专题28.19 锐角三角函数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题28.19 锐角三角函数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共56页。
【知识点一】三角函数的运算➽➼计算✭✭化简✭✭求值
【类型①】三角函数的运算➼➻直接计算
1．（2022·湖南岳阳·中考真题）计算：．
2．（2016·贵州毕节·中考真题）计算：
3．（2021·山东菏泽·中考真题）计算：．
【类型②】三角函数的运算➼➻化解★✭求值
4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
5．（2021·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
6．（2020·黑龙江黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【知识点二】三角函数在几何问题中的应用
【类型①】三角函数的应用➼➻三角形
7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点．
（1）求证：∽；
（2）当，时，求的长．
8．（2020·四川眉山·中考真题）如图，和都是等边三角形，点、、三点在同一直线上，连接，，交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，．
①求的值；
②求的长．
9．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：
（3）若，求的值．

【类型②】三角函数的应用➼➻平行四边形
10．（2018·广西百色·中考真题）平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=6，求tan∠ABD的值．
11．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10.
（1）求证：∠BEC=90°；
（2）求cs∠DAE.
12．（2019·辽宁沈阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．
求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是 ．
【类型③】三角函数的应用➼➻矩形
13．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
(1) 求证：△CEF≌△ADF；
(2) 求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
14．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1) 求EF的长；
(2) 求sin∠CEF的值．
15．（2022·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．
(1) 【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
(2) 【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
(3) 【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
【类型④】三角函数的应用➼➻菱形
16．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，点E在边AD上，，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2）的值为 ．
17．（2020·吉林·中考真题）能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放，其中，．点，分别在边，上，与相交于点．
【探究】求证：四边形是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．
【操作二】四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，，如图③若，则四边形的面积为______．
18．（2019·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．
【类型⑤】三角函数的应用➼➻正方形
19．（2018·宁夏·中考真题）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N.
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE.
20．（2016·湖南株洲·中考真题）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）若BE=1，求tan∠AED的值．
21．（2016·浙江杭州·中考真题）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.
(1) 求sin∠EAC的值；
(2) 求线段AH的长．
【知识点三】三角函数在实际生产生活中的应用
【类型①】三角函数的应用➼➻仰角★✭俯角
22．（2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
求BC的长；
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cs54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
23．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．
求，两点的高度差；
求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）
24．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）
【类型②】三角函数的应用➼➻方位角
25．（2022·湖北襄阳·中考真题）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度．无人机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为10m，求纪念塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
26．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
(1) 求点D与点A的距离；
(2) 求隧道的长度．（结果保留根号）
27．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）
(1) 求坡面的坡度；
(2) 求基站塔的高．
【类型③】三角函数的应用➼➻坡度★✭坡比
28．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
29．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
30．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m）
【知识点四】三角函数在函数中的应用
【类型①】三角函数的应用➼➻一次函数
31．（2013·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=，
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2021·天津东丽·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，把绕原点O顺时针旋转，得到，记旋转角为．
（Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标．
（Ⅱ）设直线与直线相交于点M，如图②，当时，求的面积．
33．（2020·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中A（0，2），点B（﹣3，0）．△AOB绕点O逆时针旋转30°得到△A1OB1．
（1）直接写出点B1的坐标；
（2）点C（2，0），连接CA1交OA于点D，求点D的坐标．
【类型②】三角函数的应用➼➻反比例函数
34．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
35．（2014·江西南昌·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，tan∠BPD=．延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，OA=4，OB=3．
（1）求点C的坐标；
（2）若点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，求反比例函数的解析式．
36．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 求的面积．
参考答案
1．1
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．
解：
．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
2．1-
解：试题分析：首先根据绝对值、0次幂、负指数次幂、三角函数以及-1的偶数次幂的计算法则求出各式的值，然后进行求和得出答案.
试题解析：原式=1+-1--2×+1=1-
考点：实数的计算
3．0
【分析】根据零指数幂,绝对值的化简,负整数指数幂,特殊角的函数值计算即可
解：
=1+3
=0.
【点拨】本题考查了零指数幂 ,负整数指数幂,特殊角的函数值,二次根式的化简,绝对值的化简,熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键．
4．，0
【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
解：
；
∵，
∴原式．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．，
【分析】先约分，再算分式的减法以及除法运算，进行化简，再代入求值，即可．
解：原式=
=
=
=，
当==2时，原式=．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及特殊角三角函数值，是解题的关键．
6．,
【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．
解：原式=
=
=
=，
当时，
原式．
【点拨】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
7．（1）见分析；（2）3
【分析】（1）由，，推出，由此即可证明；
（2）先证明，由∽，得，即可解决问题．
解：（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴∽．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵∽，
∴，
∴．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
8．（1）见分析；（2）①；②
【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出，再根据ASA得出即可．
（2）①过点作于点，根据直角三角形角所对直角边是斜边的一半可得，从而得出，由BE=6得出，，根据勾股定理得出，然后根据即可．
②在Rt中，根据勾股定理得出BD的长，再根据得出即可得出DF的长．
解：（1）证明：，
又，，．
和均为等边三角形，
，，
，，
，．
（2）①，，，
，，
，．
，，，
过点作于点，
为等边三角形，
，．
在Rt中，，
．
②在Rt中，，
，，，
，，．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
9．（1）见分析；（2）BE⊥AB，理由见分析；（3）．
【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE；
（2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；
（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE=，表达出AD，再证明△ACD∽△BCE，得到即可．
解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；
（2）BE⊥AB，
理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
∴BE⊥AB；
（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，
∴设BD=BE=a，则，
又∵AB=DE，
∴AB=，则AD=，
由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴tan∠ABC=．
【点拨】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义．
10．（1）证明见分析（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）作DG⊥AB，根据勾股定理和三角函数解答即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠1=∠2．
∵EF是BD的中垂线，
∴OD=OB，∠3=∠4=90°，
∴△DOF≌△BOE，
∴OE=OF；
（2）作DG⊥AB，垂足为G．
∵∠A=60°，AD=6，
∴∠ADG=30°，
∴AG=AD=3，
∴DG=．
∵AB=2AD，
∴AB=2×6=12，BG=AB﹣AG=12﹣3=9，
∴tan∠ABD=．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和正切的定义，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
11．（1）见分析；（2）cs∠DAE=
【分析】(1)先求出BC的长，继而根据勾股定理的逆定理进行证明即可得；
(2)根据平行四边形的性质可求得AB=16，∠ABE=90°，继而根据勾股定理求出AE的长，然后利用余弦的定义求出cs∠EAB的值，再根据∠DAE=∠EAB即可求得答案.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC ，
∴∠AED=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=DE=10，
∴BC=10，
又∵BE=8，CE=6，
∴BE2+CE2=BC2，
∴△BEC为直角三角形，
∴∠BEC=90°；
(2)∵ DE=10，CE=6，
∴CD=DE+CE=16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=16，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴AE=，
∴cs∠EAB=，
∵∠DAE=∠EAB，
∴cs∠DAE==.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，余弦等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
12．（1）见分析；（2）24．
【分析】（1）根据已知条件得到AF＝CE，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠BEC，根据全等三角形的性质得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△BCG是等腰直角三角形，求得BG＝CG＝4，解直角三角形得到AG＝10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
解：（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵CG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴BG＝CG＝4，
∵tan∠CAB＝，
∴AG＝10，
∴AB＝6，
∴▱ABCD的面积＝6×4＝24，
故答案为24．
【点拨】本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
13．(1)证明见分析(2)tan∠DAF＝
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；
（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，
∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a＝，
∴tan∠DAF＝＝．
【点拨】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．
14．(1)(2)
【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长;
(2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案.
解：（1）设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴，，
∴，
∴，
在中，.
（2）过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在中， ，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ .
【点拨】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
15．(1)见分析(2)或(3)或
【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．
（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或；
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH=，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据菱形的性质，结合，可求得的长．
（2）根据，，在中即可求出的值．
解：（1）是菱形，
，
即
，
（2）是菱形，
，，
在中，
【点拨】本题考查了菱形的基本性质，相似三角形的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
17．探究：证明见分析；操作一：56；操作二：72．
【分析】探究：先根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；
操作一：先根据菱形的性质得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；
操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得是等腰三角形，且平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得．
解：探究：四边形和都是平行四边形
，即
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形；
操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M
四边形和是两个完全重合的平行四边形
，
在和中，
，和的周长相等
同理可得：
、、、的周长均相等
又
的周长为
则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为
故答案为：56；
操作二：如图，设AB与DG相交于点N
四边形和是两个完全重合的平行四边形
是等腰三角形，且平分
，
在中，，即
解得
又
四边形是平行四边形
，即
平行四边形是矩形
则四边形的面积为
故答案为：72．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函数等知识点，熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．
18．（1）证明见分析；（2）AO=1．
【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF，
∴ ，
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形，
∵AC平分∠BAD，
∴AC⊥EF
（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴CG∥AB，BO=BD=2，
∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，
∴∠G=∠ABD，
∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD=，
∴AO=1
【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
19．（1）证明见分析；（2）.
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBN＝90°，∠1＋∠2＝90°，根据垂线和三角形内角和定理得到∠2＋∠3＝90°，推出∠1＝∠3，根据ASA推出△ABE≌△BCN；（2）tan∠ABE＝，根据已知求出AE与AB的关系即可求得tan∠ABE.
解：（1）证明：如图，
四边形为正方形
，，
，，
在和中
；
（2）为中点，
又，
在中，．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、三角形的内角和定理、垂线、全等三角形的性质和判定以及锐角三角函数等知识点的掌握和理解，证出△ABE≌△BCN是解此题的关键.
20．（1）证明见分析；（2）．
【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE=，ED==5，根据三角形的面积S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论．
解：（1）正方形ABCD中，∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF与△ABE中，
∵AD=AB，∠ADF=∠ABE，DF=BE，
∴△ADF≌△ABE；
（2）如图，过点A作AH⊥DE于点H，
在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，BE=1，
∴AE=，ED==5，
∵S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，解出AH=1.8，
在Rt△AHE中，EH=2.6，
∴tan∠AED===．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（1） ；（2）
试题分析：（1）如图，过点E作EM⊥AC于点M，则∠EMA=∠EMC=90°，△EMC为等腰直角三角形，在Rt△ADE中易得AE=，在Rt△EMC中易得EM=，∴sin∠EAM=；（2）由已知易证△ADE≌△CDG，从而可得GC=AE=，∠DAE=∠DCG，由此可证得AH⊥CG，最后利用S△AGC=可解得AH的长.
解：(1)作EM⊥AC于M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°.
在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，
∴AE＝.
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，
∴EM＝CM＝.
∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝；
(2)在△GDC和△EDA中， ，
∴△GDC≌△EDA，
∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝.
又∵∠AED＝∠CEH，
∴∠EHC＝∠EDA＝90°，
∴AH⊥GC.
∵S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，
∴×4×3＝×AH，
∴AH＝.
考点：（1）正方形的性质；（2）勾股定理的应用；（3）锐角三角形函数；（4）全等三角形的判定和性质；
22．(1)；(2)①；②旗杆AB高度约．
【分析】（1）根据BC =5CD，求解即可；
（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中，，求出，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
（1）解：．
（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，
∴，
∴，
②当时，作点D到AB的垂线段DF，
则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中，，
∴．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【点拨】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形．
23．(1)9m(2)24m
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
（1）解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
（2）过点作于，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
．
答：居民楼的高度约为．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24．旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m
【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解．
解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FGx（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°，
∴x＝44，
经检验：x＝44是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．烈士塔的高度约为28m．
【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，则BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
解：由题意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD=AD=10m，
在Rt△ACD中，∠DAC=61°，
tan61°=≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴纪念塔的高度约为28m．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
26．(1)点D与点A的距离为300米(2)隧道的长为米
【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解；
（2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长
解：（1）由题意可知：，
在中，
∴（米）
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作于点E．
∵是东西走向
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴（米）
答：隧道的长为米
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
27．(1)(2)基站塔的高为米
【分析】（1）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可；
（2）设米，则米，米，根据，求出米，米．在中，求出；再根据（米．
（1）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为．
根据他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米，
（米），（米），
根据勾股定理得：（米）
坡面的坡度为；,
即坡面的坡度比为；
（2）解：设米，则米，米，
，
，
米，
米．
在，
米，米，，
，
解得；
（米），
（米，
（米）．
答：基站塔的高为米．
【点拨】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
28．货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
29．(170+60)cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
则DF=CD=90（cm），CF=CD•cs∠DCF=180×=90（cm），
由题意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
则=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度为(170+60)cm．
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
30．背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m
【分析】通过解直角三角形和，分别求出AD和BD的长，由求出AB的长．
解：在中，∵背水坡BC的坡度，
∴，
∴．
在中，∵背水坡AC的坡度，
∴，
∴，
∴．
答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度．
31．（1）C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）．（2）直线DE的解析式是：y=x﹣6．（3）N的坐标是：（3，）或（﹣3，）或（，3）．
试题分析：（1）根据三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到．
解：在直角△OAC中，，
∴设OA=x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，即9x2+3x2=144，解得：x=2．
∴C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）．
（2）直线DE是AC的中垂线，应用待定系数法以及锐角三角函数定义即可求得DE的解析式．
解：∵F是AC的中点，∴根据对折的性质，F的坐标是（3，3）．
设D（d，0），则根据对折的性质，E（，6）．
如图，过点E作EH⊥OC于点H，则HE=6，DH=．
易证∠DEH=∠ACO，
∵，∴，
即，解得．
∴D（，0）
设直线DE的解析式是y=" k" x+b，将点D、F的坐标代入，得
，解得
∴直线DE的解析式是：y=x﹣6．
（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论，利用三角函数即可求得N的坐标：
OF=AC=6．
∵，
∴30°．∴DE与x轴夹角是60°．
当FM是菱形的边时（如图），ON∥FM，
则∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，
∴NG=ON•sin30°=6×=3，OG=ON•cs30°=6×=．
∴N的坐标是（3，）．
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则N的坐标是（﹣3，）．
当OF是对角线时（如图），MN关于OF对称．
∵F的坐标是（，3），∴∠FOD=∠NOF=30°．
在Rt△ONH中，OH=OF=3，．
作NL⊥y轴于点L，
在Rt△ONL中，∠NOL=30°，
∴NL=ON=，OL=ON•cs30°=2×=3．
∴N的坐标是（，3）．
综上所述，N的坐标是：（3，）或（﹣3，）或（，3）．
32．（Ⅰ）点B'的坐标为；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）当α＝30°时，由正切的定义解得∠ABO＝30°，再根据旋转的性质得到，∠A'B'O＝∠ABO＝30°，∠B'OA＝60°，继而解得设B'C⊥x轴于点C，由含30°角的直角三角形的性质解题即可；
（Ⅱ）当时，得到A'坐标为（0，－1），B'坐标为，利用待定系数法，分别解得直线A A'、B B′的解析式，再联立成方程组，解得两直线的交点，最后根据三角形面积公式解题．
解：（Ⅰ）当α＝30°时，由已知，得OA＝1，，
∴，
∴∠ABO＝30°，
∵△A'B'O是△ABO旋转得到的，
∴，∠A'B'O＝∠ABO＝30°，
∵∠BOB'＝30°，
∴∠B'OA＝60°，
设B'C⊥x轴于点C，
∴，
．
∴点B'的坐标为；
（Ⅱ）当时，A'坐标为（0，－1），B'坐标为，
设A A'解析式为y＝kx＋b，把A、A'坐标代入得，
，
，
A A'解析式为，
同理可得B B′解析式为，
联立方程组得，，
解得，
点M的坐标为
∴．
【点拨】本题考查一次函数、旋转、锐角三角函数、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
33．（1）（﹣，﹣）；（2）（0，）
【分析】（1）过点B1作B1E⊥y轴于点E，根据△AOB绕点O逆时针旋转30°得到△A1OB1，即可求出点B1坐标；
（2）根据题意可得OA1＝OC＝2，由旋转可得∠AOA1＝30°，进而得∠A1OC＝120°，所以可得∠A1CO＝30°．从而可求出OD的长，即可得点D的坐标．
解：（1）如图，过点B1作B1E⊥y轴于点E，
∵△AOB绕点O逆时针旋转30°得到△A1OB1，
∴∠BOB1＝30°，
∴∠B1OE＝60°，
∵B（﹣3，0），
∴OB＝OB1＝3，
∴OE＝，B1E＝，
∴点B1的坐标为：（﹣ ，﹣）；
（2）∵点C（2，0），
∴OC＝2，
∵A（0，2），
∴OA＝OA1＝2，
∴OA1＝OC＝2，
∵∠AOA1＝30°，∠DOC＝90°，
∴∠A1OC＝120°，
∴∠A1CO＝30°．
∴OD＝OC•tan30°＝2×．
∴点D的坐标为：（0，）．
【点拨】此题考查坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
34．（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
35．（1）C（6，0）（2）y=
【分析】（1）根据∠DMA人正切值，可得PD的斜率，由PD与BC垂直，可得BD的斜率，从而可求出直线BC的解析式，根据函数值为0，可得C点坐标；
（2）由OA=4，可知D点横坐标，由于点D在直线BC上，从而可得D坐标，再由待定系数法，可得反比例函数解析式．
解：（1）Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，
∴BD⊥PB，
kPD=tan∠DMA=tan∠OMP===2，
kBD•kPD=﹣1，
kBD=﹣，
直线BD的解析式是y=﹣x+3，
当y=0时，﹣x+3=0，
x=6，
C点坐标是（6，0）；
（2）当x=4时，y=﹣×4+3=1，
∴D（4，1）．
点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为 y=．
【点拨】1、直线斜率；2、反比例函数；3、一次函数
36．(1)，(2)8
【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式；
（2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积．
解：（1）在中，∵，
∴，
∵，∴，
∵A、B两点在函数上，
将、代入得

解得，，
∴
设，过点C作轴，垂足为E，则，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解方程组，得，
∴，
过D作轴，垂足为点
∵
∴
．
【点拨】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．