初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系5 三角函数的应用同步练习题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题1.6三角函数的应用—方向角问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•福建模拟）某轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位是北偏东，继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则此时轮船与小岛的距离是　　

A．3.5海里 B．4海里 C．7海里 D．14海里

【分析】先过作的垂线，在直角中可以求得的度数是，即可证明是等腰三角形，即可求解．

【解析】如图，过作于点，

，

且，，

，

（海里）．

解法二：由题意，，，

，

，

（海里）．

故选：．

2．（2021•广东模拟）如图，已知公路上，两点之间的距离为，已知在的南偏西的方向上，在的南偏西方向上，则点到公路的距离为　　

A． B． C． D．

【分析】作直线于点，由已知证得，，由等腰三角形的判定得到，在中，根据计算可求得．

【解析】如图，过点作直线于点，

，

，，，

，，，

，

，

在中，

，

，

故选：．

3．（2021•越秀区二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距　　米．

A． B． 

C． D．

【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点作的垂线交于，是直角三角形和的公共直角边，要先求出的值然后再求，的值，进而得出的长．

【解析】过点作的垂线交于，

点在点的正东方向上，

，，

在中，，

（米，

（米，

在中，，

（米．

故选：．

4．（2021•南关区一模）如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】先求出的度数，再通过解直角三角形求解．

【解析】由题意可得轴，

，

，

即，

．

故选：．

5．（2021•长安区二模）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西方向上，则河宽的长为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

【分析】连接，，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解析】连接，，

由题意得，，，米，

，

，

故选：．

6．（2020秋•郯城县期末）如图，有一轮船在处测得南偏东方向上有一小岛，轮船沿正南方向航行至处，测得小岛在南偏东方向上，按原方向再航行10海里至处，测得小岛在正东方向上，则，之间的距离是　　

A．海里 B．海里 C．海里 D．10海里

【分析】由题意得：，，海里，解求得，那么．

【解析】由题意得：，，海里，

在中，

，

（海里），

海里．

故选：．

7．（2021•滦州市一模）如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是　　

A．地在地的北偏西方向上 

B．地在地的南偏西方向上 

C． 

D．

【分析】根据平行线的性质及方向角的概念分别解答即可．

【解析】如图所示：

由题意可知，，，

，即在处的北偏西，故错误；

，

，

即在处的北偏西，故错误；

，

即公路和的夹角是，故错误．

，

，

，故正确；

故选：．

8．（2020•唐山二模）一渔船在海岛南偏东方向的处遇险，测得海岛与的距离为海里，渔船将险情报告给位于处的救援船后，沿北偏西方向向海岛靠近，同时，从处出发的救援船沿南偏西方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为　　

A．海里小时 B．15海里小时 C．里小时 D．30海里小时

【分析】易得是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．

【解析】，，

，

海里，

（海里），

救援船航行的速度为：（海里小时）．

故选：．

9．（2020秋•宛城区期末）如图，一艘船向东航行，上午8时到达处，测得一灯塔在船的北偏东方向，且与船相距海里；上午11时到达处，测得灯塔在船的正北方向，则这艘船航行的速度为　　

A．45海里时 B．15海里时 C．海里时 D．海里时

【分析】由题意得，，海里，再由含角的直角三角形的性质得（海里），（海里），然后由路程除以时间求解即可．

【解析】连接，如图所示：

由题意得：，，海里，

（海里），（海里），

这艘船航行的速度为（海里时），

故选：．

10．（2021•深圳模拟）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点与的距离分别是　　

A．海里，海里 B．海里，海里 

C．海里，海里 D．海里，海里

【分析】过点作于，在上取一点，使，则，，先证，再证，，，设海里，则海里，由得出方程，解方程，即可解决问题．

【解析】过点作于，在上取一点，使，

则，，

，

，

，

，

，，，

设海里，则海里，海里，

，

，

解得：，

海里，海里，

（海里），

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．如图，一艘船从向北偏东的方向行驶10千米到达处，再从处向正西方向行驶20千米到达处，这时这艘船与的距离为 　　千米．

【分析】由含角的直角三角形的性质求出、的长，即可解决问题．

【解析】如图，

，

，

，千米，

（千米），（千米），

（千米），

（千米），

故答案为：．

12．（2021•宁波模拟）如图，海面上，两岛分别位于岛的正东和正北方向，岛与岛之间的距离约为36海里，岛在岛的南偏东方向，则，两岛之间的距离约为 　33.5　海里（结果精确到0.1海里，参考数据：，，．

【分析】在中，利用正切函数的定义可得，将数值代入计算即可求解．

【解析】由题意得，海里，．

在中，，

海里．

故、两岛之间的距离约为33.5海里．

故答案为：33.5．

13．（2021•通城县模拟）如图，海中有个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距18海里，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为 　　海里．

【分析】如图，过点作于点，根据题意可得，，，海里，再根据锐角三角函数即可求出轮船与小岛的距离．

【解析】如图，过点作于点，

根据题意可知：

，，海里，

在中，（海里），

在中，，

（海里）．

答：此时轮船与小岛的距离为海里．

故答案为：．

14．（2021春•鄂州期末）如图，一个机器人从地沿着西南方向先前进了米到达地，观察到原点地在它的南偏东的方向上，则、两地的距离等于 　　米．

【分析】过点作于，由等腰直角三角形的性质得（米，再由含角的直角三角形的性质得（米，即可求解．

【解析】如图，过点作于，

在中，米，，

（米．

在中，，

（米，

米，

故答案为：．

15．（2021•如皋市二模）如图，热气球位于观测塔北偏西方向，距离观测塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔南偏西方向的处，这时，处与观测塔相距 　128　．（结果保留整数，参考数据：，，，，，

【分析】在中，根据三角函数的定义求出，在中，根据三角函数的定义即可求出．

【解析】由已知得，，，，

在中，，

，

在中，，

，

答：这时，处距离观测塔约有，

故答案为：128．

16．（2020•海陵区校级三模）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是　　海里．

【分析】作于点，根据题意分别求出的度数和的长，根据正弦的定义、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．

【解析】作于点，

由题意得，，，

则，

，

，

在中，，

在中，，

则，

故答案为：．

17．（2020秋•李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地．此时，两点之间的距离为　500　．

【分析】先证，再由勾股定理求解即可．

【解析】如图，由题意得：，，，，，

，

，

，

即，两点之间的距离为，

故答案为：500．

18．（2021•海安市模拟）如图，某海监船以30海里小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至处时，测得岛屿恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达处，测得岛屿在其北偏西方向，保持航向不变又航行2小时到达处，此时海监船与岛屿之间的距离（即的长）为　　海里．

【分析】先证明，推出，可得，求出即可解决问题．

【解析】在中，，

，

由题意得，

，

，

，

，

，

，（海里），

（海里），

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021•大连二模）如图，一艘海轮船位于灯塔北偏东方向，与灯塔距离为的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔南偏东方向的处，求此时轮船所在处与灯塔的距离．（参考数据：，，，，结果取整数）

【分析】过点作于点，则在中易得的长，再在直角中求出．

【解析】过点作于点，

由题意知，，，，

，，

中，，

，

中，，

，

答：轮船所在处与灯塔的距离约为．

20．（2021•诸城市三模）如图，在东西方向的海岸线上的两个码头和相距54海里，现有一货轮从码头出发沿正北方向航行9海里到达点处，测得灯塔在点的北偏西方向上，已知灯塔在码头的北偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．

【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，解直角三角形即可得到答案．

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为；

设．

在中，，

，，

由题意可得，四边形为矩形，

海里，，

在中，，，

，

海里，

．

解得，，

，

此时货轮与灯塔的距离为海里．

21．（2021•封丘县二模）2021年3月1日，我国第一部流域保护法《中华人民共和国长江保护法》正式实施．作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工作的痛点，长江保护法最大的特点就是“生态优先、绿色发展”的国家战略被写入法律．已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时，从出发以30千米时的速度向正南方向行驶，在处观测到码头位于船的南偏东，2小时候到达处，这时观察到码头位于船的北偏东方向，若此时渔政执法船返回码头，需要多少时间？（结果精确到0.1，，，，．

【分析】过作于，设，解直角三角形即可得到结论．

【解析】过作于，

由题意得，（千米时），，，

设，

在中，，，

，

在中，，，

，

，

，

解得：，

（千米），

（小时），

答：渔政执法船返回码头，需要1.2小时．

22．（2021•绥中县一模）为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习．如图，学校在点处，位于学校的北偏东方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分两组同时从学校出发，第一组乘客车去地，第二组乘公交车前往地，客车的速度是，公交车的速度是，哪组同学先到达目的地？请说明理由．

【分析】作于．设，根据平行线的性质得到，得到，求得，解直角三角形即可得到答案．

【解析】第二组先到，

理由：作于．

设，

，

，

，，

，

，

，

，

在中，，，

，

，

，

，

，，

第一组用时：；第二组用时：，

，

第二组先到达目的地．

23．（2021秋•和平区校级月考）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由处航行到处，乙船航行到甲船位置（即处）的南偏西方向的处，此时两船相距海里，求乙船每小时航行多少海里．

【分析】根据甲船的速度和行驶时间求出，可得△是等边三角形，作于，根据题意求出，，根据正弦的定义求出，计算即可．

【解析】甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达，

（海里），

（海里），

，又，

△是等边三角形；

如图，过点作于，

根据题意可知：，，

．

△是等边三角形，

，（海里），

．

在△中，（海里），，，

（海里），

（海里），

则乙船每小时航行：（海里）．

24．（2021•河南模拟）如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为，该巡逻舰上午在处发现北偏西方向的处船甲正在由南向北匀速航行，后，巡逻舰航行到处，发现船甲在其北偏西方向且距其的处．请你根据相关数据，求船甲的速度．（结果精确到．参考数据：，，

【分析】构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．

【解析】如图，延长、相交于点，则，

在中，，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

甲船的速度为，

答：船甲的速度为．