2022-2023学年北京市密云区高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市密云区高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设：，，则命题的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  已知，，则角是(    )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.  下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列不等式成立的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6.  在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，则此函数的最小值等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  “是第一象限角”是“是单调减函数”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9.  香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道容量单位：，为信道带宽单位：，为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量最接近的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  定义在上的奇函数，满足且对任意的正数，，有，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  函数的定义域用区间表示是______．

12.  已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则扇形的弧长为______，面积为______．

13.  计算：______用数字作答

14.  函数的定义域是______，最小正周期是______．

15.  混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若使得，且当，时，，则称是的一个周期为的周期点，给出下列四个结论：
若，则是周期为的周期点；
若则是周期为的周期点；
若则存在周期为的周期点；
若，则，都不是的周期为的周期点．
其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知集合，．
Ⅰ当时，求，；
Ⅱ当时，求；
Ⅲ当时，求的取值范围．

17.  本小题分
已知函数，．
Ⅰ求和的值，并画出函数的图象；
Ⅱ写出函数的单调增区间和值域；
Ⅲ若方程有四个不相等的实数根，写出实数的取值范围．

18.  本小题分
设函数，关于的不等式的解集为．
Ⅰ当时，求函数的零点；
Ⅱ当时，求解集；
Ⅲ是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19.  本小题分
已知函数在一个周期内的图象如图所示．
Ⅰ求函数的解析式和最小正周期；
Ⅱ求函数在区间上的最值及对应的的取值；
Ⅲ当时，写出函数的单调区间．

20.  本小题分
已知函数
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
Ⅲ若对于恒成立，求实数的最小值．

21.  本小题分
已知集合，规定：集合中元素的个数为，且若，则称集合是集合的衍生和集．
Ⅰ当，时，分别写出集合，的衍生和集；
Ⅱ当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集的定义直接求解．
本题考查了交集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：命题：，为特称命题，
则命题的否定是，．
故选：．
由特称命题的否定是全称命题即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以角是第四象限角．
故选：．
根据三角函数值的符号即可求解．
本题考查了三角函数值的符号，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于函数是奇函数，且在上单调递减，故A满足条件；
由于函数在上不单调，故B不满足条件；
由于函数是偶函数，故C不满足条件，
由于函数是偶函数，故D不满足条件，
故选：．
由题意，利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，当时，，故A错误；
对于， 在上单调递增，
，，即，故B正确；
对于，当，时，满足，但，故C错误；
对于，当，时，，但是，故D错误．
故选：．
对于，结合特殊值法，即可判断；对于，结合函数的单调性，即可判断；对于，结合特殊值法，即可判断；
对于，结合特殊值法，即可判断．
本题主要考查函数的单调性，以及特殊值法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为，
，
．
故选：．
由已知先求的值，进而利用任意角的三角函数的定义及诱导公式即可得解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
故函数的最小值等于．
故选：．
由题意利用均值不等式即可求解．
本题考查了均值不等式的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，当时，，
所以“是第一象限角”不能推出“是单调减函数“，
当是单调减函数，则，，
所以“是单调减函数”不能推出“是第一象限角”，
所以“是第一象限角”是“是单调减函数”的既不充分也不必要条件．
故选：．
由充分必要条件的定义判断即可．
本题主要考查充分必要条件的判断，考查三角函数的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，其中为信道容量单位：，
为信道带宽单位：，为信噪比．
通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．
．
故选：．
利用待定系数法和对数的运算法则直接求解．
本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为对任意的正数，，有，
所以函数在上单调递减，因为为减函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
令，
所以不等式等价为或，
所以或，
所以或，
解得或，
即不等式的解集为．
故选：．
易知函数在上单调递减，令，将不等式等价为或，进一步求解即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．
根据二次根式的被开方数非负以及分母不为零得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】
解：要使函数有意义，
则
解得：且，
故答案为．  

12.【答案】   

【解析】解：扇形的圆心角是弧度，半径为，
扇形的弧长，扇形的面积为．
故答案为：；．
利用扇形的弧长公式、面积公式，即可得出结论．
本题考查扇形的弧长公式、面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用对数、指数的定义、性质、运算法则直接求解．
本题考查对数、指数的定义、性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：由，，得，，
所以函数的定义域是；
函数的最小正周期是．
故答案为：；．
由，，求出函数的定义域即可；根据正切函数的周期公式求出周期即可．
本题考查了正切函数的定义域和最小正周期的求法，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：对于，当时，，
，解得：，
又，，不满足当，时，，
不是周期为的周期点，错误；
对于，假设是周期为的周期点，则需；
，
假设成立，正确；
对于，当时，，，是周期为的周期点，正确；
对于，，恒成立，
不存在的情况，
即都不是的周期为的周期点，正确．
故答案为：．
当时，由可知，不符合定义，知错误；假设是周期为的周期点，验证可知成立，知正确；令，可得，，，知正确；由二次函数值域知恒成立，从而得到正确．
本题考查了函数中的新定义问题，属于中档题．
 

16.【答案】解：集合，．
Ⅰ当时，，
，；
Ⅱ当时，，
或，
；
Ⅲ当时，
，解得．
的取值范围为 

【解析】Ⅰ当时，，利用交集和并集定义直接求解；
Ⅱ当时，，利用补集和并集定义能求出结果；
Ⅲ当时，，由此能求出的取值范围．
本题考查并集、交集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ已知函数，，
则函数的图象如图所示：

，；
Ⅱ由函数的图象可知：函数的单调增区间为，，
值域为；
Ⅲ方程有四个不相等的实数根，
即函数的图象与直线有个交点，
由函数的图象可知：实数的取值范围为．
即实数的取值范围为． 

【解析】Ⅰ由函数与函数的关系，结合函数的解析式求出和的值，并作出函数的图象即可；
Ⅱ由函数的图象求出函数的单调增区间和值域即可；
Ⅲ方程有四个不相等的实数根，即函数的图象与直线有个交点，然后结合函数的图象求解即可．
本题考查了函数的图象及函数的零点，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ当时，
由函数，解得，，
函数的零点为，；
Ⅱ当时，解不等式，得，
解集；
Ⅲ假设存在实数，使得，
则且，是方程的两个根，
，解得．
存在，使得． 

【解析】Ⅰ当时，由函数，能求出函数的零点；
Ⅱ当时，解不等式，能求出解集；
Ⅲ假设存在实数，使得，则且，是方程的两个根，由此能求出结果．
本题考查函数的零点、一元二次不等式的解集、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ根据函数在一个周期内的图象，
可得，，
．
再根据五点法作图可得，
，
，可得最小正周期．
Ⅱ因为，
所以，
所以当，即时，，
当，即时，．
Ⅲ由，时，可得，
所以当，即时，函数单调递减；
当，即时，函数单调递增，
所以当时，函数的单调减区间为，单调增区间为 

【解析】Ⅰ由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，进而可求函数最小正周期．
Ⅱ求出相位的范围，然后求解函数的最值即可．
Ⅲ利用正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，考查了正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ函数，
，解得，
函数的定义域为；
Ⅱ函数是偶函数，
证明如下：函数的定义域为，
，
函数是偶函数；
Ⅲ对于恒成立，
对于恒成立，
且在均成立，
，汉且仅当取等号，
在上是增函数，，
且，，
实数的最小值是． 

【解析】Ⅰ由，能求出函数的定义域；
Ⅱ函数是偶函数，利用定义法证明；
Ⅲ推导出对于恒成立，从而且在均成立，由此能求出实数的最小值．
本题考查对数函数的定义、奇偶性、单调性、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集；
Ⅱ当时，设集合且，
，
集合的衍生和集的元素个数的最小值为；
若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；
最大值为，最小值为． 

【解析】Ⅰ由衍生和集定义可直接写出结果；
Ⅱ设，，列举得到所有必然不相等的两个元素之和的情况，由此得到最小值；假设任意两个元素之和都不相等，可确定最大值．
本题考查了集合中的新定义问题，属于中档题．