初中数学人教版八年级下册16.2 二次根式的乘除第1课时教案

16.2  二次根式的乘除
第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解=(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.

2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.

【过程与方法】

1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.

2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时 共2课时

四、教学重难点

【教学重点】 

会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.

【教学难点】 

二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺、插图等.

学生：三角尺、铅笔、练习本.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为cm，宽为cm，则它的面积是多少呢？

学生列式：×

教师提出问题：想想如何计算这个式子呢？

（二）探索新知

1.探究二次根式的乘法法则（出示课件4-6）

教师依次展示下列问题：

（1） =____×_____=____;=_______=____.

（2） =____×____=____;=_______=____.

（3） =____×____=____;=_______=____.

学生独立思考后回答：

学生1答：

（1） =_2_×_3_=_6;== _6__.

学生2答：

（2） =_4_×_5=_20;==__20__.

学生3答：

（3） =_5×_6_=_30_;==_30_.

教师问：观察计算结果,你能发现什么规律?

学生依次回答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式：

学生1答： （1）=.

学生2答：（2）.

学生3答：（3）=.

教师问：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？

学生回答：=(a≥0,b≥0)

教师问：想一想：成立吗？

学生回答：不成立.

教师问：为什么呢？

学生回答：因为没有意义！

教师问：因此被开方数a，b需要满足什么条件？

学生回答：a，b是非负数，即a≥0,b≥0.

师生一起归纳总结：（出示课件7）

二次根式的乘法法则是:=(a≥0,b≥0)

二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.

教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗？

学生回答：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.

教师强调：a,b都必须是非负数.

考点1：简单的二次根式的乘法运算

计算：（出示课件8）

（1） ;（2）

师生共同讨论解答如下：

解： （1） =;

（2） ===3

教师追问：下边的式子如何运算？

师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则

学生解答如下：

解：

=（= =

师生共同总结如下：（出示课件9）

只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ =(a≥0,b≥0……k≥0)）

出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：因数不是1二次根式的乘法运算

计算:(出示课件12)

（1）2 ;（2）4 ）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：（1）2 =（2×3）（）=6;

（2）4 ）=4 ）×（）=-2×9=-18

教师总结点拨：（出示课件12）

当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即=(a≥0,b≥0).
    教师强调：（出示课件13）

二次根式的乘法法则的推广：

①多个二次根式相乘时此法则也适用，即

=(a≥0,b≥0……n≥0)

②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即=(a≥0,b≥0).

出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正.

考点3：二次根式的大小比较

比较大小:（出示课件15-16）

（1）   ;（2）-  ;

学生独立思考后，师生共同解答.

解：

学生1解答：

(1)方法一：

∵=，=

又∵20＜27，∴＜,即.

学生2解答：

（1）方法二：

∵（）2=22×（）2 =4×5=20，（）2=32×（）2 =9×3=27，

又∵20＜27，∴（）2＜（）2,即.

学生3解答：

(2)∵=，=

又∵52＜54，∴＜, ∴＞,

即.

教师问：比较二次根式大小的方法有哪些？

师生共同归纳：（出示课件17）

比较两个二次根式大小的方法：

(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．

(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大．

(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较．

出示课件18，学生自主练习，教师给出答案。

2.探究二次根式的乘法法则的逆用（出示课件19）

教师依次展示下列问题：

（1）=_______=____； =____×_____=____.

（2）=_______=____； =____×___=____.

（3）=_______=____； =____×____=___.

依次展示下列问题答案：

学生1答：

（1）==_6___； =_2_×_3_=_6.

学生2答：

（2）==__20__； =_4_×_5=_20.

学生3答：

（3）==_30_； =_5×_6_=_30_.

教师问：观察计算结果,你能发现什么规律?

学生分题号回答如下：

学生1答：（1） .

学生2答：（2） .

学生3答：（3） .

教师问：你发现了什么规律？

学生回答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.

教师问：你能用字母表示你所发现的规律吗？

学生回答：(a≥0,b≥0)

考点1：利用二次根式的乘法法则的逆用计算
  化简：（出示课件20）

（1）（2）

解： （1）

        =

=4×9

=36;

 （2）

     =

=2a

=2a

=2ab

总结点拨：（出示课件21）

化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.

出示课件21，学生自主练习，教师给出答案。

考点2：利用二次根式的乘法法则及逆用计算

计算：（出示课件22）

（1） ;（2）3 ；（3）

学生独立思考后，师生共同解答.

依次展示学生答案：

学生1解：

（1）==7;

学生2解：

（2）3 =3 ×====30

学生3解：

（3） ====x.

教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗？

引导学生回答并总结如下：（出示课件23）

化简二次根式的步骤：

1.把被开方数分解因式(或因数) ；

2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 ，把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .

出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。

（三）课堂练习（出示课件25-33）

练习课件第28-34页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件34）

（五）课前预习

预习下节课（16.2第2课时）的相关内容.

知道最简二次根式的定义及其二次根式的除法法则

七、课后作业

教材第7页练习第1,2,3题.

八、板书设计

二次根式的乘除

第1课时

　1.二次根式的乘法

　考点1  　考点2     考点3

2.二次根式乘法法则的逆用

考点1  　考点2

　3.例题讲解

九、教学反思

优点之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标. 学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.

自我反思：进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.