北师大版九年级下册5 确定圆的条件同步训练题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题3.5确定圆的条件

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2019秋•香坊区校级期中）下列说法：

①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径垂直于弦；

③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；

④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．

其中正确的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解析】①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；

③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；

④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，

正确的只有1个，

故选：．

2．（2020秋•西林县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．无数

【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆．

【解析】经过不在同一直线上的三点确定一个圆．

故选：．

3．（2020秋•德州期末）下列说法中，正确的是　　

A．相等的圆心角所对的弧相等 B．过任意三点可以画一个圆 

C．周长相等的圆是等圆 D．平分弦的直径垂直于弦

【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．

【解析】、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；

、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；

、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；

、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；

故选：．

4．（2020•夷陵区模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，则过，，三点的圆的圆心坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可．

【解析】连接，作的垂直平分线，如图所示：

在的垂直平分线上找到一点，

，

点是过、、三点的圆的圆心，

即的坐标为，

故选：．

5．（2020•河北）有一题目：“已知：点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，．如图，由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是　　

A．淇淇说的对，且的另一个值是 

B．淇淇说的不对，就得 

C．嘉嘉求的结果不对，应得 

D．两人都不对，应有3个不同值

【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．

【解析】如图所示：还应有另一个不同的值与互补．

故．

故选：．

6．（2021•嘉兴一模）如图，锐角内接于，，于点，连接，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】连接、，根据三角形内角和定理得到，根据圆周角定理计算，得到答案．

【解析】连接、，

，

，

，

，

由圆周角定理得：，

，

，

由圆周角定理得：，

，

故选：．

7．（2021•黄冈）如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点．若，，则的长是　　

A．10 B．8 C．6 D．4

【分析】由题知，为直径，得，且是的中位线，是三角形的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．

【解析】由题知，为直径，

，

，

，

，

为三角形的中位线，

，

又，

，

，

，点是中点，

是三角形的中位线，

，

故选：．

8．（2020秋•滨江区期末）如图，内接于，，，是的直径，交于点，连接，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】先利用圆周角定理得到，，则利用互余计算出，再计算出，然后根据三角形内角和可计算出的度数．

【解析】，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

故选：．

9．（2020•哈尔滨模拟）如图，内接于，是优弧的中点，直线于点，若，则的长为　　

A．6 B．5 C．4 D．7

【分析】连接，，，过作于，根据是优的中点，求得，得到，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．

【解析】连接，，，过作于，

，

，

是优的中点，

，

，

，，

，

直线于点，

，

，

，

，，

，，

，

，

，

故选：．

10．（2021•兴庆区校级一模）如图，在中，，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得外接圆的直径，即可解决问题．

【解析】能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，设圆的圆心为点，如图所示：

在中，，，

，

作于点，则，，

，，

，

，

即能够将完全覆盖的最小圆形纸片的直径是，

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021秋•道里区校级月考）已知是半径为的圆的内接三角形，，则　或　．

【分析】首先利用垂径定理求出弦所对的圆心角的度数，分情况讨论点在优弧和劣弧上，利用圆周角定理及其推论求解．

【解析】如图，

，，

，

在中，

，

，

，

，

四边形为圆内接四边形，

，

故答案为或．

12．（2019•青神县模拟）如图，若内接于半径为4的，且，则边的长为 　　．

【分析】连接并延长交于，根据圆周角定理得到，，解直角三角形即可得到结论．

【解析】连接并延长交于，连接，

则，

，

，

的半径为4，

，

，

即，

，

故答案为：．

13．如图，在中，，，则面积的最大值为 　　．

【分析】如图，作的外接圆，因为为固定弦，为所对圆周角，点在弧（优弧）上移动都能保证恒为，而的面积由于底固定则由其高决定，在圆上当与垂直时，的高达到最大值，此时面积最大，延长与交于，由上述可知，根据题意，等腰三角三角形的性质，分别求出，，即可求解．

【解析】如图，作的外接圆，因为为固定弦，为所对圆周角，点在弧（优弧）上移动都能保证恒为，而的面积由于底固定则由其高决定，在圆上当与垂直时，的高达到最大值，此时面积最大，

如图，延长与交于，由上述可知，

，

，

，

，

，，

平分，是中点，

，，

，

，

，

，

此时，．

故答案为：．

14．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，是的外接圆，则点的坐标为　　．

【分析】由题意得出在、的垂直平分线上，则，求出，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案．

【解析】如图所示：

是的外接圆，

点在、的垂直平分线上，

，

点，，的坐标分别是，，，

，，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

是等腰直角三角形，

，

点的坐标为；

故答案为：．

15．（2020秋•庐阳区期末）如图，内接于，，，于点，若的半径为4，则的长为　　．

【分析】连接，，根据圆周角定理得圆心角为，根据勾股定理求出，再根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可求出．

【解析】如图，连接，．

，

在中，根据勾股定理得：，

，，

．

故答案为：．

16．（2020•马山县模拟）如图，内接于，，，于点，，则的半径为　　．

【分析】连接，，根据圆周角定理得，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出，再利用勾股定理求出．

【解析】如图，连接，，

，

，

，，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

，

的半径为，

故答案为：．

17．（2019秋•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是　　．

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．

【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．

如图所示，则圆心是．

故答案为：．

18．（2021•潍坊模拟）如图，等边三角形边长是定值，点是它的外心，过点任意作一条直线分别交，于点，，将沿直线折叠，得到△，若，分别交于点，，连接，，则下列判断正确的有 　　．

．

．△的周长是的长度

．四边形的面积等于

．四边形的面积是一个定值

【分析】、根据等边三角形的外心的性质可知：也是内心，所以平分，根据角平分线的性质和判定得：平分，由外角的性质可证明，同理可得，，可证明，，，可得，，从而得；

、根据，得，所以△，可得结论；

、根据，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：（定值），可作判断；

、方法同，将，根据，变化，故的面积变化，从而四边形的面积也变化，可作判断．

【解析】、如图，连接、，

点是等边三角形的外心，

点是等边三角形的内心，

平分，

点到、的距离相等

由折叠性质得：平分，

点到、的距离相等，

点到、的距离相等，

平分，

，

由折叠得：，

，

，

同理可得，

，

，

，，

，，

，，，

，

同理得，

，，，

，故选项正确；

、，

，

△，

，

△的周长（定值），

故选项正确；

、（定值），

故选项正确；

、

，

过作于，

，

由于是定值，变化，故的面积变化，从而四边形的面积也变化，

故选项不一定正确；

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点，，，都在小正方形的顶点上．

（1）判断的形状，并说明理由．

（2）若的外接圆为，判断点与的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据网格可得，，所以可得是等腰直角三角形；

（2）根据网格画出的外接圆，即可判断点与的位置关系．

【解析】（1）是等腰直角三角形，理由如下：

根据网格可知：

，，

是等腰直角三角形；

（2）点在上，理由如下：

根据网格可知：

的外接圆如图，

，

点在上．

则点与的位置关系是：点在上．

20．（2020秋•秀洲区月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，，．

（1）画出该轮的圆心；

（2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径．

【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦和的垂直平分线交点即为所求；

（2）连接，，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径．

【解析】（1）如图所示：分别作弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心；

（2）连接，，，交于．

，

，

，

，

设圆片的半径为，在中，，

，

解得：，

圆片的半径为．

21．（2020秋•延边州期末）如图，在平面直角坐标系中，、、．

（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为　　；

（2）这个圆的半径为　　；

（3）直接判断点与的位置关系．点在　　（填内、外、上）．

【分析】（1），利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；

（2）利用两点间的距离公式计算出即可；

（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．

【解析】（1）如图，圆心的坐标为；

（2），，

，

即的半径为；

（3），，

，

，

点在内．

故答案为；；内．

22．（2021•硚口区模拟）如图，是的外接圆，，的延长线交于点．

（1）求证：；

（2）若，求．

【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得，由同圆的半径相等可得．根据等量代换，结论可得；

（2）过作，交延长线于点，由平行线的性质定理，可得，设出，用表示，利用勾股定理求出线段，在直角三角形中可求的结论．

【解析】（1）连接，并延长交于点，

，

．

．

平分．

．

，

．

．

（2）过作，交延长线于点，

，

．

，，

．

．

，

．

设，则．

．

．

，

．

23．（2021•福田区校级三模）如图，为的外接圆，为直径，，点在劣弧上，交于，连接．

（1）求证：．

（2）若，，求的半径．

【分析】（1），，，利用“ “即可证明；

（2）先求出和，在中用勾股定理可得，从而求出半径．

【解析】（1）证明：为直径，

，

，

，

，

在和中，

，

；

（2），

，，

，

是等腰直角三角形，

，,

，，

，

为直径，

，

，

的半径为．

24．（2021•西湖区一模）如图，为的外接圆，为直径，，点在劣弧上，交于，连接．

（1）求证：．

（2）若，，求的半径．

（3）若点为的中点，连接，，设，，求．（用含有，的代数式表示）

【分析】（1），，，利用“ “即可证明；

（2）先求出和，在中用勾股定理可得，从而求出半径；

（3）过作于，，利用是中位线求出和，再在中用勾股定理求出，从而可得答案．

【解析】（1）证明：为直径，

，

，

，

，

在和中，

，

；

（2），

，，

，

是等腰直角三角形，

，，

，，

，

为直径，

，

，

的半径为；

（3）法一：过作于，如图：

是等腰直角三角形，，

，，

为的中点，

，

，

，

，

，，

，

，

，，，

，

在中，，

．

法二：延长至点，使，连接，如图：

由（1）得，

，

为直径，

，

为等腰直角三角形，

，

，

是等腰直角三角形，，

，，

而，

，即，

为中点，

为中点，

，

．