初中数学北师大版九年级下册1 二次函数当堂达标检测题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题2.12二次函数与新定义综合问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．（2020•金华二模）在平面直角坐标系中，我们定义：点的“变换点”为，且规定：当时，点为．当．点为．

（1）分别写出各点的“变换点”： 　　；　　；　　；

（2）当点的“交换点”在函数的图象上，求的值；

（3）已知直线与坐标轴交于．两点，将直线上所有的“变换点”组成一新的图形，记为．当抛物线与图形的交点个数2个或3个时，求出相应的取值范围．

2．（2020秋•越秀区校级期中）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，，点的坐标为，，且，，若为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与轴垂直，则称该等腰三角形为点，的“伴随等腰三角形”．

（1）若，为抛物线上的点，它的“伴随等腰三角形”记为，且底边，点，均在点的右侧，设点的横坐标为．

①若点在这条抛物线上，求的面积；

②设，两点的纵坐标分别为了，，比较与的大小；

③当底边上的高等于底边长的2倍时，求点的坐标；

（2）若，是抛物线上的两点，它的“伴随等腰三角形”以为底，且点，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，过点，分别作垂直于轴的直线，．设点的横坐标为，该抛物线在直线，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

3．（2021•长沙模拟）定义：若函数与轴的交点，的横坐标为，，与轴的交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或，则称该函数为“函数”．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，满足，则称为“函数”．

（1）判断是否为“函数”，并说明理由；

（2）请探究“函数” 表达式中的与之间的关系；

（3）若是“函数”，且为锐角，求的取值范围．

4．（2019•东湖区校级开学）寻找神奇点！每条抛物线内都有一个神奇的点（也叫焦点），还有一条与之配套的直线！（也叫准线），使得抛物线上的每个点到的距离等于到直线的距离．如图，对于抛物线上任意一点，都有．

根据以上知识，我们来完成以下问题：

（1）因为抛物线是轴对称图形，由对称性可知这个神奇的点应在抛物线的　　上，且准线一定与对称轴垂直即（对称轴）．

（2）若准线与对称轴交于，则、的数量关系是　　（填、、，

（3）求抛物线的神奇点（焦点）的坐标．（为了老师阅卷方便，请大家统一设．

5．（2021•长丰县模拟）对于二次函数和一次函数，我们把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中是不为零的实数，其图象记作抛物线．现有点和抛物线上的点，请完成下列任务：

【尝试】

（1）当时，抛物线的顶点坐标为　　．

（2）判断点是否在抛物线上；

（3）求的值．

【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于取任何不为零的实数，抛物线总过定点，定点的坐标为　　．

【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出的值；如果不是，说明理由．

6．（2021春•岳麓区校级期末）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为点．

（1）当，，，请判断四边形是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由．

（2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点使得，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．

（3）四边形为“乐学四边形”，且．抛物线还满足：

①，，；

②为等腰直角三角形；

点，是抛物线上任意一点，且．若恒成立，求的最小值．

7．在平面直角坐标系中，已知是的函数，对于这个函数图象上的一点和给定的实数．若这个函数在上有定义且满足：当时，函数值的最大值与最小值的差，就称这个函数满足性质．

如图，对于函数，给定其图象上的点和，在上函数值的最大值，最小值，满足，，因此函数满足性质．

（1）根据定义，判断函数是否满足性质，并说明理由；

（2）已知函数，点的坐标为，若这个函数满足性质，结合函数图象，求的值；

（3）点为二次函数图象上的动点，若存在唯一的，使得函数满足性质，直接写出点的横坐标的取值范围．

8．（2020•天心区校级模拟）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求的取值范围；

（3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？

9．（2020秋•崇川区校级月考）把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，图象的对称轴与轴交点坐标为．

（1）若，时，的相关函数为 　　；

（2）的值为 　　（用含的代数式表示）；

（3）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式．

10．（2019秋•大连期中）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点的相关函数．

例如：当时，函数关于点的相关函数为．

（1）当时，

①一次函数关于点的相关函数为 　　；

②点在二次函数关于点的相关函数的图象上，求的值；

（2）函数关于点的相关函数是，则　　；

（3）当时，函数关于点的相关函数的最大值为9，求的值．

11．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：如果二次函数，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．请解决下列问题：

（1）求出二次函数的旋转函数的顶点坐标；

（2）若二次函数与互为“旋转函数”，直线与函数，的图象都只有一个公共点，求的值以及直线的解析式；

（3）在平面直角坐标系中，坐标原点为，已知点，与轴相切，交轴正半轴于点，点在上，且，△与关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过、、与、、三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”．

12．（2020春•天心区月考）对于一次函数，为常数）经过二次函数、、为常数）的顶点，我们把称为这两个函数的“生成函数”，其中为常数．

（1）若一次函数和二次函数的“生成函数”图象是一根直线，求其“生成函数”解析式；

（2）若二次函数的顶点在反比例函数的图象上，它与一次函数的“生成函数”的图象为抛物线，且经过点，求的值；

（3）二次函数的最小值为，一次函数与“生成函数” 图象交于两个不同的点，，若为原点）为等腰三角形，求的值．

13．（2021•海淀区校级开学）在平面直角坐标系中，对于已知的点，，过点分别作轴和轴的垂线，，记点到直线的距离为，点到直线的距离为，若，则点到点的“特征距离”为，若，则点到点的“特征距离”为．

（1）已知点

①点到点的“特征距离”为 　　；

②点在函数的图象上，若点到点的“特征距离”为1，则点的坐标为 　　；

（2）已知点，点，为平面内的动点，其中，均为非负数，且满足．以为边作正方形、、、按顺时针方向排列），记线段上一动点到点的“特征距离”为，直接写出的最大值和最小值，以及相应的点的坐标．

14．（2020秋•如皋市期中）定义：叫做函数的“反函数”．比如：就是的“反函数”．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．

根据上面的定义和提示，解答下列问题：

（1）的图象的对称轴是　　；

（2）①直接写出函数的“反函数”的表达式为　　；

②在如图所示的平面直角坐标系中画出的“反函数”的大致图象；

（3）若直线与轴交于点，与轴交于点，与的“反函数”图象交于、两点（点的横坐标小于点的横坐标），过点作轴，垂足为点，若，求的值．

15．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．

（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值；

（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．

16．（2021•望城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，当时，点坐标为；当时，点坐标为，则称点为点的分变换点（其中为常数）．例如：的0分变换点坐标为．

（1）点的1分变换点坐标为 　　；点的1分变换点在反比例函数图象上，则　　；若点的1分变换点在直线上，则　　

（2）若点在二次函数的图象上，点为点的3分变换点．

①直接写出点所在函数的解析式；

②求点所在函数的图象与直线交点坐标；

③当时，点所在函数的函数值，直接写出的取值范围．

（3）点，，若点在二次函数的图象上，点为点的分变换点．当点所在的函数图象与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围．

17．（2021•中山区一模）定义：点是轴上一点，函数的图象与函数的图象关于点中心对称，将这一变换称为“变换”．将函数的图象在直线的左侧部分与函数的图象在直线上及右侧部分组成的新图象记为，对应的函数为．

（1）若，函数图象上的点经过变换后的坐标为　　；

（2）若函数为直线，为直线，则点的坐标为　　；

（3）已知，且．

①若图象上的三个点，，，且的面积为1，求的值；

②当时，图象上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为，求关于的函数关系式．

18．（2020秋•泰兴市期末）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．

（1）①点的“坐标差”为　　．

②抛物线的“特征值”为　　．

（2）某二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等．

①直接写出　　（用含的式子表示）；

②求此二次函数的表达式．

（3）在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径的圆与直线相交于点、请直接写出的“特征值”为　　．

19．（2021•苏州二模）定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“”函数．

（1）写出的“”函数的表达式；

（2）若题（1）中的两个“”函数与正比例函数的图象只有两个交点，求的值；

（3）如图，二次函数与互为“”函数，、分别是“”函数与图象的顶点，是“”函数与轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点的坐标．

20．（2021•嘉定区二模）在平面直角坐标系（如图）中，二次函数（其中是常数，且的图象是开口向上的抛物线．

（1）求该抛物线的顶点的坐标；

（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线与轴的交点记为，如果线段上的“整点”的个数小于4，试求的取值范围；

（3）如果、、（3）、（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求的取值范围．

21．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点与点是关于的“函数” 的图象上的一对“点”，则　　，　　，　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于的函数，是常数）是“函数”吗？如果是，指出它有多少对“点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于的“函数” ，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线，，且，是常数）交于，，，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

22．（2020•开福区校级模拟）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．

（1）判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；

（2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值．

（3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．

23．（2020•雨花区校级二模）定义：若一次函数和反比例函数满足，则称为一次函数和反比例函数的“等差”函数．

（1）判断和是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数；

（2）若和存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；

（3）若一次函数和反比例函数（其中、、为常数，且，，存在“等差”函数，且与“等差”函数有两个交点，、，，试判断“等差”函数图象上是否存在一点（其中，使得的面积最大？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

24．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点，若图形上存在两个点、，使得是边长为2的等边三角形，则称点是该图形的一个“美好点”．

（1）若将轴记作直线，下列函数的图象上存在直线的“美好点”的是　　（只填选项）．

．正比例函数

．反比例函数

．二次函数

（2）在平面直角坐标系中，若点，，，其中，的半径为．

①若，上恰好存在2个直线的“美好点”，求的取值范围；

②若，线段上存在的“美好点”，直接写出的取值范围．