俯角为；又在同一水平线上的处用测倾器测得顶端的仰角为，已知，求雕像的高度．，结果精确到

【分析】设，解与，用含的代数式表示出、，然后根据是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求的值，进而可得．

【解析】设，

，，

，，

，，

，

，

，

解得，

．

答：该雕像的高度约为．